Страница 247 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1102. a) $\frac{48 \cdot 35 + 20}{45 \cdot 37 + 35} - \frac{731 : 17 + 2109 : 37}{3942 : 54 + 1755 : 65}$

б) $\frac{53 \cdot 35 - 221}{646 : 17} - \frac{46 \cdot 64 - 1306}{702 : 18} + \frac{16807 : 7}{343 \cdot 7}$

Решим выражение по действиям. Сначала вычислим значение каждой дроби, а затем выполним вычитание.

1. Вычислим значение первой дроби $ \frac{48 \cdot 35 + 20}{45 \cdot 37 + 35} $:

• Вычислим числитель: $ 48 \cdot 35 + 20 = 1680 + 20 = 1700 $.
• Вычислим знаменатель: $ 45 \cdot 37 + 35 = 1665 + 35 = 1700 $.
• Значение дроби: $ \frac{1700}{1700} = 1 $.

2. Вычислим значение второй дроби $ \frac{731 : 17 + 2109 : 37}{3942 : 54 + 1755 : 65} $:

• Вычислим числитель: $ 731 : 17 + 2109 : 37 = 43 + 57 = 100 $.
• Вычислим знаменатель: $ 3942 : 54 + 1755 : 65 = 73 + 27 = 100 $.
• Значение дроби: $ \frac{100}{100} = 1 $.

3. Выполним вычитание значений дробей:

$ 1 - 1 = 0 $.

Ответ: 0

Решим выражение по действиям. Сначала вычислим значение каждой дроби, а затем выполним вычитание и сложение.

1. Вычислим значение первой дроби $ \frac{53 \cdot 35 - 221}{646 : 17} $:

• Вычислим числитель: $ 53 \cdot 35 - 221 = 1855 - 221 = 1634 $.
• Вычислим знаменатель: $ 646 : 17 = 38 $.
• Значение дроби: $ \frac{1634}{38} = 43 $.

2. Вычислим значение второй дроби $ \frac{46 \cdot 64 - 1306}{702 : 18} $:

• Вычислим числитель: $ 46 \cdot 64 - 1306 = 2944 - 1306 = 1638 $.
• Вычислим знаменатель: $ 702 : 18 = 39 $.
• Значение дроби: $ \frac{1638}{39} = 42 $.

3. Вычислим значение третьей дроби $ \frac{16807 : 7}{343 \cdot 7} $:

• Вычислим числитель: $ 16807 : 7 = 2401 $.
• Вычислим знаменатель: $ 343 \cdot 7 = 2401 $.
• Значение дроби: $ \frac{2401}{2401} = 1 $.

4. Выполним вычитание и сложение полученных значений:

$ 43 - 42 + 1 = 1 + 1 = 2 $.

Ответ: 2

1103. Из чисел

325, 729, 256, 428, 720, 1233

выберите числа, кратные:

а) 2;

б) 3;

в) 5;

г) 9;

д) 10.

Для решения этой задачи необходимо применить признаки делимости чисел для каждого из предложенных случаев.

а) 2

Число делится на 2 без остатка (кратно 2), если его последняя цифра является четной (0, 2, 4, 6 или 8).
Рассмотрим числа из списка: 325, 729, 256, 428, 720, 1233.
- 325 оканчивается на 5 (нечетная).
- 729 оканчивается на 9 (нечетная).
- 256 оканчивается на 6 (четная).
- 428 оканчивается на 8 (четная).
- 720 оканчивается на 0 (четная).
- 1233 оканчивается на 3 (нечетная).
Следовательно, числа, кратные 2, это 256, 428 и 720.
Ответ: 256, 428, 720.

б) 3

Число кратно 3, если сумма его цифр делится на 3.
Проверим сумму цифр для каждого числа:
- 325: $3 + 2 + 5 = 10$. 10 не делится на 3.
- 729: $7 + 2 + 9 = 18$. 18 делится на 3 ($18 \div 3 = 6$).
- 256: $2 + 5 + 6 = 13$. 13 не делится на 3.
- 428: $4 + 2 + 8 = 14$. 14 не делится на 3.
- 720: $7 + 2 + 0 = 9$. 9 делится на 3 ($9 \div 3 = 3$).
- 1233: $1 + 2 + 3 + 3 = 9$. 9 делится на 3 ($9 \div 3 = 3$).
Следовательно, числа, кратные 3, это 729, 720 и 1233.
Ответ: 729, 720, 1233.

в) 5

Число кратно 5, если оно оканчивается на 0 или 5.
Рассмотрим последние цифры чисел из списка: 325, 729, 256, 428, 720, 1233.
- 325 оканчивается на 5.
- 720 оканчивается на 0.
Другие числа оканчиваются на 9, 6, 8, 3, что не удовлетворяет условию.
Следовательно, числа, кратные 5, это 325 и 720.
Ответ: 325, 720.

г) 9

Число кратно 9, если сумма его цифр делится на 9.
Проверим сумму цифр для каждого числа:
- 325: $3 + 2 + 5 = 10$. 10 не делится на 9.
- 729: $7 + 2 + 9 = 18$. 18 делится на 9 ($18 \div 9 = 2$).
- 256: $2 + 5 + 6 = 13$. 13 не делится на 9.
- 428: $4 + 2 + 8 = 14$. 14 не делится на 9.
- 720: $7 + 2 + 0 = 9$. 9 делится на 9 ($9 \div 9 = 1$).
- 1233: $1 + 2 + 3 + 3 = 9$. 9 делится на 9 ($9 \div 9 = 1$).
Следовательно, числа, кратные 9, это 729, 720 и 1233.
Ответ: 729, 720, 1233.

д) 10

Число кратно 10, если оно оканчивается на 0.
Из списка чисел 325, 729, 256, 428, 720, 1233 только одно число оканчивается на 0.
Это число 720.
Следовательно, единственное число, кратное 10, это 720.
Ответ: 720.

1104. Делится ли сумма:

а) $3295 + 4890$ на 5;

б) $324 + 891$ на 9;

в) $3630 + 336 \cdot 49$ на 3;

г) $17 \cdot 254 + 19 \cdot 132$ на 2?

а) $3295 + 4890$ на 5

Чтобы определить, делится ли сумма на число, можно проверить, делится ли каждое слагаемое на это число. Если каждое слагаемое делится, то и вся сумма делится. Воспользуемся признаком делимости на 5: число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5.

1. Первое слагаемое, 3295, оканчивается на 5, следовательно, оно делится на 5.

2. Второе слагаемое, 4890, оканчивается на 0, следовательно, оно тоже делится на 5.

Поскольку оба слагаемых делятся на 5, их сумма также делится на 5.

Ответ: да, делится.

б) $324 + 891$ на 9

Используем признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

1. Проверим первое слагаемое, 324. Сумма его цифр: $3 + 2 + 4 = 9$. Так как 9 делится на 9, то и число 324 делится на 9.

2. Проверим второе слагаемое, 891. Сумма его цифр: $8 + 9 + 1 = 18$. Так как 18 делится на 9 ($18 : 9 = 2$), то и число 891 делится на 9.

Так как оба слагаемых делятся на 9, то их сумма также будет делиться на 9.

Ответ: да, делится.

в) $3630 + 336 \cdot 49$ на 3

Проверим делимость каждого слагаемого на 3. Используем признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Для произведения достаточно, чтобы хотя бы один из множителей делился на 3.

1. Первое слагаемое: 3630. Сумма его цифр: $3 + 6 + 3 + 0 = 12$. Число 12 делится на 3 ($12 : 3 = 4$), значит, 3630 делится на 3.

2. Второе слагаемое: $336 \cdot 49$. Проверим множитель 336. Сумма его цифр: $3 + 3 + 6 = 12$. Число 12 делится на 3, значит, 336 делится на 3. Следовательно, все произведение $336 \cdot 49$ делится на 3.

Поскольку оба слагаемых (3630 и $336 \cdot 49$) делятся на 3, их сумма также делится на 3.

Ответ: да, делится.

г) $17 \cdot 254 + 19 \cdot 132$ на 2

Число делится на 2, если оно четное. Сумма двух четных чисел всегда является четным числом. Произведение является четным, если хотя бы один из множителей — четное число.

1. Первое слагаемое: $17 \cdot 254$. Множитель 254 является четным числом (оканчивается на 4). Следовательно, произведение $17 \cdot 254$ — четное число и делится на 2.

2. Второе слагаемое: $19 \cdot 132$. Множитель 132 является четным числом (оканчивается на 2). Следовательно, произведение $19 \cdot 132$ — также четное число и делится на 2.

Сумма двух четных чисел ($17 \cdot 254$ и $19 \cdot 132$) является четным числом, а значит, делится на 2.

Ответ: да, делится.

1105. Делится ли разность:

а) $3210 - 1230$ на 3;

б) $7470 - 333$ на 9;

в) $14900 \cdot 17 - 2586$ на 2;

г) $4258 \cdot 125 - 350 \cdot 729$ на 10?

а) Чтобы определить, делится ли разность $3210 - 1230$ на 3, воспользуемся признаком делимости на 3. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
Проверим делимость каждого числа на 3:
Для числа 3210 сумма цифр равна $3 + 2 + 1 + 0 = 6$. Так как 6 делится на 3, то и 3210 делится на 3.
Для числа 1230 сумма цифр равна $1 + 2 + 3 + 0 = 6$. Так как 6 делится на 3, то и 1230 делится на 3.
Поскольку и уменьшаемое (3210), и вычитаемое (1230) делятся на 3, то их разность также будет делиться на 3.
Ответ: да, делится.

б) Чтобы определить, делится ли разность $7470 - 333$ на 9, воспользуемся признаком делимости на 9. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Проверим делимость каждого числа на 9:
Для числа 7470 сумма цифр равна $7 + 4 + 7 + 0 = 18$. Так как 18 делится на 9, то и 7470 делится на 9.
Для числа 333 сумма цифр равна $3 + 3 + 3 = 9$. Так как 9 делится на 9, то и 333 делится на 9.
Так как оба числа, 7470 и 333, делятся на 9, их разность также будет делиться на 9.
Ответ: да, делится.

в) Чтобы определить, делится ли разность $14900 \cdot 17 - 2586$ на 2, воспользуемся признаком делимости на 2. Число делится на 2, если оно чётное (оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8).
Рассмотрим первое слагаемое: $14900 \cdot 17$. Число 14900 является чётным. Произведение чётного числа на любое целое число всегда является чётным. Следовательно, $14900 \cdot 17$ — чётное число.
Рассмотрим второе слагаемое: 2586. Это число также является чётным, так как оканчивается на 6.
Разность двух чётных чисел всегда является чётным числом. Таким образом, результат выражения будет чётным числом, а значит, он делится на 2.
Ответ: да, делится.

г) Чтобы определить, делится ли разность $4258 \cdot 125 - 350 \cdot 729$ на 10, воспользуемся признаком делимости на 10. Число делится на 10, если оно оканчивается на 0.
Определим последнюю цифру первого произведения: $4258 \cdot 125$. Последняя цифра произведения определяется последними цифрами множителей. Умножим 8 на 5: $8 \cdot 5 = 40$. Значит, произведение $4258 \cdot 125$ оканчивается на 0 и делится на 10.
Определим последнюю цифру второго произведения: $350 \cdot 729$. Так как один из множителей (350) оканчивается на 0, то и всё произведение будет оканчиваться на 0. Следовательно, $350 \cdot 729$ делится на 10.
Разность двух чисел, каждое из которых оканчивается на 0, также будет оканчиваться на 0. Значит, результат выражения делится на 10.
Ответ: да, делится.

1106. Докажите, что выражение:

а) $45 \cdot 38 + 45 \cdot 11$ делится на 49;

б) $48 \cdot 56 - 48 \cdot 39$ делится на 17;

в) $725 \cdot 47 - 47 \cdot 701$ делится на 12;

г) $289 \cdot 376 - 289 \cdot 327$ делится на 7;

д) $17 \cdot 386 - 17 \cdot 254 + 17 \cdot 138$ делится на 10.

а)

Чтобы доказать, что выражение $45 \cdot 38 + 45 \cdot 11$ делится на 49, воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения (вынесем общий множитель за скобки):

$45 \cdot 38 + 45 \cdot 11 = 45 \cdot (38 + 11)$

Выполним действие в скобках:

$38 + 11 = 49$

Получаем выражение:

$45 \cdot 49$

В полученном произведении один из множителей равен 49. Если один из множителей делится на какое-либо число, то и всё произведение делится на это число. Следовательно, выражение $45 \cdot 49$ делится на 49.

Ответ: Доказано.

б)

Чтобы доказать, что выражение $48 \cdot 56 - 48 \cdot 39$ делится на 17, вынесем общий множитель 48 за скобки:

$48 \cdot 56 - 48 \cdot 39 = 48 \cdot (56 - 39)$

Выполним вычитание в скобках:

$56 - 39 = 17$

Получаем выражение:

$48 \cdot 17$

Поскольку один из множителей равен 17, всё произведение делится на 17.

Ответ: Доказано.

в)

Чтобы доказать, что выражение $725 \cdot 47 - 47 \cdot 701$ делится на 12, вынесем общий множитель 47 за скобки:

$725 \cdot 47 - 47 \cdot 701 = 47 \cdot (725 - 701)$

Выполним вычитание в скобках:

$725 - 701 = 24$

Получаем выражение:

$47 \cdot 24$

Так как число 24 делится на 12 ($24 = 2 \cdot 12$), то и всё произведение $47 \cdot 24$ делится на 12.

Ответ: Доказано.

г)

Чтобы доказать, что выражение $289 \cdot 376 - 289 \cdot 327$ делится на 7, вынесем общий множитель 289 за скобки:

$289 \cdot 376 - 289 \cdot 327 = 289 \cdot (376 - 327)$

Выполним вычитание в скобках:

$376 - 327 = 49$

Получаем выражение:

$289 \cdot 49$

Так как число 49 делится на 7 ($49 = 7 \cdot 7$), то и всё произведение $289 \cdot 49$ делится на 7.

Ответ: Доказано.

д)

Чтобы доказать, что выражение $17 \cdot 386 - 17 \cdot 254 + 17 \cdot 138$ делится на 10, вынесем общий множитель 17 за скобки:

$17 \cdot 386 - 17 \cdot 254 + 17 \cdot 138 = 17 \cdot (386 - 254 + 138)$

Выполним действия в скобках:

$386 - 254 + 138 = 132 + 138 = 270$

Получаем выражение:

$17 \cdot 270$

Число 270 оканчивается на 0, следовательно, оно делится на 10 ($270 = 27 \cdot 10$). Таким образом, и всё произведение $17 \cdot 270$ делится на 10.

Ответ: Доказано.

1107. Сократите дробь:

а) $ \frac{48}{96} $;

б) $ \frac{160}{240} $;

в) $ \frac{64}{128} $;

г) $ \frac{75}{225} $;

д) $ \frac{80}{100} $;

е) $ \frac{384}{640} $;

ж) $ \frac{385}{440} $;

з) $ \frac{204}{225} $;

и) $ \frac{182}{208} $;

к) $ \frac{304}{380} $;

л) $ \frac{750}{1875} $;

м) $ \frac{2688}{3456} $.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{48}{96}$, найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя. Заметим, что знаменатель 96 в два раза больше числителя 48, то есть $96 = 2 \times 48$. Следовательно, НОД(48, 96) = 48. Разделим числитель и знаменатель на 48:
$\frac{48}{96} = \frac{48 \div 48}{96 \div 48} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{160}{240}$, сначала можно разделить числитель и знаменатель на 10, так как оба числа оканчиваются на 0:
$\frac{160}{240} = \frac{16}{24}$.
Теперь найдем НОД для 16 и 24, который равен 8. Разделим числитель и знаменатель на 8:
$\frac{16}{24} = \frac{16 \div 8}{24 \div 8} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

в) Чтобы сократить дробь $\frac{64}{128}$, заметим, что $128 = 2 \times 64$. Значит, НОД(64, 128) = 64. Разделим числитель и знаменатель на 64:
$\frac{64}{128} = \frac{64 \div 64}{128 \div 64} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

г) Чтобы сократить дробь $\frac{75}{225}$, можно заметить, что $225 = 3 \times 75$. Разделим числитель и знаменатель на 75:
$\frac{75}{225} = \frac{75 \div 75}{225 \div 75} = \frac{1}{3}$.
Другой способ — поэтапное сокращение. Оба числа делятся на 25:
$\frac{75}{225} = \frac{75 \div 25}{225 \div 25} = \frac{3}{9}$.
Теперь сократим на 3:
$\frac{3}{9} = \frac{3 \div 3}{9 \div 3} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

д) Чтобы сократить дробь $\frac{80}{100}$, найдем НОД(80, 100). Он равен 20. Разделим числитель и знаменатель на 20:
$\frac{80}{100} = \frac{80 \div 20}{100 \div 20} = \frac{4}{5}$.
Ответ: $\frac{4}{5}$.

е) Чтобы сократить дробь $\frac{384}{640}$, найдем НОД числителя и знаменателя. Для этого разложим их на простые множители:
$384 = 2^7 \times 3$
$640 = 64 \times 10 = 2^6 \times 2 \times 5 = 2^7 \times 5$
НОД(384, 640) = $2^7 = 128$.
Разделим числитель и знаменатель на 128:
$\frac{384}{640} = \frac{384 \div 128}{640 \div 128} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$.

ж) Чтобы сократить дробь $\frac{385}{440}$, заметим, что числитель оканчивается на 5, а знаменатель на 0, поэтому оба числа делятся на 5:
$\frac{385}{440} = \frac{385 \div 5}{440 \div 5} = \frac{77}{88}$.
Теперь видно, что числитель и знаменатель делятся на 11:
$\frac{77}{88} = \frac{77 \div 11}{88 \div 11} = \frac{7}{8}$.
Ответ: $\frac{7}{8}$.

з) Чтобы сократить дробь $\frac{204}{225}$, проверим делимость на 3. Сумма цифр числителя $2+0+4=6$ (делится на 3). Сумма цифр знаменателя $2+2+5=9$ (делится на 3). Сократим дробь на 3:
$\frac{204}{225} = \frac{204 \div 3}{225 \div 3} = \frac{68}{75}$.
Разложим 68 и 75 на множители: $68 = 2^2 \times 17$, $75 = 3 \times 5^2$. Общих множителей, кроме 1, нет, значит дробь несократима.
Ответ: $\frac{68}{75}$.

и) Чтобы сократить дробь $\frac{182}{208}$, сначала сократим на 2, так как оба числа четные:
$\frac{182}{208} = \frac{182 \div 2}{208 \div 2} = \frac{91}{104}$.
Мы знаем, что $91 = 7 \times 13$. Проверим, делится ли 104 на 13: $104 \div 13 = 8$. Значит, можно сократить на 13:
$\frac{91}{104} = \frac{91 \div 13}{104 \div 13} = \frac{7}{8}$.
Ответ: $\frac{7}{8}$.

к) Чтобы сократить дробь $\frac{304}{380}$, сократим на общий множитель 4 (так как 04 и 80 делятся на 4):
$\frac{304}{380} = \frac{304 \div 4}{380 \div 4} = \frac{76}{95}$.
Теперь разложим числа на множители: $76 = 4 \times 19$, а $95 = 5 \times 19$. Общий множитель 19.
$\frac{76}{95} = \frac{76 \div 19}{95 \div 19} = \frac{4}{5}$.
Ответ: $\frac{4}{5}$.

л) Чтобы сократить дробь $\frac{750}{1875}$, заметим, что оба числа делятся на 25:
$750 = 30 \times 25$
$1875 = 75 \times 25$
$\frac{750}{1875} = \frac{30 \times 25}{75 \times 25} = \frac{30}{75}$.
Теперь сократим полученную дробь на 15:
$\frac{30}{75} = \frac{30 \div 15}{75 \div 15} = \frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$.

м) Чтобы сократить дробь $\frac{2688}{3456}$, найдем НОД этих чисел, разложив их на простые множители:
$2688 = 2 \times 1344 = 2^2 \times 672 = 2^3 \times 336 = 2^4 \times 168 = 2^5 \times 84 = 2^6 \times 42 = 2^7 \times 21 = 2^7 \times 3 \times 7$.
$3456 = 2 \times 1728 = 2^2 \times 864 = 2^3 \times 432 = 2^4 \times 216 = 2^5 \times 108 = 2^6 \times 54 = 2^7 \times 27 = 2^7 \times 3^3$.
НОД(2688, 3456) = $2^7 \times 3 = 128 \times 3 = 384$.
Разделим числитель и знаменатель на 384:
$\frac{2688}{3456} = \frac{2688 \div 384}{3456 \div 384} = \frac{7}{9}$.
Ответ: $\frac{7}{9}$.

1108. Найдите целую часть дроби:

а) $\frac{15}{3}$;

б) $\frac{75}{5}$;

в) $\frac{89}{16}$;

г) $\frac{98}{13}$;

д) $\frac{124}{11}$;

е) $\frac{123}{15}$;

ж) $\frac{404}{45}$;

з) $\frac{459}{45}$;

и) $\frac{459}{54}$;

к) $\frac{363}{22}$;

л) $\frac{125}{19}$;

м) $\frac{856}{41}$.

а) Чтобы найти целую часть дроби $\frac{15}{3}$, разделим числитель 15 на знаменатель 3. $15 \div 3 = 5$. Так как деление выполняется нацело (без остатка), целая часть равна частному, то есть 5.
Ответ: 5

б) Чтобы найти целую часть дроби $\frac{75}{5}$, разделим числитель 75 на знаменатель 5. $75 \div 5 = 15$. Так как деление выполняется нацело, целая часть равна частному, то есть 15.
Ответ: 15

в) Чтобы найти целую часть дроби $\frac{89}{16}$, разделим числитель 89 на знаменатель 16 с остатком. $89 = 16 \times 5 + 9$. Целой частью является неполное частное, которое равно 5.
Ответ: 5

г) Чтобы найти целую часть дроби $\frac{98}{13}$, разделим числитель 98 на знаменатель 13 с остатком. $98 = 13 \times 7 + 7$. Целой частью является неполное частное, которое равно 7.
Ответ: 7

д) Чтобы найти целую часть дроби $\frac{124}{11}$, разделим числитель 124 на знаменатель 11 с остатком. $124 = 11 \times 11 + 3$. Целой частью является неполное частное, которое равно 11.
Ответ: 11

е) Чтобы найти целую часть дроби $\frac{123}{15}$, разделим числитель 123 на знаменатель 15 с остатком. $123 = 15 \times 8 + 3$. Целой частью является неполное частное, которое равно 8.
Ответ: 8

ж) Чтобы найти целую часть дроби $\frac{404}{45}$, разделим числитель 404 на знаменатель 45 с остатком. $404 = 45 \times 8 + 44$. Целой частью является неполное частное, которое равно 8.
Ответ: 8

з) Чтобы найти целую часть дроби $\frac{459}{45}$, разделим числитель 459 на знаменатель 45 с остатком. $459 = 45 \times 10 + 9$. Целой частью является неполное частное, которое равно 10.
Ответ: 10

и) Чтобы найти целую часть дроби $\frac{459}{54}$, разделим числитель 459 на знаменатель 54 с остатком. $459 = 54 \times 8 + 27$. Целой частью является неполное частное, которое равно 8.
Ответ: 8

к) Чтобы найти целую часть дроби $\frac{363}{22}$, разделим числитель 363 на знаменатель 22 с остатком. $363 = 22 \times 16 + 11$. Целой частью является неполное частное, которое равно 16.
Ответ: 16

л) Чтобы найти целую часть дроби $\frac{125}{19}$, разделим числитель 125 на знаменатель 19 с остатком. $125 = 19 \times 6 + 11$. Целой частью является неполное частное, которое равно 6.
Ответ: 6

м) Чтобы найти целую часть дроби $\frac{856}{41}$, разделим числитель 856 на знаменатель 41 с остатком. $856 = 41 \times 20 + 36$. Целой частью является неполное частное, которое равно 20.
Ответ: 20