Страница 242 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1078. a) Отец даёт денег своим детям. Старшему — половину всего и 1 р., среднему — половину остатка и ещё 1 р., младшему — половину остатка и последние 3 р. Сколько было денег?

б) Крестьянин, покупая товары, уплатил первому купцу половину своих денег и ещё 1 р.; второму купцу половину оставшихся денег да ещё 2 р. и, наконец, уплатил третьему купцу половину оставшихся денег да ещё 1 р. После этого денег у крестьянина совсем не осталось. Сколько денег было у крестьянина первоначально?

а)

Эту задачу удобнее всего решать с конца, выполняя обратные действия.

1. Начнем с младшего сына. Он получил половину остатка и последние 3 рубля. Это значит, что после того, как он получил свою долю, денег не осталось. Пусть $O_2$ — это остаток денег перед тем, как их получил младший сын. Он получил $\frac{O_2}{2} + 3$. Так как денег не осталось, то сумма, которую он получил, и была всем остатком.
Составим уравнение: $O_2 - (\frac{O_2}{2} + 3) = 0$.
$\frac{O_2}{2} - 3 = 0$
$\frac{O_2}{2} = 3$
$O_2 = 6$ рублей.
Столько денег было перед тем, как их получил младший сын.

2. Теперь рассмотрим среднего сына. Он получил половину остатка и ещё 1 рубль. Пусть $O_1$ — это остаток денег перед тем, как их получил средний сын. После него осталось $O_2 = 6$ рублей.
Составим уравнение: $O_1 - (\frac{O_1}{2} + 1) = 6$.
$\frac{O_1}{2} - 1 = 6$
$\frac{O_1}{2} = 7$
$O_1 = 14$ рублей.
Столько денег было перед тем, как их получил средний сын.

3. Наконец, рассмотрим старшего сына. Он получил половину всех денег и ещё 1 рубль. Пусть $X$ — первоначальная сумма денег. После старшего сына осталось $O_1 = 14$ рублей.
Составим уравнение: $X - (\frac{X}{2} + 1) = 14$.
$\frac{X}{2} - 1 = 14$
$\frac{X}{2} = 15$
$X = 30$ рублей.
Столько денег было у отца изначально.

Проверка:
Изначально было 30 р.
Старший получил: $\frac{30}{2} + 1 = 16$ р. Осталось $30 - 16 = 14$ р.
Средний получил: $\frac{14}{2} + 1 = 8$ р. Осталось $14 - 8 = 6$ р.
Младший получил: $\frac{6}{2} + 3 = 6$ р. Осталось $6 - 6 = 0$ р.
Все верно.

Ответ: 30 рублей.

б)

Эту задачу также решаем с конца.

1. Третьему купцу крестьянин уплатил половину оставшихся денег да ещё 1 рубль, после чего денег не осталось (остаток 0 р.). Пусть $O_2$ — сумма перед уплатой третьему купцу.
Составим уравнение: $O_2 - (\frac{O_2}{2} + 1) = 0$.
$\frac{O_2}{2} - 1 = 0$
$\frac{O_2}{2} = 1$
$O_2 = 2$ рубля.
Столько денег было у крестьянина перед уплатой третьему купцу.

2. Второму купцу он уплатил половину оставшихся денег да ещё 2 рубля. После этого у него осталось $O_2 = 2$ рубля. Пусть $O_1$ — сумма перед уплатой второму купцу.
Составим уравнение: $O_1 - (\frac{O_1}{2} + 2) = 2$.
$\frac{O_1}{2} - 2 = 2$
$\frac{O_1}{2} = 4$
$O_1 = 8$ рублей.
Столько денег было у крестьянина перед уплатой второму купцу.

3. Первому купцу он уплатил половину своих денег и ещё 1 рубль. После этого у него осталось $O_1 = 8$ рублей. Пусть $X$ — первоначальная сумма денег.
Составим уравнение: $X - (\frac{X}{2} + 1) = 8$.
$\frac{X}{2} - 1 = 8$
$\frac{X}{2} = 9$
$X = 18$ рублей.
Столько денег было у крестьянина первоначально.

Проверка:
Изначально было 18 р.
Первому купцу уплатил: $\frac{18}{2} + 1 = 10$ р. Осталось $18 - 10 = 8$ р.
Второму купцу уплатил: $\frac{8}{2} + 2 = 6$ р. Осталось $8 - 6 = 2$ р.
Третьему купцу уплатил: $\frac{2}{2} + 1 = 2$ р. Осталось $2 - 2 = 0$ р.
Все верно.

Ответ: 18 рублей.

1079. a) У Васи есть три шоколадки (рис. 179). Он утверждает, что сможет взять половину имеющегося шоколада и ещё полшоколадки, не ломая ни одной из них. Сможет ли Вася выполнить своё обещание? Если сможет, то как?

Рис. 179

б) В вазе лежало 5 яблок. Мальчик взял половину всех яблок и ещё пол-яблока. Сколько яблок взял мальчик?

в) В коробке лежали карандаши. Сестра взяла половину всех карандашей и ещё полкарандаша. Остальные 4 карандаша взял брат. Сколько карандашей было в коробке первоначально?

а)

Да, Вася сможет выполнить своё обещание. В задаче говорится, что у Васи есть 3 шоколадки. Он хочет взять половину от этого количества и ещё полшоколадки.
Сначала найдём половину от имеющегося шоколада:
$3 \div 2 = 1,5$ шоколадки.
Теперь прибавим к этому количеству ещё полшоколадки:
$1,5 + 0,5 = 2$ шоколадки.
Таким образом, Васе нужно взять ровно 2 целые шоколадки. Он может взять две плитки из трёх, не ломая ни одной из них.
Ответ: Да, сможет. Он возьмёт 2 целые шоколадки.

б)

Чтобы найти, сколько яблок взял мальчик, нужно сначала найти половину от общего количества яблок, а затем прибавить к результату ещё половину яблока.
В вазе было 5 яблок. Найдём половину от этого количества:
$5 \div 2 = 2,5$ яблока.
Теперь добавим ещё пол-яблока (0,5):
$2,5 + 0,5 = 3$ яблока.
Ответ: Мальчик взял 3 яблока.

в)

Эту задачу можно решить, рассуждая с конца, или с помощью уравнения.
1. Решение с конца:
Брат взял 4 карандаша. Это те карандаши, которые остались после того, как сестра взяла свою часть. Перед тем как сестра взяла "ещё полкарандаша", в коробке было на 0,5 карандаша больше, то есть $4 + 0,5 = 4,5$ карандаша. Эти 4,5 карандаша составляли вторую половину от того, что было до того, как сестра начала брать. Значит, первоначально карандашей было в два раза больше: $4,5 \times 2 = 9$ карандашей.
2. Решение с помощью уравнения:
Пусть $x$ — первоначальное количество карандашей в коробке.
Сестра взяла половину всех карандашей ($\frac{x}{2}$) и ещё полкарандаша (0,5). Всего она взяла $(\frac{x}{2} + 0,5)$ карандашей.
После этого в коробке осталось 4 карандаша. Составим уравнение:
$x - (\frac{x}{2} + 0,5) = 4$
$x - \frac{x}{2} - 0,5 = 4$
$\frac{x}{2} = 4 + 0,5$
$\frac{x}{2} = 4,5$
$x = 4,5 \times 2$
$x = 9$
Проверка: Изначально было 9 карандашей. Сестра взяла $9/2 + 0,5 = 4,5 + 0,5 = 5$ карандашей. Осталось $9 - 5 = 4$ карандаша, которые и взял брат. Условие выполняется.
Ответ: В коробке первоначально было 9 карандашей.

1080. Крестьянка продавала на рынке яйца. Первая покупательница купила у неё половину яиц и ещё пол-яйца, вторая — половину остатка и ещё пол-яйца, а третья — последние 10 яиц. Сколько яиц принесла крестьянка на рынок?

Эту задачу удобнее всего решать с конца, двигаясь в обратном порядке от последней покупки к первой.

1. Третья покупательница купила последние 10 яиц. Это означает, что перед её приходом у крестьянки оставалось 10 яиц.

2. Вторая покупательница купила половину остатка и ещё пол-яйца. Оставшиеся после этого 10 яиц и те пол-яйца, которые она взяла, составляют ровно половину того количества, которое было до её прихода. Найдём, сколько яиц было у крестьянки перед второй покупкой:
$(10 + 0,5) \cdot 2 = 10,5 \cdot 2 = 21$ яйцо.

3. Итак, после первой покупательницы остался 21 яйцо. Рассуждая аналогично, первая покупательница купила половину всех яиц и ещё пол-яйца. Значит, оставшийся 21 яйцо и те пол-яйца, которые она взяла, составляют ровно половину от всего первоначального количества яиц. Найдём, сколько яиц крестьянка принесла на рынок:
$(21 + 0,5) \cdot 2 = 21,5 \cdot 2 = 43$ яйца.

Проверка:
Изначально было 43 яйца.
Первая покупательница купила $\frac{43}{2} + 0,5 = 21,5 + 0,5 = 22$ яйца. Осталось $43 - 22 = 21$ яйцо.
Вторая покупательница купила $\frac{21}{2} + 0,5 = 10,5 + 0,5 = 11$ яиц. Осталось $21 - 11 = 10$ яиц.
Третья покупательница купила последние 10 яиц. Все условия задачи выполнены.

Ответ: 43 яйца.