Номер 1069, страница 240 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1069. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Купил полторажды полтора аршина, дал полтретьяжды полтретьи гривны. Сколько надо дать за полдевятажды полдевята аршина?

Примечание. На Руси некоторые смешанные дроби имели свои названия: $1\frac{1}{2}$ — полтора, $2\frac{1}{2}$ — полтрети, $3\frac{1}{2}$ — полчетверта, $4\frac{1}{2}$ — полпята и т. д.

В задаче упоминаются произведения дробей:

$1\frac{1}{2} \cdot 1\frac{1}{2}$; $2\frac{1}{2} \cdot 2\frac{1}{2}$; $8\frac{1}{2} \cdot 8\frac{1}{2}$.

Для решения этой старинной задачи из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого, необходимо сначала перевести старинные русские обозначения дробей на современный математический язык, используя примечание к задаче.

1. Расшифровка условия задачи

В примечании указано:

• Полтора: $1 \frac{1}{2}$
• Полтрети: $2 \frac{1}{2}$

По аналогии, «полдевята» (то есть, неполные девять, или половина от девятого) означает $8 \frac{1}{2}$.

Окончание «-жды» в словах «полторажды», «полтретьяжды» означает умножение. Таким образом, условие задачи можно переписать в виде современных математических выражений:

• Количество купленного товара: «полторажды полтора аршина» = $1 \frac{1}{2} \cdot 1 \frac{1}{2}$ аршина.
• Уплаченная сумма: «полтретьяжды полтретьи гривны» = $2 \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{1}{2}$ гривны.
• Новое количество товара, для которого нужно рассчитать цену: «полдевятажды полдевята аршина» = $8 \frac{1}{2} \cdot 8 \frac{1}{2}$ аршина.

2. Определение цены за один аршин

Сначала вычислим, сколько всего было куплено аршин. Для этого переведем смешанную дробь в неправильную и выполним умножение:

Количество = $1 \frac{1}{2} \cdot 1 \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4}$ аршина.

Теперь вычислим, сколько всего гривен было уплачено:

Сумма = $2 \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{25}{4}$ гривны.

Чтобы найти цену одного аршина, нужно общую сумму разделить на общее количество товара:

Цена за 1 аршин $= \frac{25}{4} \div \frac{9}{4} = \frac{25}{4} \cdot \frac{4}{9} = \frac{25}{9}$ гривны.

3. Расчет стоимости для нового количества аршин

Вычислим новое количество аршин:

Новое количество $= 8 \frac{1}{2} \cdot 8 \frac{1}{2} = \frac{17}{2} \cdot \frac{17}{2} = \frac{289}{4}$ аршина.

Теперь умножим это количество на ранее найденную цену одного аршина, чтобы определить, сколько нужно заплатить:

Итоговая стоимость $= \frac{289}{4} \cdot \frac{25}{9} = \frac{289 \cdot 25}{4 \cdot 9} = \frac{7225}{36}$ гривны.

Для удобства преобразуем полученную неправильную дробь в смешанное число:

$7225 \div 36 = 200$ (остаток $25$).

Таким образом, итоговая стоимость составляет $200 \frac{25}{36}$ гривны.

Ответ: $200 \frac{25}{36}$ гривны.