Номер 1053, страница 234 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.19. Площадь прямоугольника. Объем прямоугольного параллелепипеда. Глава 4. Обыкновенные дроби - номер 1053, страница 234.

Условие.

1053. Вычислите площадь всех граней и объём прямоугольного параллелепипеда, рёбра которого равны:

а) $1 \frac{1}{3}$ дм, $\frac{1}{4}$ дм и $\frac{1}{2}$ дм;

б) $\frac{1}{5}$ дм, $1 \frac{1}{4}$ дм и $\frac{1}{3}$ дм.

Решение 2.

Решение 3.

а)

Даны рёбра прямоугольного параллелепипеда: $a = 1\frac{1}{3}$ дм, $b = \frac{1}{4}$ дм и $c = \frac{1}{2}$ дм.

1. Вычислим площадь всех граней (площадь полной поверхности).
Формула площади полной поверхности: $S = 2(ab + ac + bc)$.
Сначала переведём смешанное число в неправильную дробь: $a = 1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ дм.
Теперь найдём площади парных граней:
$ab = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ дм²
$ac = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ дм²
$bc = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ дм²
Сложим площади и умножим на 2:
$S = 2(\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{1}{8}) = 2(1 + \frac{1}{8}) = 2 \cdot 1\frac{1}{8} = 2 \cdot \frac{9}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$ дм².

2. Вычислим объём.
Формула объёма: $V = a \cdot b \cdot c$.
$V = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 1 \cdot 1}{3 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$ дм³.

Ответ: площадь всех граней $2\frac{1}{4}$ дм², объём $\frac{1}{6}$ дм³.

б)

Даны рёбра прямоугольного параллелепипеда: $a = \frac{1}{5}$ дм, $b = 1\frac{1}{4}$ дм и $c = \frac{1}{3}$ дм.

1. Вычислим площадь всех граней (площадь полной поверхности).
Формула площади полной поверхности: $S = 2(ab + ac + bc)$.
Сначала переведём смешанное число в неправильную дробь: $b = 1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ дм.
Теперь найдём площади парных граней:
$ab = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$ дм²
$ac = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{15}$ дм²
$bc = \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{12}$ дм²
Сложим площади, приведя дроби к общему знаменателю 60, и умножим на 2:
$S = 2(\frac{1}{4} + \frac{1}{15} + \frac{5}{12}) = 2(\frac{15}{60} + \frac{4}{60} + \frac{25}{60}) = 2(\frac{15+4+25}{60}) = 2 \cdot \frac{44}{60} = \frac{88}{60} = \frac{22}{15} = 1\frac{7}{15}$ дм².

2. Вычислим объём.
Формула объёма: $V = a \cdot b \cdot c$.
$V = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 5 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 3} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$ дм³.

Ответ: площадь всех граней $1\frac{7}{15}$ дм², объём $\frac{1}{12}$ дм³.