Номер 1081, страница 243 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1081. К табунщику пришли три казака покупать лошадей. «Хорошо, я вам продам лошадей, — сказал табунщик, — первому продам я полтабуна и ещё половину лошади, второму — половину оставшихся лошадей и ещё пол-лошади, третий также получит половину оставшихся лошадей и ещё пол-лошади. Себе же оставлю только 5 лошадей». Удивились казаки: как это табунщик будет делить лошадей пополам? Но после некоторых размышлений они успокоились, и сделка состоялась. Сколько же лошадей продал табунщик каждому из казаков?

Для решения этой задачи необходимо рассуждать с конца, так как нам известен конечный результат — у табунщика осталось 5 лошадей.

Сначала разберемся с условием продажи. Фраза «половину оставшихся лошадей и ещё пол-лошади» математически означает следующее: если перед продажей было $N$ лошадей, то казак получал $N/2 + 0.5$ лошадей. После этого у табунщика оставалось $N - (N/2 + 0.5) = N - N/2 - 0.5 = N/2 - 0.5$ лошадей. Это означает, что число лошадей перед каждой сделкой было нечетным, что позволяло совершить сделку без разделения живой лошади.

Чтобы найти, сколько лошадей было до сделки ($N$), зная, сколько осталось после нее ($Y$), нужно выполнить обратное действие. Если $Y = N/2 - 0.5$, то $N = 2 \cdot (Y + 0.5) = 2Y + 1$.

Теперь применим эту формулу последовательно, двигаясь от конца к началу.

1. Расчеты для третьего казака

После сделки с третьим казаком у табунщика осталось 5 лошадей. Найдем, сколько лошадей было до этой сделки, используя нашу обратную формулу:

$N_{до_3} = 2 \cdot 5 + 1 = 11$ лошадей.

Таким образом, до прихода третьего казака было 11 лошадей. Третий казак купил: $11 - 5 = 6$ лошадей.

Проверим: $11/2 + 0.5 = 5.5 + 0.5 = 6$ лошадей. Все верно.

2. Расчеты для второго казака

Мы знаем, что 11 лошадей — это остаток после сделки со вторым казаком. Найдем, сколько лошадей было до его прихода:

$N_{до_2} = 2 \cdot 11 + 1 = 23$ лошади.

Значит, второй казак купил: $23 - 11 = 12$ лошадей.

Проверим: $23/2 + 0.5 = 11.5 + 0.5 = 12$ лошадей. Все верно.

3. Расчеты для первого казака

23 лошади — это остаток после того, как первый казак купил свою долю. Найдем, сколько лошадей было в табуне изначально:

$N_{изначально} = 2 \cdot 23 + 1 = 47$ лошадей.

Следовательно, первый казак купил: $47 - 23 = 24$ лошади.

Проверим: $47/2 + 0.5 = 23.5 + 0.5 = 24$ лошади. Все верно.

Итак, мы выяснили, сколько лошадей купил каждый казак.

Ответ: Первый казак купил 24 лошади, второй казак — 12 лошадей, третий казак — 6 лошадей.