Страница 228 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1030. Изобразите на координатном луче (возьмите единичный отрезок длиной 6 см) точки 0, $1/6$, $2/6$, $3/6$, $4/6$, $5/6$, $6/6$, $7/6$, $8/6$, $9/6$, $10/6$, $11/6$, $12/6$. Покажите на этом луче точки $1/2$, $1/3$, $2/3$, $1$, $1\frac{1}{2}$, $1\frac{1}{3}$, $2$.

Для решения задачи построим координатный луч. Согласно условию, единичный отрезок равен 6 см. Это означает, что расстояние от 0 до 1 на луче составляет 6 см, от 1 до 2 — еще 6 см, и так далее.

Координатный луч начинается с точки 0. Чтобы отметить на луче дроби со знаменателем 6, необходимо разделить единичный отрезок (длиной 6 см) на 6 равных частей. Длина каждой такой части будет равна $6 \text{ см} \div 6 = 1 \text{ см}$.

Таким образом, каждая $\frac{1}{6}$ единичного отрезка соответствует 1 см на луче. Чтобы отметить точку с координатой $\frac{n}{6}$, нужно отложить от начала луча (точки 0) расстояние, равное $n$ сантиметрам.

• Точка с координатой 0 находится в начале луча (0 см).
• Точка с координатой $\frac{1}{6}$ находится на расстоянии 1 см от начала.
• Точка с координатой $\frac{2}{6}$ находится на расстоянии 2 см от начала.
• Точка с координатой $\frac{3}{6}$ находится на расстоянии 3 см от начала.
• Точка с координатой $\frac{4}{6}$ находится на расстоянии 4 см от начала.
• Точка с координатой $\frac{5}{6}$ находится на расстоянии 5 см от начала.
• Точка с координатой $\frac{6}{6} = 1$ находится на расстоянии 6 см от начала.
• Точка с координатой $\frac{7}{6}$ находится на расстоянии 7 см от начала.
• Точка с координатой $\frac{8}{6}$ находится на расстоянии 8 см от начала.
• Точка с координатой $\frac{9}{6}$ находится на расстоянии 9 см от начала.
• Точка с координатой $\frac{10}{6}$ находится на расстоянии 10 см от начала.
• Точка с координатой $\frac{11}{6}$ находится на расстоянии 11 см от начала.
• Точка с координатой $\frac{12}{6} = 2$ находится на расстоянии 12 см от начала.

Ответ: Точки $0, \frac{1}{6}, \dots, \frac{12}{6}$ расположены на координатном луче на расстояниях $0, 1, 2, \dots, 12$ см от начала соответственно, при единичном отрезке в 6 см.

Чтобы разместить эти точки на уже построенном луче, приведем их дроби к общему знаменателю 6. Это позволит нам найти их точное положение на нашей шкале.

• $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6}$. Эта точка совпадает с уже отмеченной точкой $\frac{3}{6}$ (на расстоянии 3 см от 0).
• $\frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6}$. Эта точка совпадает с уже отмеченной точкой $\frac{2}{6}$ (на расстоянии 2 см от 0).
• $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6}$. Эта точка совпадает с уже отмеченной точкой $\frac{4}{6}$ (на расстоянии 4 см от 0).
• $1 = \frac{6}{6}$. Эта точка совпадает с уже отмеченной точкой $\frac{6}{6}$ (на расстоянии 6 см от 0).
• $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2} = \frac{3 \times 3}{2 \times 3} = \frac{9}{6}$. Эта точка совпадает с уже отмеченной точкой $\frac{9}{6}$ (на расстоянии 9 см от 0).
• $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3} = \frac{4 \times 2}{3 \times 2} = \frac{8}{6}$. Эта точка совпадает с уже отмеченной точкой $\frac{8}{6}$ (на расстоянии 8 см от 0).
• $2 = \frac{12}{6}$. Эта точка совпадает с уже отмеченной точкой $\frac{12}{6}$ (на расстоянии 12 см от 0).

Все точки из второго списка совпадают с точками, которые мы уже нанесли на координатный луч.

Ответ: Точки $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1, 1\frac{1}{2}, 1\frac{1}{3}, 2$ совпадают с точками $\frac{3}{6}, \frac{2}{6}, \frac{4}{6}, \frac{6}{6}, \frac{9}{6}, \frac{8}{6}, \frac{12}{6}$ на координатном луче соответственно.

Изображение координатного луча с отмеченными точками:

1031. Выберите удобный единичный отрезок и отметьте на координатном луче точки:

a) $0, 1, 2, 3, \frac{1}{2}, 1\frac{1}{2};$

б) $0, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 2, 2\frac{1}{4}, 2\frac{1}{2}, 2\frac{3}{4}.$

а)

Дан набор точек для отметки на координатном луче: $0, 1, 2, 3, \frac{1}{2}, 1\frac{1}{2}$.

Для того чтобы удобно отметить точки с дробной частью $\frac{1}{2}$, необходимо выбрать единичный отрезок, который легко делится на 2. Возьмем за единичный отрезок длину, равную 2 клеткам тетради (или 2 см, или любую другую удобную длину, кратную двум).

Порядок построения:

1. Чертим координатный луч с началом в точке О, которой соответствует число 0.
2. Откладываем от начала луча единичный отрезок (например, 2 клетки) и ставим метку с числом 1.
3. Аналогично откладываем отрезки для чисел 2 и 3. Точка 2 будет на расстоянии 4 клеток от 0, а точка 3 — на расстоянии 6 клеток от 0.
4. Находим и отмечаем дробные точки:
   • Точка с координатой $\frac{1}{2}$ находится ровно посередине между 0 и 1. Если единичный отрезок равен 2 клеткам, эта точка будет на расстоянии 1 клетки от 0.
   • Точка с координатой $1\frac{1}{2}$ находится ровно посередине между 1 и 2. Она будет на расстоянии 3 клеток от 0.

Результат построения показан на рисунке:

Ответ: Координатный луч с отмеченными точками представлен на рисунке выше. В качестве единичного отрезка было выбрано расстояние, которое удобно делится на 2.

б)

Дан набор точек: $0, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 2, 2\frac{1}{4}, 2\frac{1}{2}, 2\frac{3}{4}$.

В этом наборе есть дроби со знаменателями 2 и 4. Наименьший общий знаменатель для этих дробей - 4. Чтобы было удобно отмечать четверти, выберем единичный отрезок, который легко делится на 4. Например, возьмем единичный отрезок длиной в 4 клетки тетради (или 4 см).

Приведем дробь $\frac{1}{2}$ к знаменателю 4: $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$. Тогда точки для отметки можно записать как: $0, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, 2, 2\frac{1}{4}, 2\frac{2}{4}, 2\frac{3}{4}$.

Порядок построения:

1. Чертим координатный луч с началом в точке 0.
2. Выбираем единичный отрезок равным 4 клеткам. Отмечаем точки 1, 2, 3 на расстоянии 4, 8 и 12 клеток от 0 соответственно.
3. Делим каждый единичный отрезок на 4 равные части. Каждая часть будет равна 1 клетке.
4. Отмечаем заданные точки:
   • $\frac{1}{4}$ — первая метка после 0 (1 клетка от 0).
   • $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$ — вторая метка после 0 (2 клетки от 0).
   • $\frac{3}{4}$ — третья метка после 0 (3 клетки от 0).
   • $2$ — целое число, уже отмечено (8 клеток от 0).
   • $2\frac{1}{4}$ — первая метка после 2 (9 клеток от 0).
   • $2\frac{1}{2} = 2\frac{2}{4}$ — вторая метка после 2 (10 клеток от 0).
   • $2\frac{3}{4}$ — третья метка после 2 (11 клеток от 0).

Результат построения показан на рисунке:

Ответ: Координатный луч с отмеченными точками представлен на рисунке выше. В качестве единичного отрезка было выбрано расстояние, которое удобно делится на 4.

1032. Изобразите на координатном луче точки $A\left(\frac{1}{2}\right)$, $B(2)$, $C\left(2\frac{3}{4}\right)$.

Найдите длину отрезков $AB$, $BC$, $AC$.

Изображение точек на координатном луче

Начертим координатный луч, выберем начало отсчета (точку 0) и единичный отрезок. Для удобства отображения дробей со знаменателями 2 и 4, выберем единичный отрезок длиной в 4 клетки.

• Точка A($\frac{1}{2}$) будет расположена на расстоянии $\frac{1}{2}$ единичного отрезка от нуля, то есть на 2 клетках.
• Точка B(2) будет расположена на расстоянии 2 единичных отрезков от нуля, то есть на 8 клетках.
• Точка C($2\frac{3}{4}$) будет расположена на расстоянии $2\frac{3}{4}$ единичных отрезков от нуля, то есть на 11 клетках.

Нахождение длин отрезков

Длина отрезка на координатном луче равна разности между большей и меньшей координатами его концов.

AB

Чтобы найти длину отрезка AB, нужно из координаты точки B вычесть координату точки A.
$AB = 2 - \frac{1}{2} = 1\frac{2}{2} - \frac{1}{2} = 1\frac{1}{2}$.
Ответ: $1\frac{1}{2}$

BC

Чтобы найти длину отрезка BC, нужно из координаты точки C вычесть координату точки B.
$BC = 2\frac{3}{4} - 2 = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$

AC

Чтобы найти длину отрезка AC, нужно из координаты точки C вычесть координату точки A.
$AC = 2\frac{3}{4} - \frac{1}{2}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 4: $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$.
$AC = 2\frac{3}{4} - \frac{2}{4} = 2\frac{1}{4}$.
Ответ: $2\frac{1}{4}$

1033. Найдите координату середины отрезка, соединяющего точки:

а) 1 и 7;

б) 3 и 8;

в) $2\frac{1}{4}$ и $\frac{5}{8}$;

г) $3\frac{1}{2}$ и $3\frac{1}{4}$.

Чтобы найти координату середины отрезка, необходимо найти полусумму координат его концов. Если отрезок соединяет точки с координатами $a$ и $b$, то координата его середины $c$ вычисляется по формуле: $c = \frac{a+b}{2}$.

а) Для точек с координатами 1 и 7:
Координата середины отрезка равна $c = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
Ответ: 4.

б) Для точек с координатами 3 и 8:
Координата середины отрезка равна $c = \frac{3 + 8}{2} = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2}$.
Ответ: $5\frac{1}{2}$.

в) Для точек с координатами $2\frac{1}{4}$ и $\frac{5}{8}$:
Сначала приведём дроби к общему знаменателю. $2\frac{1}{4} = 2\frac{2}{8}$.
Теперь найдём их сумму: $2\frac{2}{8} + \frac{5}{8} = 2\frac{7}{8}$.
Разделим сумму на 2. Для этого представим смешанное число в виде неправильной дроби: $2\frac{7}{8} = \frac{2 \cdot 8 + 7}{8} = \frac{23}{8}$.
$c = \frac{23}{8} : 2 = \frac{23}{8 \cdot 2} = \frac{23}{16} = 1\frac{7}{16}$.
Ответ: $1\frac{7}{16}$.

г) Для точек с координатами $3\frac{1}{2}$ и $3\frac{1}{4}$:
Приведём дроби к общему знаменателю: $3\frac{1}{2} = 3\frac{2}{4}$.
Найдём сумму координат: $3\frac{2}{4} + 3\frac{1}{4} = 6\frac{3}{4}$.
Разделим сумму на 2. Представим смешанное число в виде неправильной дроби: $6\frac{3}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{27}{4}$.
$c = \frac{27}{4} : 2 = \frac{27}{4 \cdot 2} = \frac{27}{8} = 3\frac{3}{8}$.
Ответ: $3\frac{3}{8}$.