Страница 248 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1109. Обратите смешанную дробь в обыкновенную дробь:

а) $5\frac{3}{8}$;

б) $9\frac{2}{3}$;

в) $4\frac{3}{5}$;

г) $7\frac{7}{10}$;

д) $5\frac{4}{5}$;

е) $13\frac{19}{20}$;

ж) $8\frac{9}{10}$;

з) $7\frac{1}{100}$;

и) $16\frac{12}{17}$;

к) $17\frac{5}{6}$;

л) $19\frac{99}{100}$;

м) $7\frac{357}{1000}$.

Чтобы обратить смешанную дробь в обыкновенную (которая в данном случае будет неправильной), нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части, к полученному произведению прибавить числитель дробной части. Полученное число будет числителем обыкновенной дроби, а знаменатель останется тот же. Общая формула преобразования выглядит так: $A \frac{b}{c} = \frac{A \cdot c + b}{c}$.

а) $5 \frac{3}{8} = \frac{5 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{40 + 3}{8} = \frac{43}{8}$
Ответ: $\frac{43}{8}$

б) $9 \frac{2}{3} = \frac{9 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{27 + 2}{3} = \frac{29}{3}$
Ответ: $\frac{29}{3}$

в) $4 \frac{3}{5} = \frac{4 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{20 + 3}{5} = \frac{23}{5}$
Ответ: $\frac{23}{5}$

г) $7 \frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 10 + 7}{10} = \frac{70 + 7}{10} = \frac{77}{10}$
Ответ: $\frac{77}{10}$

д) $5 \frac{4}{5} = \frac{5 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{25 + 4}{5} = \frac{29}{5}$
Ответ: $\frac{29}{5}$

е) $13 \frac{19}{20} = \frac{13 \cdot 20 + 19}{20} = \frac{260 + 19}{20} = \frac{279}{20}$
Ответ: $\frac{279}{20}$

ж) $8 \frac{9}{10} = \frac{8 \cdot 10 + 9}{10} = \frac{80 + 9}{10} = \frac{89}{10}$
Ответ: $\frac{89}{10}$

з) $7 \frac{1}{100} = \frac{7 \cdot 100 + 1}{100} = \frac{700 + 1}{100} = \frac{701}{100}$
Ответ: $\frac{701}{100}$

и) $16 \frac{12}{17} = \frac{16 \cdot 17 + 12}{17} = \frac{272 + 12}{17} = \frac{284}{17}$
Ответ: $\frac{284}{17}$

к) $17 \frac{5}{6} = \frac{17 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{102 + 5}{6} = \frac{107}{6}$
Ответ: $\frac{107}{6}$

л) $19 \frac{99}{100} = \frac{19 \cdot 100 + 99}{100} = \frac{1900 + 99}{100} = \frac{1999}{100}$
Ответ: $\frac{1999}{100}$

м) $7 \frac{357}{1000} = \frac{7 \cdot 1000 + 357}{1000} = \frac{7000 + 357}{1000} = \frac{7357}{1000}$
Ответ: $\frac{7357}{1000}$

1110. Сравните дроби:

а) $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{\frac{1}{2}}{3} $;

б) $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{\frac{4}{3}}{2} $;

в) $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{\frac{4}{3}}{2} $

а) Чтобы сравнить дроби $\frac{\frac{1}{2}}{3}$ и $\frac{1}{\frac{2}{3}}$, сначала упростим каждую из них.
Первая дробь: $\frac{\frac{1}{2}}{3}$ представляет собой деление дроби $\frac{1}{2}$ на число 3.
$\frac{\frac{1}{2}}{3} = \frac{1}{2} \div 3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$.
Вторая дробь: $\frac{1}{\frac{2}{3}}$ представляет собой деление числа 1 на дробь $\frac{2}{3}$.
$\frac{1}{\frac{2}{3}} = 1 \div \frac{2}{3} = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$.
Теперь сравним полученные дроби: $\frac{1}{6}$ и $\frac{3}{2}$. Приведем их к общему знаменателю 6.
$\frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{9}{6}$.
Сравниваем $\frac{1}{6}$ и $\frac{9}{6}$. Так как $1 < 9$, то $\frac{1}{6} < \frac{9}{6}$.
Следовательно, $\frac{\frac{1}{2}}{3} < \frac{1}{\frac{2}{3}}$.
Ответ: $\frac{\frac{1}{2}}{3} < \frac{1}{\frac{2}{3}}$.

б) Сравним дроби $\frac{\frac{2}{3}}{4}$ и $\frac{4}{\frac{3}{2}}$. Упростим каждую дробь.
Первая дробь: $\frac{\frac{2}{3}}{4} = \frac{2}{3} \div 4 = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
Вторая дробь: $\frac{4}{\frac{3}{2}} = 4 \div \frac{3}{2} = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 2}{3} = \frac{8}{3}$.
Теперь сравним дроби $\frac{1}{6}$ и $\frac{8}{3}$. Общий знаменатель для них - 6.
$\frac{8}{3} = \frac{8 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{16}{6}$.
Сравниваем $\frac{1}{6}$ и $\frac{16}{6}$. Так как $1 < 16$, то $\frac{1}{6} < \frac{16}{6}$.
Следовательно, $\frac{\frac{2}{3}}{4} < \frac{4}{\frac{3}{2}}$.
Ответ: $\frac{\frac{2}{3}}{4} < \frac{4}{\frac{3}{2}}$.

в) Сравним дроби $\frac{1}{\frac{2}{3}}$ и $\frac{4}{\frac{3}{2}}$. Упростим обе дроби.
Первая дробь: $\frac{1}{\frac{2}{3}} = 1 \div \frac{2}{3} = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$.
Вторая дробь: $\frac{4}{\frac{3}{2}} = 4 \div \frac{3}{2} = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$.
Теперь сравним дроби $\frac{3}{2}$ и $\frac{8}{3}$. Приведем их к общему знаменателю 6.
$\frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{9}{6}$.
$\frac{8}{3} = \frac{8 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{16}{6}$.
Сравниваем $\frac{9}{6}$ и $\frac{16}{6}$. Так как $9 < 16$, то $\frac{9}{6} < \frac{16}{6}$.
Следовательно, $\frac{1}{\frac{2}{3}} < \frac{4}{\frac{3}{2}}$.
Ответ: $\frac{1}{\frac{2}{3}} < \frac{4}{\frac{3}{2}}$.

Выполните действия (1111–1114).

1111. а) $\frac{2}{9} + \frac{3}{7}$;

б) $\frac{7}{8} + \frac{3}{4}$;

в) $\frac{5}{24} + \frac{25}{36}$;

г) $\frac{59}{60} + \frac{39}{40}$;

д) $3\frac{1}{8} + 2\frac{1}{7}$;

е) $5\frac{1}{6} + 1\frac{2}{3}$.

а) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 9 и 7 является их произведение, так как они взаимно простые. НОК(9, 7) = $9 \times 7 = 63$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $63 \div 9 = 7$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $63 \div 7 = 9$.
$\frac{2}{9} + \frac{3}{7} = \frac{2 \times 7}{9 \times 7} + \frac{3 \times 9}{7 \times 9} = \frac{14}{63} + \frac{27}{63} = \frac{14 + 27}{63} = \frac{41}{63}$.
Ответ: $\frac{41}{63}$.

б) Найдем наименьший общий знаменатель для 8 и 4. Так как 8 делится на 4, НОК(8, 4) = 8.
Приведем вторую дробь к знаменателю 8. Дополнительный множитель: $8 \div 4 = 2$.
$\frac{7}{8} + \frac{3}{4} = \frac{7}{8} + \frac{3 \times 2}{4 \times 2} = \frac{7}{8} + \frac{6}{8} = \frac{7+6}{8} = \frac{13}{8}$.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{13}{8} = 1\frac{5}{8}$.
Ответ: $1\frac{5}{8}$.

в) Найдем наименьший общий знаменатель для 24 и 36. Разложим числа на простые множители:
$24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3$
$36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2$
НОК(24, 36) = $2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $72 \div 24 = 3$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $72 \div 36 = 2$.
$\frac{5}{24} + \frac{25}{36} = \frac{5 \times 3}{24 \times 3} + \frac{25 \times 2}{36 \times 2} = \frac{15}{72} + \frac{50}{72} = \frac{15+50}{72} = \frac{65}{72}$.
Ответ: $\frac{65}{72}$.

г) Найдем наименьший общий знаменатель для 60 и 40. Разложим числа на простые множители:
$60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$
$40 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 5$
НОК(60, 40) = $2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 3 \times 5 = 120$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $120 \div 60 = 2$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $120 \div 40 = 3$.
$\frac{59}{60} + \frac{39}{40} = \frac{59 \times 2}{60 \times 2} + \frac{39 \times 3}{40 \times 3} = \frac{118}{120} + \frac{117}{120} = \frac{118+117}{120} = \frac{235}{120}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 5:
$\frac{235 \div 5}{120 \div 5} = \frac{47}{24}$.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{47}{24} = 1\frac{23}{24}$.
Ответ: $1\frac{23}{24}$.

д) При сложении смешанных чисел можно сложить их целые и дробные части по отдельности.
Сложение целых частей: $3+2=5$.
Сложение дробных частей: $\frac{1}{8} + \frac{1}{7}$.
Общий знаменатель для 8 и 7 равен $8 \times 7 = 56$.
$\frac{1}{8} + \frac{1}{7} = \frac{1 \times 7}{56} + \frac{1 \times 8}{56} = \frac{7+8}{56} = \frac{15}{56}$.
Сложим полученные результаты: $5 + \frac{15}{56} = 5\frac{15}{56}$.
Ответ: $5\frac{15}{56}$.

е) Сложим целые и дробные части по отдельности.
Сложение целых частей: $5+1=6$.
Сложение дробных частей: $\frac{1}{6} + \frac{2}{3}$.
Общий знаменатель для 6 и 3 равен 6.
$\frac{1}{6} + \frac{2}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{1}{6} + \frac{4}{6} = \frac{1+4}{6} = \frac{5}{6}$.
Сложим полученные результаты: $6 + \frac{5}{6} = 6\frac{5}{6}$.
Ответ: $6\frac{5}{6}$.

1112. a) $ \frac{3}{5} - \frac{1}{7} $;

б) $ \frac{5}{3} - \frac{4}{9} $;

в) $ \frac{24}{25} - \frac{7}{15} $;

г) $ \frac{11}{80} - \frac{11}{90} $;

д) $ 5 - 2\frac{1}{13} $;

е) $ 8\frac{1}{7} - 3\frac{1}{9} $.

а) Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для 5 и 7 — это их произведение, так как они являются взаимно простыми числами: $5 \times 7 = 35$.
Приведем дроби к знаменателю 35:
Дополнительный множитель для первой дроби: $35 \div 5 = 7$.
$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{21}{35}$
Дополнительный множитель для второй дроби: $35 \div 7 = 5$.
$\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{5}{35}$
Теперь выполним вычитание:
$\frac{21}{35} - \frac{5}{35} = \frac{21 - 5}{35} = \frac{16}{35}$
Ответ: $\frac{16}{35}$

б) Найдем наименьший общий знаменатель для 3 и 9. Так как 9 делится на 3, НОЗ равен 9.
Приведем первую дробь к знаменателю 9, домножив числитель и знаменатель на 3:
$\frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{15}{9}$
Выполним вычитание:
$\frac{15}{9} - \frac{4}{9} = \frac{15 - 4}{9} = \frac{11}{9}$
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, разделив числитель на знаменатель с остатком:
$11 \div 9 = 1$ (ост. $2$)
$\frac{11}{9} = 1\frac{2}{9}$
Ответ: $1\frac{2}{9}$

в) Найдем наименьший общий знаменатель для 25 и 15. Разложим знаменатели на простые множители:
$25 = 5 \cdot 5 = 5^2$
$15 = 3 \cdot 5$
НОЗ($25, 15$) = $3 \cdot 5^2 = 75$.
Приведем дроби к знаменателю 75:
$\frac{24}{25} = \frac{24 \cdot 3}{25 \cdot 3} = \frac{72}{75}$
$\frac{7}{15} = \frac{7 \cdot 5}{15 \cdot 5} = \frac{35}{75}$
Выполним вычитание:
$\frac{72}{75} - \frac{35}{75} = \frac{72 - 35}{75} = \frac{37}{75}$
Ответ: $\frac{37}{75}$

г) Найдем наименьший общий знаменатель для 80 и 90.
НОЗ($80, 90$) = НОЗ($8 \cdot 10, 9 \cdot 10$) = $10 \cdot$ НОЗ($8, 9$) = $10 \cdot 72 = 720$.
Приведем дроби к знаменателю 720:
Дополнительный множитель для первой дроби: $720 \div 80 = 9$.
$\frac{11}{80} = \frac{11 \cdot 9}{80 \cdot 9} = \frac{99}{720}$
Дополнительный множитель для второй дроби: $720 \div 90 = 8$.
$\frac{11}{90} = \frac{11 \cdot 8}{90 \cdot 8} = \frac{88}{720}$
Выполним вычитание:
$\frac{99}{720} - \frac{88}{720} = \frac{99 - 88}{720} = \frac{11}{720}$
Ответ: $\frac{11}{720}$

д) Чтобы вычесть смешанное число из целого, представим целое число в виде смешанного. Для этого "займем" единицу у 5 и представим ее в виде дроби со знаменателем 13:
$5 = 4 + 1 = 4 + \frac{13}{13} = 4\frac{13}{13}$
Теперь выполним вычитание смешанных чисел. Вычитаем целые части и дробные части отдельно:
$4\frac{13}{13} - 2\frac{1}{13} = (4 - 2) + (\frac{13}{13} - \frac{1}{13}) = 2 + \frac{13 - 1}{13} = 2 + \frac{12}{13} = 2\frac{12}{13}$
Ответ: $2\frac{12}{13}$

е) Для вычитания смешанных чисел вычтем отдельно целые и дробные части.
Вычитаем целые части: $8 - 3 = 5$.
Вычитаем дробные части: $\frac{1}{7} - \frac{1}{9}$.
Найдем наименьший общий знаменатель для 7 и 9. НОЗ($7, 9$) = $7 \cdot 9 = 63$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{1}{7} - \frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9}{7 \cdot 9} - \frac{1 \cdot 7}{9 \cdot 7} = \frac{9}{63} - \frac{7}{63} = \frac{2}{63}$
Теперь сложим результат вычитания целых частей и дробных частей:
$5 + \frac{2}{63} = 5\frac{2}{63}$
Ответ: $5\frac{2}{63}$

1113. а) $\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{7}$;

б) $\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{27}$;

в) $\frac{15}{16} \cdot \frac{8}{9}$;

г) $5 \cdot \frac{2}{11}$;

д) $\frac{3}{5} \cdot 1\frac{2}{3}$;

е) $3\frac{1}{2} \cdot 1\frac{3}{7}$.

а) Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Результат умножения числителей записывается в числитель новой дроби, а результат умножения знаменателей — в её знаменатель.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{7} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 7} = \frac{6}{35}$

Ответ: $\frac{6}{35}$.

б) Умножаем числители и знаменатели. Перед вычислением можно сократить дробь. Числитель 3 и знаменатель 27 имеют общий делитель 3.

$\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{27} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 27} = \frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 9} = \frac{2}{45}$

Ответ: $\frac{2}{45}$.

в) Умножаем дроби и сокращаем. Числитель 15 и знаменатель 9 имеют общий делитель 3 ($15 = 5 \cdot 3$, $9 = 3 \cdot 3$). Числитель 8 и знаменатель 16 имеют общий делитель 8 ($16 = 2 \cdot 8$).

$\frac{15}{16} \cdot \frac{8}{9} = \frac{15 \cdot 8}{16 \cdot 9} = \frac{(5 \cdot 3) \cdot 8}{(2 \cdot 8) \cdot (3 \cdot 3)} = \frac{5}{2 \cdot 3} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$.

г) Чтобы умножить целое число на дробь, нужно представить это число в виде дроби со знаменателем 1. Затем выполнить умножение дробей.

$5 \cdot \frac{2}{11} = \frac{5}{1} \cdot \frac{2}{11} = \frac{5 \cdot 2}{1 \cdot 11} = \frac{10}{11}$

Ответ: $\frac{10}{11}$.

д) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$. Затем выполняем умножение дробей. В данном случае дроби являются взаимно обратными, и их произведение равно 1.

$\frac{3}{5} \cdot 1\frac{2}{3} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 3} = 1$

Ответ: $1$.

е) Преобразуем оба смешанных числа в неправильные дроби. $3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$ $1\frac{3}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{10}{7}$ Теперь перемножим полученные дроби и сократим.

$\frac{7}{2} \cdot \frac{10}{7} = \frac{7 \cdot 10}{2 \cdot 7} = \frac{10}{2} = 5$

Ответ: $5$.

1114. а) $\frac{4}{5} : \frac{3}{7}$;

б) $\frac{45}{46} : \frac{15}{23}$;

в) $8 : \frac{5}{7}$;

г) $\frac{3}{11} : 9$;

д) $8\frac{1}{3} : \frac{5}{9}$;

е) $3\frac{1}{2} : 2\frac{1}{3}$.

Из «Сборника арифметических задач и численных примеров»
В. А. Евтушевского.

а) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю. То есть, мы "переворачиваем" вторую дробь и заменяем деление на умножение.

$\frac{4}{5} : \frac{3}{7} = \frac{4}{5} \cdot \frac{7}{3} = \frac{4 \cdot 7}{5 \cdot 3} = \frac{28}{15}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{28}{15} = 1\frac{13}{15}$

Ответ: $1\frac{13}{15}$

б) Выполним деление, умножив первую дробь на обратную ко второй. Перед умножением сократим дроби для упрощения вычислений.

$\frac{45}{46} : \frac{15}{23} = \frac{45}{46} \cdot \frac{23}{15}$

Сокращаем 45 и 15 на 15, а 46 и 23 на 23:

$\frac{45 \cdot 23}{46 \cdot 15} = \frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

Ответ: $1\frac{1}{2}$

в) Чтобы разделить целое число на дробь, представим целое число в виде дроби со знаменателем 1 и выполним деление.

$8 : \frac{5}{7} = \frac{8}{1} : \frac{5}{7} = \frac{8}{1} \cdot \frac{7}{5} = \frac{8 \cdot 7}{1 \cdot 5} = \frac{56}{5}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{56}{5} = 11\frac{1}{5}$

Ответ: $11\frac{1}{5}$

г) Чтобы разделить дробь на целое число, представим целое число в виде дроби со знаменателем 1. Затем заменим деление на умножение на обратную дробь.

$\frac{3}{11} : 9 = \frac{3}{11} : \frac{9}{1} = \frac{3}{11} \cdot \frac{1}{9}$

Сокращаем 3 и 9 на 3:

$\frac{3 \cdot 1}{11 \cdot 9} = \frac{1 \cdot 1}{11 \cdot 3} = \frac{1}{33}$

Ответ: $\frac{1}{33}$

д) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь. Затем выполним деление.

$8\frac{1}{3} = \frac{8 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{25}{3}$

Теперь делим:

$\frac{25}{3} : \frac{5}{9} = \frac{25}{3} \cdot \frac{9}{5}$

Сокращаем 25 и 5 на 5, а 9 и 3 на 3:

$\frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 5} = \frac{5 \cdot 3}{1 \cdot 1} = 15$

Ответ: $15$

е) Преобразуем оба смешанных числа в неправильные дроби, а затем выполним деление.

$3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

Выполняем деление:

$\frac{7}{2} : \frac{7}{3} = \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{7}$

Сокращаем числитель и знаменатель на 7:

$\frac{7 \cdot 3}{2 \cdot 7} = \frac{3}{2}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

Ответ: $1\frac{1}{2}$

Выполните действия (1115–1135).

1115. $\frac{340}{567} + \frac{29}{42} + \frac{43}{54} + \frac{74}{81} - \left(\frac{53}{60} - \frac{37}{84}\right) - \left(\frac{3}{14} + \frac{12}{35}\right)$

1115.

Для решения данного примера выполним вычисления по действиям.

Исходное выражение:

$ \frac{340}{567} + \frac{29}{42} + \frac{43}{54} + \frac{74}{81} - (\frac{53}{60} - \frac{37}{84}) - (\frac{3}{14} + \frac{12}{35}) $

1. Сначала выполним действие в первой скобке: $ \frac{53}{60} - \frac{37}{84} $.

Для этого найдем наименьший общий знаменатель (НОК) чисел 60 и 84.

Разложим знаменатели на простые множители:

$ 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 $

$ 84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 $

НОК(60, 84) = $ 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 420 $.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$ \frac{53}{60} - \frac{37}{84} = \frac{53 \cdot 7}{420} - \frac{37 \cdot 5}{420} = \frac{371 - 185}{420} = \frac{186}{420} $

Сократим полученную дробь на 6:

$ \frac{186 \div 6}{420 \div 6} = \frac{31}{70} $

2. Теперь выполним действие во второй скобке: $ \frac{3}{14} + \frac{12}{35} $.

Найдем НОК чисел 14 и 35.

$ 14 = 2 \cdot 7 $

$ 35 = 5 \cdot 7 $

НОК(14, 35) = $ 2 \cdot 5 \cdot 7 = 70 $.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним сложение:

$ \frac{3}{14} + \frac{12}{35} = \frac{3 \cdot 5}{70} + \frac{12 \cdot 2}{70} = \frac{15 + 24}{70} = \frac{39}{70} $

3. Подставим результаты обратно в исходное выражение:

$ \frac{340}{567} + \frac{29}{42} + \frac{43}{54} + \frac{74}{81} - \frac{31}{70} - \frac{39}{70} $

Выполним вычитание последних двух дробей:

$ - \frac{31}{70} - \frac{39}{70} = -(\frac{31}{70} + \frac{39}{70}) = -\frac{31+39}{70} = -\frac{70}{70} = -1 $

Теперь выражение выглядит так:

$ \frac{340}{567} + \frac{29}{42} + \frac{43}{54} + \frac{74}{81} - 1 $

4. Найдем сумму первых четырех дробей: $ \frac{340}{567} + \frac{29}{42} + \frac{43}{54} + \frac{74}{81} $.

Найдем НОК знаменателей 567, 42, 54, 81.

Разложим их на простые множители:

$ 567 = 7 \cdot 81 = 7 \cdot 3^4 $

$ 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7 $

$ 54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3 $

$ 81 = 3^4 $

НОК(567, 42, 54, 81) = $ 2 \cdot 3^4 \cdot 7 = 1134 $.

Приведем дроби к общему знаменателю 1134:

$ \frac{340 \cdot 2}{1134} + \frac{29 \cdot 27}{1134} + \frac{43 \cdot 21}{1134} + \frac{74 \cdot 14}{1134} = \frac{680}{1134} + \frac{783}{1134} + \frac{903}{1134} + \frac{1036}{1134} $

Сложим числители:

$ \frac{680 + 783 + 903 + 1036}{1134} = \frac{3402}{1134} $

Разделим числитель на знаменатель: $ 3402 \div 1134 = 3 $.

5. Выполним последнее действие, подставив полученное значение в выражение из шага 3:

$ 3 - 1 = 2 $

Ответ: 2

1116. $(\frac{5}{6} - \frac{3}{8}) : \frac{3}{4} - (\frac{3}{8} + \frac{7}{20}) : 1\frac{9}{20}$

Для решения примера $(\frac{5}{6} - \frac{3}{8}) : \frac{3}{4} - (\frac{3}{8} + \frac{7}{20}) : 1\frac{9}{20}$ выполним действия в правильном порядке: сначала вычисления в скобках, затем деление и, наконец, вычитание.

1. Вычитание в первых скобках.

Найдем разность дробей $\frac{5}{6}$ и $\frac{3}{8}$. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 6 и 8 — это 24.

$\frac{5}{6} - \frac{3}{8} = \frac{5 \cdot 4}{24} - \frac{3 \cdot 3}{24} = \frac{20 - 9}{24} = \frac{11}{24}$

2. Сложение во вторых скобках.

Найдем сумму дробей $\frac{3}{8}$ и $\frac{7}{20}$. Общий знаменатель для 8 и 20 — это 40.

$\frac{3}{8} + \frac{7}{20} = \frac{3 \cdot 5}{40} + \frac{7 \cdot 2}{40} = \frac{15 + 14}{40} = \frac{29}{40}$

3. Первое деление.

Результат первого действия разделим на $\frac{3}{4}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь.

$\frac{11}{24} : \frac{3}{4} = \frac{11}{24} \cdot \frac{4}{3} = \frac{11 \cdot 4}{24 \cdot 3} = \frac{11}{6 \cdot 3} = \frac{11}{18}$

4. Второе деление.

Сначала представим смешанное число $1\frac{9}{20}$ в виде неправильной дроби:

$1\frac{9}{20} = \frac{1 \cdot 20 + 9}{20} = \frac{29}{20}$

Теперь разделим результат второго действия на полученную дробь:

$\frac{29}{40} : \frac{29}{20} = \frac{29}{40} \cdot \frac{20}{29} = \frac{29 \cdot 20}{40 \cdot 29} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}$

5. Вычитание.

Найдем разность результатов третьего и четвертого действий. Приведем дроби к общему знаменателю 18.

$\frac{11}{18} - \frac{1}{2} = \frac{11}{18} - \frac{1 \cdot 9}{18} = \frac{11 - 9}{18} = \frac{2}{18}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$.