Номер 1065, страница 236 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1065. Расстояние между пристанями $A$ и $B$ моторная лодка проплывает по течению реки за 15 мин, а против течения — за 60 мин.

За сколько минут проплывёт то же расстояние:

а) бревно по реке;

б) моторная лодка по озеру?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – расстояние между пристанями A и B.
• $v_л$ – собственная скорость моторной лодки (скорость в стоячей воде, например, в озере).
• $v_т$ – скорость течения реки.

Когда лодка плывет по течению, ее скорость складывается из собственной скорости и скорости течения, то есть равна $v_л + v_т$.

Когда лодка плывет против течения, ее скорость равна разности собственной скорости и скорости течения, то есть $v_л - v_т$.

Используя формулу расстояния $S = v \cdot t$, где $v$ – скорость, а $t$ – время, составим систему уравнений на основе данных из условия:

1) Время по течению $t_1 = 15$ мин: $S = (v_л + v_т) \cdot 15$

2) Время против течения $t_2 = 60$ мин: $S = (v_л - v_т) \cdot 60$

Из этих уравнений можно выразить скорости:

$v_л + v_т = \frac{S}{15}$

$v_л - v_т = \frac{S}{60}$

Теперь мы можем решить поставленные вопросы.

а) бревно по реке;

Бревно не имеет собственной скорости и движется по реке со скоростью течения $v_т$. Нам нужно найти время, за которое бревно проплывет расстояние $S$. Для этого сначала найдем скорость течения $v_т$. Вычтем второе уравнение из первого:

$(v_л + v_т) - (v_л - v_т) = \frac{S}{15} - \frac{S}{60}$

$v_л + v_т - v_л + v_т = \frac{4S - S}{60}$

$2v_т = \frac{3S}{60}$

$2v_т = \frac{S}{20}$

$v_т = \frac{S}{40}$

Теперь найдем время $t_б$, которое потребуется бревну, чтобы проплыть расстояние $S$ со скоростью $v_т$:

$t_б = \frac{S}{v_т} = \frac{S}{\frac{S}{40}} = S \cdot \frac{40}{S} = 40$ минут.

Ответ: 40 минут.

б) моторная лодка по озеру?

В озере нет течения, поэтому лодка будет двигаться со своей собственной скоростью $v_л$. Нам нужно найти время, за которое лодка проплывет расстояние $S$ по озеру. Для этого сначала найдем собственную скорость лодки $v_л$. Сложим два исходных уравнения для скоростей:

$(v_л + v_т) + (v_л - v_т) = \frac{S}{15} + \frac{S}{60}$

$2v_л = \frac{4S + S}{60}$

$2v_л = \frac{5S}{60}$

$2v_л = \frac{S}{12}$

$v_л = \frac{S}{24}$

Теперь найдем время $t_о$, которое потребуется лодке, чтобы проплыть расстояние $S$ со скоростью $v_л$:

$t_о = \frac{S}{v_л} = \frac{S}{\frac{S}{24}} = S \cdot \frac{24}{S} = 24$ минуты.

Ответ: 24 минуты.