Страница 253 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1150. а) Крестьянин хочет купить лошадь и для этого продаёт рожь. Если он продаст 15 ц ржи, то ему не хватит для покупки лошади 80 рублей, а если он продаст 20 ц ржи, то после покупки лошади у него останется 110 рублей. Сколько стоит лошадь?

б) Некий человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, то у него осталось 20 алтын. Когда же стал давать за 9 бочек, то не хватило полтора рубля с гривною. Сколько денег было у человека?

а)

Обозначим стоимость лошади за $L$ рублей, а цену одного центнера ржи за $R$ рублей.

Из первого условия задачи следует, что выручка от продажи 15 центнеров ржи на 80 рублей меньше стоимости лошади. Можем составить уравнение:

$15 \cdot R = L - 80$

Отсюда можно выразить стоимость лошади: $L = 15R + 80$.

Из второго условия следует, что выручка от продажи 20 центнеров ржи на 110 рублей больше стоимости лошади. Составим второе уравнение:

$20 \cdot R = L + 110$

Отсюда также выразим стоимость лошади: $L = 20R - 110$.

Поскольку левые части обоих выражений для $L$ равны, мы можем приравнять их правые части, чтобы найти цену ржи $R$:

$15R + 80 = 20R - 110$

Перенесем слагаемые с $R$ в одну сторону, а числовые значения в другую:

$20R - 15R = 80 + 110$

$5R = 190$

$R = \frac{190}{5} = 38$

Таким образом, цена одного центнера ржи составляет 38 рублей.

Теперь, зная цену ржи, найдем стоимость лошади, подставив значение $R$ в любое из первоначальных выражений для $L$:

$L = 15 \cdot 38 + 80 = 570 + 80 = 650$ рублей.

Для проверки можно использовать и второе выражение:

$L = 20 \cdot 38 - 110 = 760 - 110 = 650$ рублей.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 650 рублей.

б)

Для решения задачи переведем все денежные единицы в копейки, используя старинные русские меры: 1 рубль = 100 копеек, 1 алтын = 3 копейки, 1 гривна (гривенник) = 10 копеек.

Остаток в 20 алтын равен $20 \cdot 3 = 60$ копеек.

Нехватка в "полтора рубля с гривною" составляет $1.5 \text{ рубля} + 1 \text{ гривна} = 150 \text{ копеек} + 10 \text{ копеек} = 160$ копеек.

Обозначим общее количество денег у человека за $M$ копеек, а цену одной бочки масла за $B$ копеек.

Из первого условия, при покупке 8 бочек у человека осталось 60 копеек. Составим уравнение:

$M = 8 \cdot B + 60$

Из второго условия, для покупки 9 бочек ему не хватило 160 копеек. Составим второе уравнение:

$M = 9 \cdot B - 160$

Приравняем правые части обоих выражений, так как они равны $M$:

$8B + 60 = 9B - 160$

Решим это уравнение относительно $B$:

$9B - 8B = 60 + 160$

$B = 220$

Цена одной бочки масла составляет 220 копеек (то есть 2 рубля 20 копеек).

Теперь найдем, сколько всего денег было у человека, подставив значение $B$ в любое из выражений для $M$:

$M = 8 \cdot 220 + 60 = 1760 + 60 = 1820$ копеек.

Проверим по второму выражению:

$M = 9 \cdot 220 - 160 = 1980 - 160 = 1820$ копеек.

Результаты совпадают. У человека было 1820 копеек, что составляет 18 рублей 20 копеек.

Ответ: 18 рублей 20 копеек.

1151. a) Старинная задача. За 1000 р. я купил 44 коровы — по 18 р. и по 26 р. Сколько тех и других?

б) Из рассказа А. П. Чехова «Репетитор». Купец купил 138 аршин чёрного и синего сукна за 540 р. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 р. за аршин, а чёрное — 3 р.

1152. Из «Арифметики» А. П. Киселёва.

а) Смешано три сорта муки: 15 фунтов по 8 к., 20 фунтов по 7 к. и 25 фунтов по 4 к. за фунт. Сколько стоит фунт смеси?

б) Из двух сортов чаю составлено 32 фунта смеси; фунт первого сорта стоит 3 р., фунт второго сорта 2 р. 40 к. Сколько фунтов взято от того и другого сорта, если фунт смешанного чаю стоит 2 р. 85 к.?

а)

Для того чтобы найти стоимость одного фунта смеси, необходимо сначала найти общую стоимость всей муки и общий вес смеси.

1. Найдем стоимость каждого сорта муки:
- Стоимость первого сорта: $15 \text{ фунтов} \times 8 \text{ к.} = 120 \text{ к.}$
- Стоимость второго сорта: $20 \text{ фунтов} \times 7 \text{ к.} = 140 \text{ к.}$
- Стоимость третьего сорта: $25 \text{ фунтов} \times 4 \text{ к.} = 100 \text{ к.}$

2. Найдем общую стоимость всей смеси, сложив стоимость каждого сорта:
$120 \text{ к.} + 140 \text{ к.} + 100 \text{ к.} = 360 \text{ к.}$

3. Найдем общий вес смеси, сложив вес каждого сорта:
$15 \text{ фунтов} + 20 \text{ фунтов} + 25 \text{ фунтов} = 60 \text{ фунтов}$

4. Чтобы найти стоимость одного фунта смеси, разделим общую стоимость на общий вес:
$360 \text{ к.} \div 60 \text{ фунтов} = 6 \text{ к. за фунт}$

Ответ: фунт смеси стоит 6 копеек.

б)

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Для удобства вычислений переведем все цены в копейки (в одном рубле 100 копеек).

Цена первого сорта чая: $3 \text{ р.} = 300 \text{ к.}$
Цена второго сорта чая: $2 \text{ р.} 40 \text{ к.} = 2 \times 100 + 40 = 240 \text{ к.}$
Цена смешанного чая: $2 \text{ р.} 85 \text{ к.} = 2 \times 100 + 85 = 285 \text{ к.}$

Пусть $x$ – количество фунтов чая первого сорта, а $y$ – количество фунтов чая второго сорта.

1. Составим первое уравнение, исходя из общего веса смеси, который равен 32 фунта:
$x + y = 32$

2. Составим второе уравнение, исходя из общей стоимости смеси. Общая стоимость равна сумме стоимостей каждого сорта, а также произведению веса смеси на ее цену.
Стоимость чая первого сорта: $300x$ копеек.
Стоимость чая второго сорта: $240y$ копеек.
Стоимость всей смеси: $32 \times 285 = 9120$ копеек.
Получаем уравнение: $300x + 240y = 9120$

3. Решим полученную систему уравнений:
$\begin{cases} x + y = 32 \\ 300x + 240y = 9120 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 32 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение и решим его относительно $x$:
$300x + 240(32 - x) = 9120$
$300x + 7680 - 240x = 9120$
$60x + 7680 = 9120$
$60x = 9120 - 7680$
$60x = 1440$
$x = 1440 \div 60$
$x = 24$ (фунта) – чая первого сорта.

4. Теперь найдем количество фунтов чая второго сорта, подставив значение $x$ в выражение для $y$:
$y = 32 - x = 32 - 24 = 8$ (фунтов) – чая второго сорта.

Ответ: взято 24 фунта чая первого сорта и 8 фунтов чая второго сорта.

1153. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Некто купил 112 баранов старых и молодых, дал 49 рублей и 20 алтын. За старого он платил по 15 алтын и по 2 деньги, а за молодого — по 10 алтын; узнайте, сколько старых и сколько молодых баранов купил он.

Для решения этой старинной задачи сперва необходимо перевести все денежные суммы в единую единицу измерения. Воспользуемся старинными русскими мерами денег, которые использовались во времена Л. Ф. Магницкого: 1 рубль равнялся 200 деньгам, а 1 алтын — 6 деньгам. Таким образом, мы будем вести все расчеты в деньгах.

Сначала вычислим общую уплаченную сумму в деньгах. Покупатель заплатил 49 рублей и 20 алтын:

Общая сумма = $(49 \times 200) + (20 \times 6) = 9800 + 120 = 9920$ денег.

Далее вычислим цену каждого вида барана в деньгах:

Цена старого барана = $(15 \times 6) + 2 = 90 + 2 = 92$ деньги.

Цена молодого барана = $10 \times 6 = 60$ денег.

Теперь составим систему уравнений. Пусть $x$ — это количество старых баранов, а $y$ — количество молодых баранов. Мы знаем, что всего было куплено 112 баранов, поэтому первое уравнение системы:

$x + y = 112$

Также мы знаем, что общая стоимость покупки составила 9920 денег. Стоимость всех старых баранов — $92x$, а всех молодых — $60y$. Отсюда получаем второе уравнение системы:

$92x + 60y = 9920$

Теперь решим эту систему уравнений. Из первого уравнения выразим $y$:

$y = 112 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$92x + 60(112 - x) = 9920$

Раскроем скобки и найдем $x$:

$92x + 6720 - 60x = 9920$

$32x = 9920 - 6720$

$32x = 3200$

$x = 100$

Итак, было куплено 100 старых баранов. Теперь найдем количество молодых баранов:

$y = 112 - 100 = 12$

Следовательно, было куплено 12 молодых баранов.

Ответ: было куплено 100 старых и 12 молодых баранов.

1154. Купец купил $1 \cdot 10$ фунтов табака. 50 фунтов оказались подмоченными, и купец продал их на 2 р. дешевле за 1 фунт, чем заплатил сам. Остальной табак он продал на 3 р. дороже за 1 фунт, чем уплатил сам. Подсчитайте прибыль купца.

Для решения этой задачи не обязательно знать первоначальную цену табака. Прибыль можно рассчитать, основываясь на изменении цены при продаже для каждой партии товара.

1. Сначала рассчитаем убыток от продажи подмоченного табака. Было 50 фунтов, и каждый фунт был продан на 2 рубля дешевле закупочной цены. Общий убыток от этой партии составил:

$50 \text{ фунтов} \times 2 \text{ рубля/фунт} = 100$ рублей.

2. Далее найдём количество оставшегося, качественного табака:

$110 \text{ фунтов} - 50 \text{ фунтов} = 60$ фунтов.

3. Теперь рассчитаем дополнительную прибыль от продажи качественного табака. Эти 60 фунтов были проданы на 3 рубля дороже за фунт. Дополнительная прибыль составила:

$60 \text{ фунтов} \times 3 \text{ рубля/фунт} = 180$ рублей.

4. Итоговая прибыль купца — это разница между дополнительной прибылью от продажи хорошего табака и убытком от продажи подмоченного:

$180 \text{ рублей} - 100 \text{ рублей} = 80$ рублей.

Ответ: 80 рублей.

1155. a) На двух полках стояло 12 книг. Когда с первой полки на вторую переставили столько книг, сколько до этого стояло на второй полке, то книг на полках стало поровну. Определите, сколько книг первоначально стояло на первой полке и сколько — на второй.

б) У Светы и Наташи вместе было 8 яблок. Света дала Наташе столько яблок, сколько было у Наташи. Потом Наташа дала Свете столько яблок, сколько осталось у Светы. После этого у девочек яблок стало поровну. Сколько яблок первоначально было у каждой девочки?

в) Трое мальчиков имеют. по некоторому количеству яблок. Первый мальчик даёт другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй мальчик даёт двум другим столько яблок, сколько каждый из них имеет; наконец, третий даёт каждому из двух столько яблок, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у мальчиков оказалось по 8 яблок. Сколько яблок было вначале у каждого мальчика?

а)

Пусть $x$ — количество книг, первоначально стоявших на первой полке, а $y$ — количество книг на второй полке.
По условию, всего на двух полках было 12 книг, значит, можно составить первое уравнение:
$x + y = 12$
Когда с первой полки на вторую переставили столько книг, сколько до этого стояло на второй полке (то есть $y$ книг), то на первой полке стало $x - y$ книг, а на второй — $y + y = 2y$ книг.
После этого книг на полках стало поровну. Составим второе уравнение:
$x - y = 2y$
Из второго уравнения выразим $x$:
$x = 3y$
Теперь подставим это выражение в первое уравнение:
$3y + y = 12$
$4y = 12$
$y = 12 / 4$
$y = 3$
Мы нашли, что на второй полке первоначально было 3 книги. Теперь найдем, сколько книг было на первой полке:
$x = 3y = 3 \cdot 3 = 9$
Проверим: на первой полке 9 книг, на второй 3. Всего $9 + 3 = 12$. С первой полки на вторую переставили 3 книги. На первой осталось $9 - 3 = 6$ книг. На второй стало $3 + 3 = 6$ книг. Количество книг стало равным. Условия задачи выполнены.

Ответ: первоначально на первой полке стояло 9 книг, а на второй — 3 книги.

б)

Эту задачу удобнее решать с конца.
Всего у девочек было 8 яблок. В конце у них стало яблок поровну, значит, у каждой стало по $8 / 2 = 4$ яблока.

1. Рассматриваем последнее действие: Наташа дала Свете столько яблок, сколько осталось у Светы. После этого у Светы стало 4 яблока. Это значит, что количество яблок у Светы удвоилось. Следовательно, до этого действия у Светы было $4 / 2 = 2$ яблока. У Наташи было $8 - 2 = 6$ яблок. (Проверка: у Светы 2 яблока, у Наташи 6. Наташа дает Свете 2 яблока. У Светы становится $2 + 2 = 4$, у Наташи $6 - 2 = 4$. Все верно).

2. Рассматриваем первое действие: Света дала Наташе столько яблок, сколько было у Наташи. После этого у Наташи стало 6 яблок. Это значит, что количество яблок у Наташи удвоилось. Следовательно, в самом начале у Наташи было $6 / 2 = 3$ яблока. Тогда у Светы вначале было $8 - 3 = 5$ яблок.

Проверим весь процесс с самого начала.
Изначально: у Светы 5 яблок, у Наташи 3.
Шаг 1: Света дает Наташе 3 яблока. У Светы остается $5 - 3 = 2$ яблока, у Наташи становится $3 + 3 = 6$ яблок.
Шаг 2: Наташа дает Свете 2 яблока. У Наташи остается $6 - 2 = 4$ яблока, у Светы становится $2 + 2 = 4$ яблока.
Условия задачи выполнены.

Ответ: первоначально у Светы было 5 яблок, а у Наташи — 3 яблока.

в)

Эту задачу также решаем с конца.
В конце у троих мальчиков оказалось по 8 яблок. Это значит, что общее количество яблок было $3 \cdot 8 = 24$. Это количество не менялось.

1. Последнее действие: третий мальчик дает первому и второму столько яблок, сколько у них есть в этот момент.
После этого у первого и второго стало по 8 яблок. Значит, их количество яблок удвоилось.
Следовательно, до этого действия у первого мальчика было $8 / 2 = 4$ яблока, а у второго — $8 / 2 = 4$ яблока.
Третий мальчик отдал им $4 + 4 = 8$ яблок. Значит, у него было $8 + 8 = 16$ яблок.
Итак, перед последним действием у мальчиков было: 4, 4 и 16 яблок. (Сумма $4+4+16=24$, все верно).

2. Предпоследнее действие: второй мальчик дает первому и третьему столько яблок, сколько у них есть.
После этого у них стало 4 и 16 яблок соответственно. Значит, их количество яблок удвоилось.
Следовательно, до этого действия у первого мальчика было $4 / 2 = 2$ яблока, а у третьего — $16 / 2 = 8$ яблок.
Второй мальчик отдал им $2 + 8 = 10$ яблок. Значит, у него было $4 + 10 = 14$ яблок.
Итак, перед вторым действием у мальчиков было: 2, 14 и 8 яблок. (Сумма $2+14+8=24$, все верно).

3. Первое действие: первый мальчик дает второму и третьему столько яблок, сколько у них есть (изначально).
После этого у них стало 14 и 8 яблок соответственно. Значит, их количество яблок удвоилось.
Следовательно, в самом начале у второго мальчика было $14 / 2 = 7$ яблок, а у третьего — $8 / 2 = 4$ яблока.
Первый мальчик отдал им $7 + 4 = 11$ яблок. Значит, у него вначале было $2 + 11 = 13$ яблок.
Итак, первоначальное количество яблок у мальчиков было: 13, 7 и 4.

Ответ: вначале у первого мальчика было 13 яблок, у второго — 7 яблок, а у третьего — 4 яблока.