Номер 1085, страница 243 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1085. Задача Метродора.

Корона весит 60 мин (греческая мера веса и денег) и состоит из сплава золота, меди, олова и железа. Золото и медь составляют $\frac{2}{3}$, золото и олово $\frac{3}{4}$, золото и железо $\frac{3}{5}$ общего веса. Определите вес каждого металла в отдельности.

Для решения задачи введем обозначения. Пусть общий вес короны равен $W$, а веса золота, меди, олова и железа — $З$, $М$, $О$ и $Ж$ соответственно.
По условию, общий вес короны $W = 60$ мин.

На основе данных из условия составим систему уравнений:
1) $З + М + О + Ж = 60$
2) Золото и медь: $З + М = \frac{2}{3} W = \frac{2}{3} \cdot 60 = 40$ мин
3) Золото и олово: $З + О = \frac{3}{4} W = \frac{3}{4} \cdot 60 = 45$ мин
4) Золото и железо: $З + Ж = \frac{3}{5} W = \frac{3}{5} \cdot 60 = 36$ мин

Теперь, используя эти уравнения, мы можем найти вес каждого металла по отдельности.

Определение веса железа
Чтобы найти вес железа ($Ж$), можно из общего веса короны вычесть вес золота, меди и олова. Из уравнения (1) $З + М + О + Ж = 60$. Из уравнения (3) мы знаем, что $З + О = 45$. Однако нам неизвестен вес меди.
Поступим иначе. Найдем сначала суммарный вес металлов, кроме золота.
Из уравнения (1) и (2) найдем вес олова и железа вместе:
$О + Ж = (З + М + О + Ж) - (З + М) = 60 - 40 = 20$ мин.
Из уравнения (1) и (3) найдем вес меди и железа вместе:
$М + Ж = (З + М + О + Ж) - (З + О) = 60 - 45 = 15$ мин.
Из уравнения (1) и (4) найдем вес меди и олова вместе:
$М + О = (З + М + О + Ж) - (З + Ж) = 60 - 36 = 24$ мин.

Теперь у нас есть новая система для трех металлов:
$О + Ж = 20$
$М + Ж = 15$
$М + О = 24$
Сложим эти три уравнения: $(О + Ж) + (М + Ж) + (М + О) = 20 + 15 + 24$.
$2М + 2О + 2Ж = 59$, или $2(М + О + Ж) = 59$.
Отсюда суммарный вес меди, олова и железа: $М + О + Ж = \frac{59}{2} = 29,5$ мин.
Теперь, зная общий вес этих трех металлов и вес пары "медь + олово" ($М+О=24$), мы можем найти вес железа:
$Ж = (М + О + Ж) - (М + О) = 29,5 - 24 = 5,5$ мин.
Ответ: вес железа составляет 5,5 мин.

Определение веса олова
Используя суммарный вес трех металлов ($М + О + Ж = 29,5$) и вес пары "медь + железо" ($М+Ж=15$), найдем вес олова:
$О = (М + О + Ж) - (М + Ж) = 29,5 - 15 = 14,5$ мин.
Ответ: вес олова составляет 14,5 мин.

Определение веса меди
Используя суммарный вес трех металлов ($М + О + Ж = 29,5$) и вес пары "олово + железо" ($О+Ж=20$), найдем вес меди:
$М = (М + О + Ж) - (О + Ж) = 29,5 - 20 = 9,5$ мин.
Ответ: вес меди составляет 9,5 мин.

Определение веса золота
Вес золота можно найти несколькими способами. Например, вычтем из общего веса короны суммарный вес остальных трех металлов:
$З = W - (М + О + Ж) = 60 - 29,5 = 30,5$ мин.
Или, используя начальное условие $З + М = 40$:
$З = 40 - М = 40 - 9,5 = 30,5$ мин.
Ответ: вес золота составляет 30,5 мин.

Итоговый ответ:

• Вес золота: 30,5 мин
• Вес меди: 9,5 мин
• Вес олова: 14,5 мин
• Вес железа: 5,5 мин