Номер 1070, страница 241 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1070. Ананий из Ширака (Армения, VII в.). В городе Афины был водоём, в который проведены три трубы. Одна из труб может наполнить водоём за один час, другая, более тонкая, — за два часа, третья, ещё более тонкая, — за три часа. Итак, узнай, за какую часть часа все три трубы вместе наполняют водоём.

Примечание. Ананий дал такой ответ: $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{12}$ $\frac{1}{22}$. Используйте его для проверки своего решения.

Для решения задачи примем весь объём водоёма за 1.

1. Найдём производительность каждой трубы.
Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени. В данном случае, это часть водоёма, которую труба наполняет за 1 час.

• Первая труба наполняет водоём за 1 час, значит её производительность составляет $1 \div 1 = \frac{1}{1}$ водоёма в час.
• Вторая труба наполняет водоём за 2 часа, её производительность — $1 \div 2 = \frac{1}{2}$ водоёма в час.
• Третья труба наполняет водоём за 3 часа, её производительность — $1 \div 3 = \frac{1}{3}$ водоёма в час.

2. Найдём общую производительность.
При совместной работе производительности труб складываются. $P_{общ} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$
Приведём дроби к общему знаменателю 6: $P_{общ} = \frac{6}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{6+3+2}{6} = \frac{11}{6}$
Это значит, что за 1 час все три трубы вместе наполнят $\frac{11}{6}$ водоёма.

3. Найдём время наполнения водоёма.
Чтобы найти время, за которое наполнится весь водоём (т.е. 1), нужно разделить объём работы на общую производительность: $T = 1 \div P_{общ} = 1 \div \frac{11}{6} = 1 \cdot \frac{6}{11} = \frac{6}{11}$ часа.

Проверка по примечанию.
Ананий из Ширака дал ответ в виде суммы аликвотных дробей (дробей с числителем 1), что было характерно для математики того времени. Проверим, равна ли сумма его дробей нашему результату: $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{22}$
Сложим первые три дроби, приведя их к общему знаменателю 12: $\frac{3}{12} + \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
Теперь добавим последнюю дробь: $\frac{1}{2} + \frac{1}{22}$
Приведём к общему знаменателю 22: $\frac{11}{22} + \frac{1}{22} = \frac{12}{22} = \frac{6}{11}$
Результаты совпали, следовательно, задача решена верно.

Ответ: все три трубы вместе наполнят водоём за $\frac{6}{11}$ часа.