Номер 1062, страница 236 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1062. Расстояние между пристанями $A$ и $B$ на реке плот проплывает за 15 мин, а катер проплывает расстояние $AB$ против течения реки за 30 мин. За сколько минут катер проплывёт расстояние $AB$:

а) по озеру;

б) по течению реки?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – расстояние между пристанями А и В.
• $v_к$ – собственная скорость катера (скорость в стоячей воде, например, в озере).
• $v_т$ – скорость течения реки.

Скорость плота равна скорости течения реки, так как у плота нет собственного двигателя. Плот проплывает расстояние $S$ за 15 минут. Следовательно, скорость течения реки можно выразить как:

$v_т = \frac{S}{15}$ (расстояния/минуту)

Катер проплывает расстояние $S$ против течения за 30 минут. Скорость катера против течения равна разности его собственной скорости и скорости течения ($v_к - v_т$). Таким образом:

$v_к - v_т = \frac{S}{30}$ (расстояния/минуту)

Теперь мы можем найти собственную скорость катера $v_к$, подставив выражение для $v_т$ во второе уравнение:

$v_к - \frac{S}{15} = \frac{S}{30}$

$v_к = \frac{S}{30} + \frac{S}{15}$

Приведем дроби к общему знаменателю 30:

$v_к = \frac{S}{30} + \frac{2S}{30} = \frac{3S}{30} = \frac{S}{10}$ (расстояния/минуту)

Теперь, зная собственную скорость катера и скорость течения, мы можем ответить на вопросы задачи.

В озере нет течения, поэтому катер будет двигаться со своей собственной скоростью $v_к$. Время $t_{озеро}$, за которое катер проплывет расстояние $S$, равно:

$t_{озеро} = \frac{S}{v_к} = \frac{S}{S/10} = 10$ минут.

Ответ: 10 минут.

При движении по течению скорость катера равна сумме его собственной скорости и скорости течения ($v_к + v_т$). Сначала найдем эту скорость:

$v_{по\;течению} = v_к + v_т = \frac{S}{10} + \frac{S}{15}$

Приведем дроби к общему знаменателю 30:

$v_{по\;течению} = \frac{3S}{30} + \frac{2S}{30} = \frac{5S}{30} = \frac{S}{6}$ (расстояния/минуту)

Теперь найдем время $t_{по\;течению}$, за которое катер проплывет расстояние $S$ по течению:

$t_{по\;течению} = \frac{S}{v_{по\;течению}} = \frac{S}{S/6} = 6$ минут.

Ответ: 6 минут.