Номер 1107, страница 247 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1107. Сократите дробь:

а) $ \frac{48}{96} $;

б) $ \frac{160}{240} $;

в) $ \frac{64}{128} $;

г) $ \frac{75}{225} $;

д) $ \frac{80}{100} $;

е) $ \frac{384}{640} $;

ж) $ \frac{385}{440} $;

з) $ \frac{204}{225} $;

и) $ \frac{182}{208} $;

к) $ \frac{304}{380} $;

л) $ \frac{750}{1875} $;

м) $ \frac{2688}{3456} $.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{48}{96}$, найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя. Заметим, что знаменатель 96 в два раза больше числителя 48, то есть $96 = 2 \times 48$. Следовательно, НОД(48, 96) = 48. Разделим числитель и знаменатель на 48:
$\frac{48}{96} = \frac{48 \div 48}{96 \div 48} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{160}{240}$, сначала можно разделить числитель и знаменатель на 10, так как оба числа оканчиваются на 0:
$\frac{160}{240} = \frac{16}{24}$.
Теперь найдем НОД для 16 и 24, который равен 8. Разделим числитель и знаменатель на 8:
$\frac{16}{24} = \frac{16 \div 8}{24 \div 8} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

в) Чтобы сократить дробь $\frac{64}{128}$, заметим, что $128 = 2 \times 64$. Значит, НОД(64, 128) = 64. Разделим числитель и знаменатель на 64:
$\frac{64}{128} = \frac{64 \div 64}{128 \div 64} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

г) Чтобы сократить дробь $\frac{75}{225}$, можно заметить, что $225 = 3 \times 75$. Разделим числитель и знаменатель на 75:
$\frac{75}{225} = \frac{75 \div 75}{225 \div 75} = \frac{1}{3}$.
Другой способ — поэтапное сокращение. Оба числа делятся на 25:
$\frac{75}{225} = \frac{75 \div 25}{225 \div 25} = \frac{3}{9}$.
Теперь сократим на 3:
$\frac{3}{9} = \frac{3 \div 3}{9 \div 3} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

д) Чтобы сократить дробь $\frac{80}{100}$, найдем НОД(80, 100). Он равен 20. Разделим числитель и знаменатель на 20:
$\frac{80}{100} = \frac{80 \div 20}{100 \div 20} = \frac{4}{5}$.
Ответ: $\frac{4}{5}$.

е) Чтобы сократить дробь $\frac{384}{640}$, найдем НОД числителя и знаменателя. Для этого разложим их на простые множители:
$384 = 2^7 \times 3$
$640 = 64 \times 10 = 2^6 \times 2 \times 5 = 2^7 \times 5$
НОД(384, 640) = $2^7 = 128$.
Разделим числитель и знаменатель на 128:
$\frac{384}{640} = \frac{384 \div 128}{640 \div 128} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$.

ж) Чтобы сократить дробь $\frac{385}{440}$, заметим, что числитель оканчивается на 5, а знаменатель на 0, поэтому оба числа делятся на 5:
$\frac{385}{440} = \frac{385 \div 5}{440 \div 5} = \frac{77}{88}$.
Теперь видно, что числитель и знаменатель делятся на 11:
$\frac{77}{88} = \frac{77 \div 11}{88 \div 11} = \frac{7}{8}$.
Ответ: $\frac{7}{8}$.

з) Чтобы сократить дробь $\frac{204}{225}$, проверим делимость на 3. Сумма цифр числителя $2+0+4=6$ (делится на 3). Сумма цифр знаменателя $2+2+5=9$ (делится на 3). Сократим дробь на 3:
$\frac{204}{225} = \frac{204 \div 3}{225 \div 3} = \frac{68}{75}$.
Разложим 68 и 75 на множители: $68 = 2^2 \times 17$, $75 = 3 \times 5^2$. Общих множителей, кроме 1, нет, значит дробь несократима.
Ответ: $\frac{68}{75}$.

и) Чтобы сократить дробь $\frac{182}{208}$, сначала сократим на 2, так как оба числа четные:
$\frac{182}{208} = \frac{182 \div 2}{208 \div 2} = \frac{91}{104}$.
Мы знаем, что $91 = 7 \times 13$. Проверим, делится ли 104 на 13: $104 \div 13 = 8$. Значит, можно сократить на 13:
$\frac{91}{104} = \frac{91 \div 13}{104 \div 13} = \frac{7}{8}$.
Ответ: $\frac{7}{8}$.

к) Чтобы сократить дробь $\frac{304}{380}$, сократим на общий множитель 4 (так как 04 и 80 делятся на 4):
$\frac{304}{380} = \frac{304 \div 4}{380 \div 4} = \frac{76}{95}$.
Теперь разложим числа на множители: $76 = 4 \times 19$, а $95 = 5 \times 19$. Общий множитель 19.
$\frac{76}{95} = \frac{76 \div 19}{95 \div 19} = \frac{4}{5}$.
Ответ: $\frac{4}{5}$.

л) Чтобы сократить дробь $\frac{750}{1875}$, заметим, что оба числа делятся на 25:
$750 = 30 \times 25$
$1875 = 75 \times 25$
$\frac{750}{1875} = \frac{30 \times 25}{75 \times 25} = \frac{30}{75}$.
Теперь сократим полученную дробь на 15:
$\frac{30}{75} = \frac{30 \div 15}{75 \div 15} = \frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$.

м) Чтобы сократить дробь $\frac{2688}{3456}$, найдем НОД этих чисел, разложив их на простые множители:
$2688 = 2 \times 1344 = 2^2 \times 672 = 2^3 \times 336 = 2^4 \times 168 = 2^5 \times 84 = 2^6 \times 42 = 2^7 \times 21 = 2^7 \times 3 \times 7$.
$3456 = 2 \times 1728 = 2^2 \times 864 = 2^3 \times 432 = 2^4 \times 216 = 2^5 \times 108 = 2^6 \times 54 = 2^7 \times 27 = 2^7 \times 3^3$.
НОД(2688, 3456) = $2^7 \times 3 = 128 \times 3 = 384$.
Разделим числитель и знаменатель на 384:
$\frac{2688}{3456} = \frac{2688 \div 384}{3456 \div 384} = \frac{7}{9}$.
Ответ: $\frac{7}{9}$.