Номер 1091, страница 245 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1091. а) Летела стая гусей. На первом озере села половина стаи и ещё полгуся, а на втором — остальные 8 гусей. Сколько гусей было в стае?

б) Над озёрами летели гуси. На каждом озере садилась половина гусей и ещё полгуся, остальные летели дальше. Все сели на семи озёрах. Сколько было гусей?

а)

Эту задачу можно решить с помощью уравнения или логически, рассуждая "с конца".

Способ 1: Решение с помощью уравнения.

Пусть $x$ – это общее количество гусей в стае. На первом озере села половина стаи и еще полгуся, то есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{2}$ гусей. После этого осталось лететь $x - (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})$ гусей. Упростим это выражение: $x - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$ По условию, эти оставшиеся гуси – это 8 гусей, которые сели на втором озере. Составим уравнение: $\frac{x}{2} - \frac{1}{2} = 8$ Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 2: $x - 1 = 16$ $x = 16 + 1$ $x = 17$ Итак, в стае было 17 гусей.

Способ 2: Решение "с конца".

На втором озере село 8 гусей. Эти 8 гусей – это те, что остались после того, как часть стаи села на первом озере. На первом озере села половина стаи и еще полгуся. Значит, оставшиеся 8 гусей – это вторая половина стаи, но без полугуся. Следовательно, половина стаи равна $8 + \frac{1}{2} = 8.5$ гусей. Тогда вся стая целиком – это две такие половины: $8.5 \cdot 2 = 17$ гусей.

Проверка: Если в стае было 17 гусей, то на первом озере села половина ( $17 / 2 = 8.5$ ) и еще полгуся ( $0.5$ ). Всего село $8.5 + 0.5 = 9$ гусей. Осталось лететь $17 - 9 = 8$ гусей, что соответствует условию задачи.

Ответ: в стае было 17 гусей.

б)

Эту задачу удобнее всего решать в обратном порядке, начиная с последнего, седьмого, озера.

На каждом озере садилась половина прилетевших гусей и еще полгуся. Пусть $G_{прилетело}$ - количество гусей, прилетевших к озеру, а $G_{улетело}$ - количество улетевших. Тогда количество улетевших равно: $G_{улетело} = G_{прилетело} - (\frac{G_{прилетело}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{G_{прилетело}}{2} - \frac{1}{2}$ Отсюда можно выразить количество прилетевших гусей через количество улетевших: $G_{прилетело} = 2 \cdot (G_{улетело} + \frac{1}{2}) = 2 \cdot G_{улетело} + 1$

Мы знаем, что с седьмого озера никто не улетел, так как все гуси сели. Значит, после седьмого озера осталось 0 гусей.

• Перед тем как сесть на седьмое озеро, гусей было: $2 \cdot 0 + 1 = 1$ гусь. (К седьмому озеру подлетел 1 гусь. Половина от него - 0.5, и еще полгуся - 0.5. Всего сел $0.5 + 0.5 = 1$ гусь. Осталось 0).

• Перед тем как сесть на шестое озеро, гусей было: $2 \cdot 1 + 1 = 3$ гуся.

• Перед тем как сесть на пятое озеро, гусей было: $2 \cdot 3 + 1 = 7$ гусей.

• Перед тем как сесть на четвертое озеро, гусей было: $2 \cdot 7 + 1 = 15$ гусей.

• Перед тем как сесть на третье озеро, гусей было: $2 \cdot 15 + 1 = 31$ гусь.

• Перед тем как сесть на второе озеро, гусей было: $2 \cdot 31 + 1 = 63$ гуся.

• Изначально, перед тем как сесть на первое озеро, в стае было: $2 \cdot 63 + 1 = 127$ гусей.

Можно заметить, что количество гусей, подлетавших к каждому озеру (считая с конца), подчиняется формуле $2^n - 1$, где $n$ — номер озера с конца. Для первого озера $n=7$, поэтому итоговое число гусей равно $2^7 - 1 = 128 - 1 = 127$.

Ответ: было 127 гусей.