Страница 234 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1052. Вычислите площадь всех граней и объём куба с ребром:

а) $\frac{2}{3}$ см;

б) $\frac{4}{5}$ м.

a) Для того чтобы вычислить площадь всех граней и объём куба с ребром $a = \frac{2}{3}$ см, воспользуемся следующими формулами:
1. Площадь всех граней (полная поверхность) куба: $S_{полная} = 6a^2$.
2. Объём куба: $V = a^3$.

Вычислим площадь всех граней:
$S_{полная} = 6 \cdot (\frac{2}{3})^2 = 6 \cdot (\frac{2^2}{3^2}) = 6 \cdot \frac{4}{9} = \frac{6 \cdot 4}{9} = \frac{24}{9}$.
Сократим дробь: $\frac{24}{9} = \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{8}{3}$.
Выделим целую часть: $\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$ см$^2$.

Вычислим объём:
$V = (\frac{2}{3})^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$ см$^3$.

Ответ: площадь всех граней $2\frac{2}{3}$ см$^2$, объём $\frac{8}{27}$ см$^3$.

б) Для куба с ребром $a = \frac{4}{5}$ м вычислим площадь всех граней и объём, используя те же формулы.

Вычислим площадь всех граней:
$S_{полная} = 6 \cdot (\frac{4}{5})^2 = 6 \cdot (\frac{4^2}{5^2}) = 6 \cdot \frac{16}{25} = \frac{96}{25}$.
Выделим целую часть: $\frac{96}{25} = 3\frac{21}{25}$ м$^2$.

Вычислим объём:
$V = (\frac{4}{5})^3 = \frac{4^3}{5^3} = \frac{64}{125}$ м$^3$.

Ответ: площадь всех граней $3\frac{21}{25}$ м$^2$, объём $\frac{64}{125}$ м$^3$.

1053. Вычислите площадь всех граней и объём прямоугольного параллелепипеда, рёбра которого равны:

а) $1 \frac{1}{3}$ дм, $\frac{1}{4}$ дм и $\frac{1}{2}$ дм;

б) $\frac{1}{5}$ дм, $1 \frac{1}{4}$ дм и $\frac{1}{3}$ дм.

а)

Даны рёбра прямоугольного параллелепипеда: $a = 1\frac{1}{3}$ дм, $b = \frac{1}{4}$ дм и $c = \frac{1}{2}$ дм.

1. Вычислим площадь всех граней (площадь полной поверхности).
Формула площади полной поверхности: $S = 2(ab + ac + bc)$.
Сначала переведём смешанное число в неправильную дробь: $a = 1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ дм.
Теперь найдём площади парных граней:
$ab = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ дм²
$ac = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ дм²
$bc = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ дм²
Сложим площади и умножим на 2:
$S = 2(\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{1}{8}) = 2(1 + \frac{1}{8}) = 2 \cdot 1\frac{1}{8} = 2 \cdot \frac{9}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$ дм².

2. Вычислим объём.
Формула объёма: $V = a \cdot b \cdot c$.
$V = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 1 \cdot 1}{3 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$ дм³.

Ответ: площадь всех граней $2\frac{1}{4}$ дм², объём $\frac{1}{6}$ дм³.

б)

Даны рёбра прямоугольного параллелепипеда: $a = \frac{1}{5}$ дм, $b = 1\frac{1}{4}$ дм и $c = \frac{1}{3}$ дм.

1. Вычислим площадь всех граней (площадь полной поверхности).
Формула площади полной поверхности: $S = 2(ab + ac + bc)$.
Сначала переведём смешанное число в неправильную дробь: $b = 1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ дм.
Теперь найдём площади парных граней:
$ab = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$ дм²
$ac = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{15}$ дм²
$bc = \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{12}$ дм²
Сложим площади, приведя дроби к общему знаменателю 60, и умножим на 2:
$S = 2(\frac{1}{4} + \frac{1}{15} + \frac{5}{12}) = 2(\frac{15}{60} + \frac{4}{60} + \frac{25}{60}) = 2(\frac{15+4+25}{60}) = 2 \cdot \frac{44}{60} = \frac{88}{60} = \frac{22}{15} = 1\frac{7}{15}$ дм².

2. Вычислим объём.
Формула объёма: $V = a \cdot b \cdot c$.
$V = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 5 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 3} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$ дм³.

Ответ: площадь всех граней $1\frac{7}{15}$ дм², объём $\frac{1}{12}$ дм³.

1054. Вычислите объём классной комнаты в литрах, если её ширина 6 м, длина 8 м, а высота $3\frac{1}{4}$ м. Вычислите, сколько литров воздуха приходится на каждого из 25 учащихся, занимающихся в этом классе. Составьте и решите аналогичную задачу, учитывая размеры вашей классной комнаты и число учащихся вашего класса.

Вычислим объём классной комнаты в литрах

Объём классной комнаты, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$, где $a$ – длина, $b$ – ширина, $c$ – высота.
Подставим в формулу значения из условия задачи: длина $a = 8$ м, ширина $b = 6$ м, высота $c = 3\frac{1}{4}$ м.
Для удобства вычислений представим высоту в виде десятичной дроби: $c = 3\frac{1}{4} = 3.25$ м.
Найдём объём в кубических метрах ($м^3$):
$V = 8 \cdot 6 \cdot 3.25 = 48 \cdot 3.25 = 156 \, м^3$.
Теперь переведём кубические метры в литры (л), зная, что $1 \, м^3 = 1000 \, л$.
$V(\text{в литрах}) = 156 \cdot 1000 = 156000 \, л$.
Ответ: 156 000 литров.

Вычислим, сколько литров воздуха приходится на каждого из 25 учащихся

Чтобы найти объём воздуха на одного учащегося, необходимо общий объём воздуха в классе разделить на количество учащихся.
$\frac{156000 \, л}{25} = 6240 \, л$.
Ответ: 6240 литров.

Составим и решим аналогичную задачу

Условие аналогичной задачи: Пусть классная комната имеет ширину 7 м, длину 8 м и высоту 3 м. В классе занимается 28 учащихся. Необходимо вычислить объём комнаты в литрах и количество литров воздуха, приходящееся на одного учащегося.

Решение:
1. Найдём объём комнаты в кубических метрах:
$V = 7 \, м \cdot 8 \, м \cdot 3 \, м = 168 \, м^3$.
2. Переведём полученный объём в литры:
$V(\text{в литрах}) = 168 \cdot 1000 = 168000 \, л$.
3. Рассчитаем объём воздуха на одного учащегося:
$\frac{168000 \, л}{28} = 6000 \, л$.
Ответ: объём классной комнаты составляет 168 000 литров, а на каждого учащегося приходится 6000 литров воздуха.

1055. В магазине продаются аквариумы: Какой из двух аквариумов имеет больший объём, если их размеры: 42 см, $ \frac{1}{3} $ м, $ 2 \frac{1}{2} $ дм и

54 см, $ \frac{1}{4} $ м, $ 2 \frac{1}{5} $ дм?

Для того чтобы определить, какой из двух аквариумов имеет больший объём, необходимо вычислить объём каждого из них, а затем сравнить полученные значения. Объём прямоугольного параллелепипеда (которым является аквариум) равен произведению трёх его измерений (длины, ширины и высоты): $V = a \cdot b \cdot c$.

Перед вычислением приведём все размеры к единой единице измерения — дециметрам (дм). Используем соотношения: 1 м = 10 дм и 1 дм = 10 см.

Расчёт объёма первого аквариума

Размеры первого аквариума: 42 см, $\frac{1}{3}$ м, $2\frac{1}{2}$ дм.

1. Переведём все размеры в дециметры:
$42 \text{ см} = 4,2 \text{ дм}$
$\frac{1}{3} \text{ м} = \frac{1}{3} \cdot 10 = \frac{10}{3} \text{ дм}$
$2\frac{1}{2} \text{ дм} = 2,5 \text{ дм}$

2. Вычислим объём $V_1$:
$V_1 = 4,2 \cdot \frac{10}{3} \cdot 2,5 = (\frac{42}{10} \cdot \frac{10}{3}) \cdot 2,5 = \frac{42}{3} \cdot 2,5 = 14 \cdot 2,5 = 35 \text{ дм}^3$.

Ответ: объём первого аквариума равен 35 дм³.

Расчёт объёма второго аквариума

Размеры второго аквариума: 54 см, $\frac{1}{4}$ м, $2\frac{1}{5}$ дм.

1. Переведём все размеры в дециметры:
$54 \text{ см} = 5,4 \text{ дм}$
$\frac{1}{4} \text{ м} = \frac{1}{4} \cdot 10 = 2,5 \text{ дм}$
$2\frac{1}{5} \text{ дм} = 2,2 \text{ дм}$

2. Вычислим объём $V_2$:
$V_2 = 5,4 \cdot 2,5 \cdot 2,2 = 13,5 \cdot 2,2 = 29,7 \text{ дм}^3$.

Ответ: объём второго аквариума равен 29,7 дм³.

Сравнение объёмов и итоговый вывод

Сравниваем полученные объёмы двух аквариумов:
$V_1 = 35 \text{ дм}^3$
$V_2 = 29,7 \text{ дм}^3$

Поскольку $35 > 29,7$, то объём первого аквариума больше.

Ответ: больший объём имеет первый аквариум.

1056. Площадь пола комнаты $16 \text{ м}^2$, высота комнаты $2 \frac{1}{4} \text{ м}$. Определите объём этой комнаты.

Для того чтобы найти объём комнаты, необходимо умножить площадь её пола на высоту. Объём ($V$) вычисляется по формуле:

$V = S \cdot h$

где $S$ — площадь основания (пола), а $h$ — высота.

В нашей задаче дано:
Площадь пола $S = 16$ м².
Высота комнаты $h = 2\frac{1}{4}$ м.

Перед вычислением представим высоту в виде неправильной дроби:

$h = 2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$ м.

Теперь подставим значения в формулу и вычислим объём:

$V = 16 \cdot \frac{9}{4} = \frac{16 \cdot 9}{4}$

Сократим 16 и 4:

$V = \frac{4 \cdot 9}{1} = 36$ м³.

Ответ: 36 м³.

1057. Постройте развёртку прямоугольного параллелепипеда, рёбра которого $\frac{2}{5}$ дм, $\frac{1}{4}$ дм, $\frac{1}{2}$ дм. Вырежьте развёртку из бумаги, оставляя припуски для склеивания, и склейте прямоугольный параллелепипед. Определите объём и сумму площадей всех граней получившегося прямоугольного параллелепипеда.

Построение развёртки

Первая часть задания — практическая. Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны $a = \frac{2}{5}$ дм, $b = \frac{1}{4}$ дм и $c = \frac{1}{2}$ дм. Для удобства построения развёртки на бумаге переведём эти величины в сантиметры (1 дм = 10 см):
Длина: $a = \frac{2}{5} \cdot 10 = 4$ см.
Ширина: $b = \frac{1}{4} \cdot 10 = 2,5$ см.
Высота: $c = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

Развёртка будет состоять из 6 прямоугольников, которые являются гранями параллелепипеда: две грани с размерами $4 \times 2,5$ см (основания), две грани с размерами $4 \times 5$ см и две грани с размерами $2,5 \times 5$ см. Эти прямоугольники необходимо начертить на бумаге в виде единой фигуры, которую можно вырезать, согнуть по линиям и склеить, предварительно добавив к некоторым сторонам припуски для склеивания.

Объём

Объём $V$ прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$. Подставляем заданные значения в дециметрах:

$V = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 1 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{2}{40} = \frac{1}{20}$ дм$^3$.
Ответ: $\frac{1}{20}$ дм$^3$.

Сумма площадей всех граней

Сумма площадей всех граней (или площадь полной поверхности) $S$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$.

$S = 2 \left( \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \right) = 2 \left( \frac{2}{20} + \frac{2}{10} + \frac{1}{8} \right) = 2 \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{5} + \frac{1}{8} \right)$.

Для сложения дробей приведём их к общему знаменателю 40:

$S = 2 \left( \frac{4}{40} + \frac{8}{40} + \frac{5}{40} \right) = 2 \left( \frac{4+8+5}{40} \right) = 2 \cdot \frac{17}{40} = \frac{34}{40} = \frac{17}{20}$ дм$^2$.
Ответ: $\frac{17}{20}$ дм$^2$.

1058. Постройте развёртку куба, ребро которого $\frac{1}{25}$ м. Вырежьте развёртку из бумаги, оставляя припуски для склеивания, и склейте куб. Определите объём и сумму площадей всех граней получившегося куба.

Постройте развёртку куба

1. Для удобства построения развёртки на бумаге переведём длину ребра куба из метров в сантиметры. Зная, что в 1 метре 100 сантиметров, получаем:

$a = \frac{1}{25} \text{ м} = \frac{1}{25} \times 100 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

2. Развёртка куба представляет собой фигуру из шести одинаковых квадратов. На листе бумаги с помощью линейки и карандаша необходимо начертить шесть квадратов со стороной 4 см, соединённых между собой. Например, можно расположить четыре квадрата в один ряд и ещё два — по бокам от одного из центральных квадратов (в виде креста).

3. Для склеивания модели к некоторым внешним сторонам квадратов нужно дорисовать небольшие клапаны (припуски). Затем развёртку следует вырезать по контуру, согнуть по линиям и склеить, чтобы получилась объёмная модель куба.

Определите объём

Объём куба ($V$) вычисляется по формуле, где длина ребра ($a$) возводится в третью степень: $V = a^3$.

Подставим в формулу заданную длину ребра $a = \frac{1}{25}$ м:

$V = \left(\frac{1}{25}\right)^3 = \frac{1^3}{25^3} = \frac{1}{25 \times 25 \times 25} = \frac{1}{15625} \text{ м}^3$.

Ответ: объём получившегося куба равен $\frac{1}{15625}$ м³.

Определите сумму площадей всех граней

Сумма площадей всех граней куба (или площадь полной поверхности, $S_{полн}$) равна площади одной грани, умноженной на 6, так как у куба шесть одинаковых квадратных граней. Площадь одной грани равна $a^2$. Таким образом, формула для вычисления: $S_{полн} = 6a^2$.

Подставим в формулу длину ребра $a = \frac{1}{25}$ м:

$S_{полн} = 6 \times \left(\frac{1}{25}\right)^2 = 6 \times \frac{1^2}{25^2} = 6 \times \frac{1}{625} = \frac{6}{625} \text{ м}^2$.

Ответ: сумма площадей всех граней получившегося куба равна $\frac{6}{625}$ м².

1059. Квадрат площадью $1 \text{ м}^2$ разрезали на несколько равных квадратов площадью:

а) $\frac{1}{4} \text{ м}^2$;

б) $\frac{1}{9} \text{ м}^2$;

в) $\frac{1}{16} \text{ м}^2$;

г) $\frac{1}{25} \text{ м}^2$.

Сколько таких квадратов получилось?

Чтобы найти, сколько равных квадратов получилось, нужно общую площадь большого квадрата разделить на площадь одного маленького квадрата. Общая площадь исходного квадрата равна $1$ м².

а)

Площадь одного маленького квадрата равна $\frac{1}{4}$ м². Найдем количество таких квадратов:

$1 \div \frac{1}{4} = 1 \cdot \frac{4}{1} = 4$ (квадрата).

Ответ: 4.

б)

Площадь одного маленького квадрата равна $\frac{1}{9}$ м². Найдем количество таких квадратов:

$1 \div \frac{1}{9} = 1 \cdot \frac{9}{1} = 9$ (квадратов).

Ответ: 9.

в)

Площадь одного маленького квадрата равна $\frac{1}{16}$ м². Найдем количество таких квадратов:

$1 \div \frac{1}{16} = 1 \cdot \frac{16}{1} = 16$ (квадратов).

Ответ: 16.

г)

Площадь одного маленького квадрата равна $\frac{1}{25}$ м². Найдем количество таких квадратов:

$1 \div \frac{1}{25} = 1 \cdot \frac{25}{1} = 25$ (квадратов).

Ответ: 25.