Страница 245 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1091. а) Летела стая гусей. На первом озере села половина стаи и ещё полгуся, а на втором — остальные 8 гусей. Сколько гусей было в стае?

б) Над озёрами летели гуси. На каждом озере садилась половина гусей и ещё полгуся, остальные летели дальше. Все сели на семи озёрах. Сколько было гусей?

а)

Эту задачу можно решить с помощью уравнения или логически, рассуждая "с конца".

Способ 1: Решение с помощью уравнения.

Пусть $x$ – это общее количество гусей в стае. На первом озере села половина стаи и еще полгуся, то есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{2}$ гусей. После этого осталось лететь $x - (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})$ гусей. Упростим это выражение: $x - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$ По условию, эти оставшиеся гуси – это 8 гусей, которые сели на втором озере. Составим уравнение: $\frac{x}{2} - \frac{1}{2} = 8$ Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 2: $x - 1 = 16$ $x = 16 + 1$ $x = 17$ Итак, в стае было 17 гусей.

Способ 2: Решение "с конца".

На втором озере село 8 гусей. Эти 8 гусей – это те, что остались после того, как часть стаи села на первом озере. На первом озере села половина стаи и еще полгуся. Значит, оставшиеся 8 гусей – это вторая половина стаи, но без полугуся. Следовательно, половина стаи равна $8 + \frac{1}{2} = 8.5$ гусей. Тогда вся стая целиком – это две такие половины: $8.5 \cdot 2 = 17$ гусей.

Проверка: Если в стае было 17 гусей, то на первом озере села половина ( $17 / 2 = 8.5$ ) и еще полгуся ( $0.5$ ). Всего село $8.5 + 0.5 = 9$ гусей. Осталось лететь $17 - 9 = 8$ гусей, что соответствует условию задачи.

Ответ: в стае было 17 гусей.

б)

Эту задачу удобнее всего решать в обратном порядке, начиная с последнего, седьмого, озера.

На каждом озере садилась половина прилетевших гусей и еще полгуся. Пусть $G_{прилетело}$ - количество гусей, прилетевших к озеру, а $G_{улетело}$ - количество улетевших. Тогда количество улетевших равно: $G_{улетело} = G_{прилетело} - (\frac{G_{прилетело}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{G_{прилетело}}{2} - \frac{1}{2}$ Отсюда можно выразить количество прилетевших гусей через количество улетевших: $G_{прилетело} = 2 \cdot (G_{улетело} + \frac{1}{2}) = 2 \cdot G_{улетело} + 1$

Мы знаем, что с седьмого озера никто не улетел, так как все гуси сели. Значит, после седьмого озера осталось 0 гусей.

• Перед тем как сесть на седьмое озеро, гусей было: $2 \cdot 0 + 1 = 1$ гусь. (К седьмому озеру подлетел 1 гусь. Половина от него - 0.5, и еще полгуся - 0.5. Всего сел $0.5 + 0.5 = 1$ гусь. Осталось 0).

• Перед тем как сесть на шестое озеро, гусей было: $2 \cdot 1 + 1 = 3$ гуся.

• Перед тем как сесть на пятое озеро, гусей было: $2 \cdot 3 + 1 = 7$ гусей.

• Перед тем как сесть на четвертое озеро, гусей было: $2 \cdot 7 + 1 = 15$ гусей.

• Перед тем как сесть на третье озеро, гусей было: $2 \cdot 15 + 1 = 31$ гусь.

• Перед тем как сесть на второе озеро, гусей было: $2 \cdot 31 + 1 = 63$ гуся.

• Изначально, перед тем как сесть на первое озеро, в стае было: $2 \cdot 63 + 1 = 127$ гусей.

Можно заметить, что количество гусей, подлетавших к каждому озеру (считая с конца), подчиняется формуле $2^n - 1$, где $n$ — номер озера с конца. Для первого озера $n=7$, поэтому итоговое число гусей равно $2^7 - 1 = 128 - 1 = 127$.

Ответ: было 127 гусей.

1092. Первый рабочий выполнил $\frac{1}{4}$ задания, второй $\frac{1}{3}$ остатка, третий $\frac{1}{2}$ остатка, а четвёртый выполнил задание до конца. Какой из рабочих выполнил больший объём работы?

Чтобы определить, кто из рабочих выполнил больший объём работы, нужно вычислить долю работы каждого рабочего от всего задания. Примем весь объём задания за 1.

1. Первый рабочий выполнил $\frac{1}{4}$ всего задания.
Оставшаяся часть задания: $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

2. Второй рабочий выполнил $\frac{1}{3}$ от остатка. Найдём его долю от всего задания:
$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.
Новый остаток после второго рабочего: $\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

3. Третий рабочий выполнил $\frac{1}{2}$ от нового остатка. Найдём его долю от всего задания:
$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
Остаток после третьего рабочего: $\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.

4. Четвёртый рабочий выполнил задание до конца, то есть он выполнил оставшуюся $\frac{1}{4}$ часть задания.

Сравним доли выполненной работы каждого рабочего:

• Первый рабочий: $\frac{1}{4}$
• Второй рабочий: $\frac{1}{4}$
• Третий рабочий: $\frac{1}{4}$
• Четвёртый рабочий: $\frac{1}{4}$

Поскольку $\frac{1}{4} = \frac{1}{4} = \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$, все рабочие выполнили одинаковый объём работы.

Ответ: все рабочие выполнили одинаковый объём работы.

1093. На первом экзамене в институт получили двойки $\frac{1}{7}$ всех абитуриентов, на втором экзамене — $\frac{1}{8}$ остальных абитуриентов, на третьем экзамене — $\frac{1}{9}$ оставшихся абитуриентов. Какая часть всех абитуриентов сдала три экзамена без двоек?

Для решения задачи найдем, какая часть абитуриентов успешно сдавала каждый экзамен. Примем общее количество абитуриентов за 1.

1. На первом экзамене двойки получила $\frac{1}{7}$ всех абитуриентов. Значит, успешно сдали первый экзамен (и были допущены ко второму) оставшиеся абитуриенты. Их доля от общего числа составляет:
$1 - \frac{1}{7} = \frac{7}{7} - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$

2. На втором экзамене двойки получила $\frac{1}{8}$ остальных абитуриентов, то есть тех, кто сдал первый экзамен. Следовательно, доля успешно сдавших второй экзамен от числа допущенных к нему составляет:
$1 - \frac{1}{8} = \frac{8}{8} - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

3. На третьем экзамене двойки получила $\frac{1}{9}$ оставшихся, то есть тех, кто успешно сдал первые два экзамена. Доля успешно сдавших третий экзамен от числа допущенных к нему составляет:
$1 - \frac{1}{9} = \frac{9}{9} - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

Чтобы найти, какая часть от первоначального общего числа абитуриентов сдала все три экзамена без двоек, нужно перемножить доли успешно сдавших каждый из экзаменов:
$\frac{6}{7} \times \frac{7}{8} \times \frac{8}{9} = \frac{6 \times 7 \times 8}{7 \times 8 \times 9}$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (7 и 8):
$\frac{6 \times \sout{7} \times \sout{8}}{\sout{7} \times \sout{8} \times 9} = \frac{6}{9}$

Теперь сократим полученную дробь $\frac{6}{9}$ на 3:
$\frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}$

Таким образом, $\frac{2}{3}$ всех абитуриентов сдали три экзамена без двоек.

Ответ: $\frac{2}{3}$.