Номер 1057, страница 234 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1057. Постройте развёртку прямоугольного параллелепипеда, рёбра которого $\frac{2}{5}$ дм, $\frac{1}{4}$ дм, $\frac{1}{2}$ дм. Вырежьте развёртку из бумаги, оставляя припуски для склеивания, и склейте прямоугольный параллелепипед. Определите объём и сумму площадей всех граней получившегося прямоугольного параллелепипеда.

Построение развёртки

Первая часть задания — практическая. Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны $a = \frac{2}{5}$ дм, $b = \frac{1}{4}$ дм и $c = \frac{1}{2}$ дм. Для удобства построения развёртки на бумаге переведём эти величины в сантиметры (1 дм = 10 см):
Длина: $a = \frac{2}{5} \cdot 10 = 4$ см.
Ширина: $b = \frac{1}{4} \cdot 10 = 2,5$ см.
Высота: $c = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

Развёртка будет состоять из 6 прямоугольников, которые являются гранями параллелепипеда: две грани с размерами $4 \times 2,5$ см (основания), две грани с размерами $4 \times 5$ см и две грани с размерами $2,5 \times 5$ см. Эти прямоугольники необходимо начертить на бумаге в виде единой фигуры, которую можно вырезать, согнуть по линиям и склеить, предварительно добавив к некоторым сторонам припуски для склеивания.

Объём

Объём $V$ прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$. Подставляем заданные значения в дециметрах:

$V = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 1 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{2}{40} = \frac{1}{20}$ дм$^3$.
Ответ: $\frac{1}{20}$ дм$^3$.

Сумма площадей всех граней

Сумма площадей всех граней (или площадь полной поверхности) $S$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$.

$S = 2 \left( \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \right) = 2 \left( \frac{2}{20} + \frac{2}{10} + \frac{1}{8} \right) = 2 \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{5} + \frac{1}{8} \right)$.

Для сложения дробей приведём их к общему знаменателю 40:

$S = 2 \left( \frac{4}{40} + \frac{8}{40} + \frac{5}{40} \right) = 2 \left( \frac{4+8+5}{40} \right) = 2 \cdot \frac{17}{40} = \frac{34}{40} = \frac{17}{20}$ дм$^2$.
Ответ: $\frac{17}{20}$ дм$^2$.