Страница 258 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1177. а) Моторная лодка проходит расстояние между двумя пунктами $A$ и $B$ по течению реки за 2 ч, а плот — за 8 ч. Какое время затратит моторная лодка на обратный путь?

б) Плот плывёт от $A$ до $B$ 40 ч, а катер — 4 ч. Сколько часов катер плывёт от $B$ до $A$?

а) Примем расстояние между пунктами А и В за 1 (одну целую) единицу.
Скорость плота равна скорости течения реки ($V_{теч}$). Плот проходит расстояние за 8 часов, следовательно, его скорость составляет $\frac{1}{8}$ всего расстояния в час.
$V_{теч} = \frac{1}{8}$
Моторная лодка проходит расстояние по течению за 2 часа. Её скорость по течению ($V_{по}$) равна сумме её собственной скорости ($V_{соб}$) и скорости течения. Скорость по течению составляет $\frac{1}{2}$ всего расстояния в час.
$V_{по} = V_{соб} + V_{теч} = \frac{1}{2}$
Теперь найдём собственную скорость лодки, вычитая из скорости по течению скорость течения:
$V_{соб} = V_{по} - V_{теч} = \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{4}{8} - \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$ расстояния в час.
На обратном пути лодка будет двигаться против течения. Её скорость против течения ($V_{против}$) равна разности собственной скорости и скорости течения:
$V_{против} = V_{соб} - V_{теч} = \frac{3}{8} - \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ расстояния в час.
Время ($t$), которое лодка затратит на обратный путь, равно всему расстоянию (1), делённому на скорость против течения:
$t = \frac{1}{V_{против}} = \frac{1}{1/4} = 4$ часа.
Ответ: 4 часа.

б) Решим эту задачу аналогично, приняв всё расстояние за 1 единицу.
Плот плывёт от А до В 40 часов, значит, его скорость (которая равна скорости течения реки, $V_{теч}$) составляет $\frac{1}{40}$ часть расстояния в час.
$V_{теч} = \frac{1}{40}$
Катер плывёт от А до В по течению 4 часа. Его скорость по течению ($V_{по}$) составляет $\frac{1}{4}$ часть расстояния в час.
$V_{по} = V_{соб} + V_{теч} = \frac{1}{4}$
Найдём собственную скорость катера ($V_{соб}$):
$V_{соб} = V_{по} - V_{теч} = \frac{1}{4} - \frac{1}{40} = \frac{10}{40} - \frac{1}{40} = \frac{9}{40}$ часть расстояния в час.
Теперь найдём скорость катера против течения ($V_{против}$), когда он будет плыть из В в А:
$V_{против} = V_{соб} - V_{теч} = \frac{9}{40} - \frac{1}{40} = \frac{8}{40} = \frac{1}{5}$ часть расстояния в час.
Время ($t$) на обратный путь равно всему расстоянию (1), делённому на скорость против течения:
$t = \frac{1}{V_{против}} = \frac{1}{1/5} = 5$ часов.
Ответ: 5 часов.

1178. Некто купил 96 гусей. Половину гусей он купил, заплатив по 2 алтына и 7 полушек за каждого гуся. За каждого из остальных гусей он заплатил по 2 алтына без полушки. Сколько стоит покупка?

Для решения этой задачи необходимо сначала установить соотношения между старорусскими денежными единицами: алтыном, копейкой и полушкой.

• 1 алтын = 3 копейки
• 1 копейка = 2 деньги
• 1 деньга = 2 полушки

Из этих соотношений следует, что 1 копейка = $2 \times 2 = 4$ полушки, а 1 алтын = $3 \times 4 = 12$ полушек.

Решим задачу по шагам.

1. Определение количества гусей в каждой группе.

Всего было куплено 96 гусей. Половина этого количества составляет:

$96 \div 2 = 48$ гусей.

Таким образом, было две группы гусей по 48 штук в каждой.

2. Расчет стоимости первой группы гусей.

Цена за каждого гуся из первой группы составляла 2 алтына и 7 полушек. Переведем эту цену в одну единицу, например, в полушки:

$2 \text{ алтына } + 7 \text{ полушек } = (2 \times 12 \text{ полушек}) + 7 \text{ полушек } = 24 + 7 = 31$ полушка.

Стоимость первой группы из 48 гусей:

$48 \times 31 = 1488$ полушек.

3. Расчет стоимости второй группы гусей.

Цена за каждого гуся из второй группы составляла 2 алтына. Переведем эту цену в полушки:

$2 \text{ алтына } = 2 \times 12 \text{ полушек } = 24$ полушки.

Стоимость второй группы из 48 гусей:

$48 \times 24 = 1152$ полушки.

4. Расчет общей стоимости покупки.

Сложим стоимость двух групп, чтобы найти общую стоимость покупки:

$1488 + 1152 = 2640$ полушек.

5. Перевод итоговой суммы в более привычные единицы.

Переведем общую стоимость из полушек в копейки и рубли (1 рубль = 100 копеек):

$2640 \text{ полушек } \div 4 \text{ (полушки в копейке)} = 660$ копеек.

$660 \text{ копеек } = 6$ рублей 60 копеек.

Также можно выразить общую стоимость в алтынах:

$2640 \text{ полушек } \div 12 \text{ (полушек в алтыне)} = 220$ алтын.

Альтернативный способ решения:

Можно представить общую стоимость как сумму стоимостей всех 96 гусей. За каждого из 96 гусей заплатили по 2 алтына, и дополнительно за 48 гусей (половину) заплатили еще по 7 полушек.

Стоимость 96 гусей по 2 алтына:

$96 \times 2 \text{ алтына } = 192$ алтына.

Дополнительная плата за 48 гусей по 7 полушек:

$48 \times 7 \text{ полушек } = 336$ полушек.

Переведем 336 полушек в алтыны:

$336 \div 12 = 28$ алтын.

Общая стоимость:

$192 \text{ алтына } + 28 \text{ алтын } = 220$ алтын.

Переведем 220 алтын в рубли и копейки:

$220 \text{ алтын } \times 3 \text{ (копейки в алтыне)} = 660$ копеек = 6 рублей 60 копеек.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: вся покупка стоит 220 алтын, или 6 рублей 60 копеек.

1179. а) Первая и вторая бригады могли бы выполнить задание за 9 дней; вторая и третья бригады — за 18 дней; первая и третья бригады — за 12 дней. За сколько дней это задание могут выполнить три бригады, работая вместе?

б) В бассейн проведены три трубы. Через первые две трубы бассейн наполняется за 1 ч 10 мин; через первую и третью трубы он наполняется за 1 ч 24 мин, а через вторую и третью — за 2 ч 20 мин. За сколько минут наполнится бассейн через все три трубы?

в) По условию задачи а) определите, за сколько дней третья бригада сможет выполнить задание, работая отдельно.

а)

Обозначим производительность первой, второй и третьей бригад как $P_1$, $P_2$ и $P_3$ соответственно. Весь объем работы примем за 1.
Исходя из условия задачи, можно составить систему уравнений, где производительность равна частному от деления работы на время:
1) Производительность первой и второй бригад вместе: $P_1 + P_2 = \frac{1}{9}$ (часть задания в день).
2) Производительность второй и третьей бригад вместе: $P_2 + P_3 = \frac{1}{18}$ (часть задания в день).
3) Производительность первой и третьей бригад вместе: $P_1 + P_3 = \frac{1}{12}$ (часть задания в день).

Чтобы найти общую производительность трех бригад, работающих вместе ($P_1 + P_2 + P_3$), сложим все три уравнения:
$(P_1 + P_2) + (P_2 + P_3) + (P_1 + P_3) = \frac{1}{9} + \frac{1}{18} + \frac{1}{12}$
$2P_1 + 2P_2 + 2P_3 = \frac{1}{9} + \frac{1}{18} + \frac{1}{12}$
$2(P_1 + P_2 + P_3) = \frac{4}{36} + \frac{2}{36} + \frac{3}{36}$
$2(P_1 + P_2 + P_3) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$

Отсюда найдем суммарную производительность трех бригад:
$P_1 + P_2 + P_3 = \frac{1}{4} \div 2 = \frac{1}{8}$
Это значит, что за один день три бригады вместе выполнят $\frac{1}{8}$ всего задания.

Чтобы найти время, за которое они выполнят все задание, нужно разделить объем работы (1) на их общую производительность:
$T = \frac{1}{P_1 + P_2 + P_3} = \frac{1}{\frac{1}{8}} = 8$ дней.

Ответ: 8 дней.

б)

Эта задача решается по аналогии с предыдущей. Сначала переведем все временные интервалы в минуты:
1 ч 10 мин = $60 + 10 = 70$ мин.
1 ч 24 мин = $60 + 24 = 84$ мин.
2 ч 20 мин = $2 \cdot 60 + 20 = 140$ мин.

Обозначим скорость наполнения бассейна через первую, вторую и третью трубы как $R_1$, $R_2$ и $R_3$ соответственно. Объем бассейна примем за 1.
Составим систему уравнений:
1) $R_1 + R_2 = \frac{1}{70}$ (часть бассейна в минуту).
2) $R_1 + R_3 = \frac{1}{84}$ (часть бассейна в минуту).
3) $R_2 + R_3 = \frac{1}{140}$ (часть бассейна в минуту).

Сложим все три уравнения, чтобы найти удвоенную общую скорость наполнения:
$2(R_1 + R_2 + R_3) = \frac{1}{70} + \frac{1}{84} + \frac{1}{140}$
Найдем общий знаменатель для дробей (НОК(70, 84, 140) = 420):
$2(R_1 + R_2 + R_3) = \frac{6}{420} + \frac{5}{420} + \frac{3}{420}$
$2(R_1 + R_2 + R_3) = \frac{14}{420} = \frac{1}{30}$

Теперь найдем общую скорость наполнения через три трубы:
$R_1 + R_2 + R_3 = \frac{1}{30} \div 2 = \frac{1}{60}$
Это означает, что за одну минуту через три трубы наполнится $\frac{1}{60}$ часть бассейна.

Время, за которое наполнится весь бассейн, равно:
$T = \frac{1}{R_1 + R_2 + R_3} = \frac{1}{\frac{1}{60}} = 60$ минут.

Ответ: 60 минут.

в)

Чтобы определить, за сколько дней третья бригада сможет выполнить задание, работая отдельно, нужно найти ее индивидуальную производительность $P_3$.
Из решения задачи а) мы знаем:
Общая производительность трех бригад: $P_1 + P_2 + P_3 = \frac{1}{8}$.
Производительность первой и второй бригад вместе: $P_1 + P_2 = \frac{1}{9}$.

Чтобы найти производительность третьей бригады, вычтем из общей производительности производительность первых двух бригад:
$P_3 = (P_1 + P_2 + P_3) - (P_1 + P_2) = \frac{1}{8} - \frac{1}{9}$
$P_3 = \frac{9}{72} - \frac{8}{72} = \frac{1}{72}$

Производительность третьей бригады составляет $\frac{1}{72}$ часть задания в день.
Следовательно, время, за которое третья бригада выполнит все задание в одиночку, равно:
$T_3 = \frac{1}{P_3} = \frac{1}{\frac{1}{72}} = 72$ дня.

Ответ: 72 дня.

1180.(Китай, II в.). Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Однажды дикая утка и дикий гусь вылетели одновременно. Через сколько дней они встретятся?

Для решения задачи примем всё расстояние между южным и северным морями за 1 условную единицу.

1. Определим скорость дикой утки. Так как утка пролетает всё расстояние за 7 дней, её скорость ($v_{у}$) составляет $\frac{1}{7}$ всего расстояния в день.
$v_{у} = \frac{1}{7}$ (расстояния/день)

2. Определим скорость дикого гуся. Гусь пролетает то же расстояние за 9 дней, значит, его скорость ($v_{г}$) составляет $\frac{1}{9}$ всего расстояния в день.
$v_{г} = \frac{1}{9}$ (расстояния/день)

3. Птицы летят навстречу друг другу, поэтому их скорости складываются. Найдем их общую скорость сближения ($v_{сбл}$):
$v_{сбл} = v_{у} + v_{г} = \frac{1}{7} + \frac{1}{9}$

4. Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю ($7 \times 9 = 63$):
$v_{сбл} = \frac{9}{63} + \frac{7}{63} = \frac{16}{63}$ (расстояния/день)

Это значит, что за один день утка и гусь вместе приближаются друг к другу на $\frac{16}{63}$ от всего расстояния.

5. Чтобы найти время ($t$), через которое они встретятся, нужно всё расстояние (1) разделить на скорость сближения:
$t = \frac{1}{v_{сбл}} = \frac{1}{\frac{16}{63}} = 1 \times \frac{63}{16} = \frac{63}{16}$ дня.

6. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{63}{16} = 3 \frac{15}{16}$ дня.

Ответ: $3 \frac{15}{16}$ дня.

1181. Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Трое рабочих могут выполнить некоторую работу, при этом A может выполнить её один раз за 3 недели, B — три раза за 8 недель, C — пять раз за 12 недель. Спрашивается, за какое время они смогут выполнить эту работу все вместе. (Считайте, что в неделе 6 рабочих дней по 12 ч.)

Для решения этой задачи необходимо сначала определить производительность каждого рабочего, то есть какую часть работы он выполняет за единицу времени. За единицу работы примем всю работу, а за единицу времени — одну неделю.

1. Определение производительности каждого рабочего

Рабочий А выполняет 1 работу за 3 недели. Его производительность $P_A$ составляет:
$P_A = \frac{1}{3}$ работы в неделю.

Рабочий B выполняет 3 работы за 8 недель. Его производительность $P_B$ составляет:
$P_B = \frac{3}{8}$ работы в неделю.

Рабочий C выполняет 5 работ за 12 недель. Его производительность $P_C$ составляет:
$P_C = \frac{5}{12}$ работы в неделю.

2. Определение общей производительности

При совместной работе производительности рабочих складываются. Найдем их общую производительность $P_{общ}$: $P_{общ} = P_A + P_B + P_C = \frac{1}{3} + \frac{3}{8} + \frac{5}{12}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 3, 8 и 12 равно 24. $P_{общ} = \frac{1 \cdot 8}{24} + \frac{3 \cdot 3}{24} + \frac{5 \cdot 2}{24} = \frac{8}{24} + \frac{9}{24} + \frac{10}{24} = \frac{8+9+10}{24} = \frac{27}{24}$

Сократим полученную дробь: $P_{общ} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8}$ работы в неделю.

3. Расчет времени выполнения работы

Время $T$, необходимое для выполнения одной работы, является величиной, обратной производительности: $T = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{9}{8}} = \frac{8}{9}$ недели.

4. Перевод времени в дни и часы

Согласно условию, в неделе 6 рабочих дней по 12 часов. Переведем полученное время из недель в рабочие дни: $T_{дни} = \frac{8}{9} \times 6 = \frac{48}{9} = \frac{16}{3}$ дней.

Это составляет $5\frac{1}{3}$ рабочего дня, то есть 5 полных рабочих дней и еще $\frac{1}{3}$ дня. Переведем дробную часть дня в часы, зная, что рабочий день длится 12 часов: $\frac{1}{3} \text{ дня} \times 12 \frac{\text{часов}}{\text{день}} = 4$ часа.

Следовательно, работая вместе, трое рабочих выполнят работу за 5 дней и 4 часа.

Ответ: 5 дней 4 часа.

1182. а) Каждый день турист проходит $\frac{1}{3}$ намеченного маршрута. Какую часть маршрута он пройдёт за 2 дня; за $\frac{1}{2}$ дня; за $\frac{3}{4}$ дня?

б) Метр ткани стоит 96 р. Сколько стоит $\frac{3}{4}$ м; $\frac{2}{3}$ м ткани?

в) Некто купил $\frac{3}{4}$ аршина сукна и заплатил за них 3 алтына. Сколько надо заплатить за 100 аршин такого же сукна?

а) Чтобы найти, какую часть маршрута пройдёт турист за определённое время, нужно умножить часть маршрута, которую он проходит за один день, на количество дней.
За 2 дня турист пройдёт: $2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ маршрута.
За $\frac{1}{2}$ дня турист пройдёт: $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ маршрута.
За $\frac{3}{4}$ дня турист пройдёт: $\frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ маршрута.
Ответ: за 2 дня турист пройдёт $\frac{2}{3}$ маршрута; за $\frac{1}{2}$ дня - $\frac{1}{6}$ маршрута; за $\frac{3}{4}$ дня - $\frac{1}{4}$ маршрута.

б) Чтобы найти стоимость части ткани, нужно цену за один метр умножить на количество метров.
Стоимость $\frac{3}{4}$ м ткани: $96 \times \frac{3}{4} = \frac{96 \times 3}{4} = 24 \times 3 = 72$ р.
Стоимость $\frac{2}{3}$ м ткани: $96 \times \frac{2}{3} = \frac{96 \times 2}{3} = 32 \times 2 = 64$ р.
Ответ: $\frac{3}{4}$ м ткани стоят 72 р.; $\frac{2}{3}$ м ткани стоят 64 р.

в) Сначала найдём, сколько стоит один аршин сукна. Для этого разделим уплаченную сумму на количество купленных аршин.
1) $3 \div \frac{3}{4} = 3 \times \frac{4}{3} = 4$ алтына — стоит один аршин сукна.
Теперь найдём, сколько нужно заплатить за 100 аршин такого же сукна. Для этого умножим цену одного аршина на 100.
2) $4 \times 100 = 400$ алтын.
Ответ: за 100 аршин сукна надо заплатить 400 алтын.

1183. На прямой отметили 5 точек. Сколько отрезков и сколько лучей при этом образовалось?

Сколько отрезков

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Чтобы найти общее количество отрезков, нам нужно посчитать, сколькими способами можно выбрать 2 точки из 5 данных. Порядок выбора точек не имеет значения (отрезок AB — это тот же отрезок, что и BA).

Это классическая задача на нахождение числа сочетаний из $n$ элементов по $k$, где $n=5$ (общее число точек), а $k=2$ (число точек, определяющих отрезок). Формула для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Подставим наши значения в формулу:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1)} = \frac{120}{12} = 10$

Другой способ — это последовательный подсчет. Пронумеруем точки от 1 до 5.

• Из точки 1 можно провести отрезки к точкам 2, 3, 4, 5 (4 отрезка).
• Из точки 2 можно провести отрезки к точкам 3, 4, 5 (3 новых отрезка).
• Из точки 3 можно провести отрезки к точкам 4, 5 (2 новых отрезка).
• Из точки 4 можно провести отрезок к точке 5 (1 новый отрезок).

Общее количество отрезков: $4 + 3 + 2 + 1 = 10$.

Ответ: 10 отрезков.

Сколько лучей

Луч — это часть прямой, которая имеет начальную точку и не имеет конца. Из любой точки на прямой можно провести два луча, направленных в противоположные стороны.

В задаче дано 5 точек. Из каждой из этих 5 точек можно провести по 2 луча. Следовательно, чтобы найти общее количество лучей, нужно умножить количество точек на 2.

$5 \text{ (точек)} \times 2 \text{ (направления)} = 10 \text{ (лучей)}$

Ответ: 10 лучей.