Номер 1076, страница 241 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1076. Задача-шутка. Из верхнего угла комнаты вниз по стене поползли две мухи. Спустившись до пола, они поползли обратно. Первая муха ползла вниз и вверх с одинаковой скоростью, а вторая муха хоть и поднималась в два раза медленнее первой, но зато спускалась вдвое быстрее её. Какая из мух раньше приползёт обратно?

Для решения этой задачи введем переменные и сравним общее время, затраченное каждой мухой на путь туда и обратно.

Пусть $S$ — это расстояние от верхнего угла до пола (высота стены), а $v$ — скорость первой мухи.

Расчет для первой мухи:
Первая муха ползет вниз и вверх с одинаковой скоростью $v$.
Время, чтобы спуститься вниз: $t_{1,вниз} = \frac{S}{v}$.
Время, чтобы подняться вверх: $t_{1,вверх} = \frac{S}{v}$.
Общее время для первой мухи: $T_1 = t_{1,вниз} + t_{1,вверх} = \frac{S}{v} + \frac{S}{v} = \frac{2S}{v}$.

Расчет для второй мухи:
Вторая муха спускалась вдвое быстрее первой, значит, ее скорость вниз была $2v$.
Время, чтобы спуститься вниз: $t_{2,вниз} = \frac{S}{2v}$.
Вторая муха поднималась в два раза медленнее первой, значит, ее скорость вверх была $\frac{v}{2}$.
Время, чтобы подняться вверх: $t_{2,вверх} = \frac{S}{v/2} = \frac{2S}{v}$.
Общее время для второй мухи: $T_2 = t_{2,вниз} + t_{2,вверх} = \frac{S}{2v} + \frac{2S}{v}$.

Сравнение времен:
Теперь сравним общее время $T_1$ и $T_2$.
$T_1 = \frac{2S}{v}$
$T_2 = \frac{S}{2v} + \frac{2S}{v} = \frac{S}{2v} + \frac{4S}{2v} = \frac{5S}{2v}$.
Чтобы сравнить дроби, приведем $T_1$ к тому же знаменателю: $T_1 = \frac{2S}{v} = \frac{4S}{2v}$.
Теперь мы видим, что $T_1 = \frac{4S}{2v}$, а $T_2 = \frac{5S}{2v}$.
Поскольку $\frac{4S}{2v} < \frac{5S}{2v}$, то $T_1 < T_2$.
Это означает, что первая муха затратит на весь путь меньше времени, чем вторая. "Шутка" задачи заключается в том, что интуитивно кажется, будто времена должны быть одинаковы, но вторая муха проводит гораздо больше времени, двигаясь с медленной скоростью, чем выигрывает, двигаясь с быстрой.
Ответ: Первая муха приползёт обратно раньше.