Номер 1112, страница 248 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1112. a) $ \frac{3}{5} - \frac{1}{7} $;

б) $ \frac{5}{3} - \frac{4}{9} $;

в) $ \frac{24}{25} - \frac{7}{15} $;

г) $ \frac{11}{80} - \frac{11}{90} $;

д) $ 5 - 2\frac{1}{13} $;

е) $ 8\frac{1}{7} - 3\frac{1}{9} $.

а) Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для 5 и 7 — это их произведение, так как они являются взаимно простыми числами: $5 \times 7 = 35$.
Приведем дроби к знаменателю 35:
Дополнительный множитель для первой дроби: $35 \div 5 = 7$.
$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{21}{35}$
Дополнительный множитель для второй дроби: $35 \div 7 = 5$.
$\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{5}{35}$
Теперь выполним вычитание:
$\frac{21}{35} - \frac{5}{35} = \frac{21 - 5}{35} = \frac{16}{35}$
Ответ: $\frac{16}{35}$

б) Найдем наименьший общий знаменатель для 3 и 9. Так как 9 делится на 3, НОЗ равен 9.
Приведем первую дробь к знаменателю 9, домножив числитель и знаменатель на 3:
$\frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{15}{9}$
Выполним вычитание:
$\frac{15}{9} - \frac{4}{9} = \frac{15 - 4}{9} = \frac{11}{9}$
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, разделив числитель на знаменатель с остатком:
$11 \div 9 = 1$ (ост. $2$)
$\frac{11}{9} = 1\frac{2}{9}$
Ответ: $1\frac{2}{9}$

в) Найдем наименьший общий знаменатель для 25 и 15. Разложим знаменатели на простые множители:
$25 = 5 \cdot 5 = 5^2$
$15 = 3 \cdot 5$
НОЗ($25, 15$) = $3 \cdot 5^2 = 75$.
Приведем дроби к знаменателю 75:
$\frac{24}{25} = \frac{24 \cdot 3}{25 \cdot 3} = \frac{72}{75}$
$\frac{7}{15} = \frac{7 \cdot 5}{15 \cdot 5} = \frac{35}{75}$
Выполним вычитание:
$\frac{72}{75} - \frac{35}{75} = \frac{72 - 35}{75} = \frac{37}{75}$
Ответ: $\frac{37}{75}$

г) Найдем наименьший общий знаменатель для 80 и 90.
НОЗ($80, 90$) = НОЗ($8 \cdot 10, 9 \cdot 10$) = $10 \cdot$ НОЗ($8, 9$) = $10 \cdot 72 = 720$.
Приведем дроби к знаменателю 720:
Дополнительный множитель для первой дроби: $720 \div 80 = 9$.
$\frac{11}{80} = \frac{11 \cdot 9}{80 \cdot 9} = \frac{99}{720}$
Дополнительный множитель для второй дроби: $720 \div 90 = 8$.
$\frac{11}{90} = \frac{11 \cdot 8}{90 \cdot 8} = \frac{88}{720}$
Выполним вычитание:
$\frac{99}{720} - \frac{88}{720} = \frac{99 - 88}{720} = \frac{11}{720}$
Ответ: $\frac{11}{720}$

д) Чтобы вычесть смешанное число из целого, представим целое число в виде смешанного. Для этого "займем" единицу у 5 и представим ее в виде дроби со знаменателем 13:
$5 = 4 + 1 = 4 + \frac{13}{13} = 4\frac{13}{13}$
Теперь выполним вычитание смешанных чисел. Вычитаем целые части и дробные части отдельно:
$4\frac{13}{13} - 2\frac{1}{13} = (4 - 2) + (\frac{13}{13} - \frac{1}{13}) = 2 + \frac{13 - 1}{13} = 2 + \frac{12}{13} = 2\frac{12}{13}$
Ответ: $2\frac{12}{13}$

е) Для вычитания смешанных чисел вычтем отдельно целые и дробные части.
Вычитаем целые части: $8 - 3 = 5$.
Вычитаем дробные части: $\frac{1}{7} - \frac{1}{9}$.
Найдем наименьший общий знаменатель для 7 и 9. НОЗ($7, 9$) = $7 \cdot 9 = 63$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{1}{7} - \frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9}{7 \cdot 9} - \frac{1 \cdot 7}{9 \cdot 7} = \frac{9}{63} - \frac{7}{63} = \frac{2}{63}$
Теперь сложим результат вычитания целых частей и дробных частей:
$5 + \frac{2}{63} = 5\frac{2}{63}$
Ответ: $5\frac{2}{63}$