Страница 260 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1194. Некто имел 99 м сетки для ограждения участка прямоугольной формы. Каковы должны быть размеры участка, чтобы он занимал наибольшую площадь, если ограда должна иметь калитку шириной 1 м?

Пусть $a$ и $b$ — размеры (длина и ширина) прямоугольного участка в метрах.

Площадь участка $S$, которую необходимо максимизировать, вычисляется по формуле:

$S = a \cdot b$

Периметр участка $P$ представляет собой общую длину ограды. Ограда состоит из 99 м сетки и калитки шириной 1 м. Таким образом, общий периметр участка равен:

$P = 99 \text{ м} + 1 \text{ м} = 100 \text{ м}$

Периметр прямоугольника также выражается через его стороны:

$P = 2(a + b)$

Приравнивая два выражения для периметра, получаем уравнение-ограничение:

$2(a + b) = 100$

$a + b = 50$

Теперь наша задача — найти максимум функции $S = a \cdot b$ при условии $a + b = 50$.

Выразим одну из переменных из условия, например, $b$:

$b = 50 - a$

Подставим это выражение в формулу для площади, чтобы получить функцию площади, зависящую от одной переменной $a$:

$S(a) = a \cdot (50 - a) = 50a - a^2$

Функция $S(a) = -a^2 + 50a$ является квадратичной. Её график — это парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $a^2$ отрицательный). Максимальное значение такой функции достигается в её вершине.

Координата вершины параболы $a_0$ находится по формуле $a_0 = -\frac{B}{2A}$, где $A$ и $B$ — коэффициенты уравнения $S(a) = Aa^2 + Ba + C$. В нашем случае $A=-1$ и $B=50$.

$a_0 = -\frac{50}{2 \cdot (-1)} = -\frac{50}{-2} = 25$

Итак, одна из сторон участка для максимальной площади должна быть равна 25 м.

Найдём длину второй стороны $b$:

$b = 50 - a = 50 - 25 = 25$

Таким образом, участок будет иметь наибольшую площадь, если он будет иметь форму квадрата со сторонами 25 м.

Ответ: размеры участка должны быть 25 м на 25 м.

1195. Некто хочет приобрести прямоугольный участок земли площадью 4 сотки. Какими могут быть длина и ширина этого участка? В каком случае периметр участка будет наименьшим?

Какими могут быть длина и ширина этого участка?

Сначала необходимо перевести площадь участка из соток в квадратные метры. Известно, что 1 сотка равна 100 квадратным метрам. Таким образом, площадь участка составляет:
$4 \text{ сотки} = 4 \cdot 100 \text{ м}^2 = 400 \text{ м}^2$.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ – длина, а $b$ – ширина.
По условию задачи, произведение длины и ширины участка должно быть равно 400:
$a \cdot b = 400$.

Длина и ширина участка могут быть любыми двумя положительными числами, произведение которых равно 400. Следовательно, существует бесконечное множество таких пар. Приведем несколько целочисленных примеров (размеры в метрах):
- 1 м и 400 м
- 2 м и 200 м
- 4 м и 100 м
- 5 м и 80 м
- 8 м и 50 м
- 10 м и 40 м
- 16 м и 25 м
- 20 м и 20 м

Ответ: Длина и ширина участка могут быть любыми положительными числами, произведение которых равно 400. Например, 10 м и 40 м, или 20 м и 20 м, или 8 м и 50 м.

В каком случае периметр участка будет наименьшим?

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Нам нужно найти, при каких значениях $a$ и $b$ периметр будет минимальным, при условии, что площадь $a \cdot b = 400 \text{ м}^2$ остается постоянной.

Из всех прямоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр имеет квадрат. Этот факт следует из неравенства о средних арифметическом и геометрическом, которое гласит, что для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{a \cdot b}$.

Сумма сторон $(a+b)$, а значит и периметр $2(a+b)$, будет наименьшей, когда достигается равенство, то есть когда $a=b$. Это означает, что прямоугольник должен быть квадратом.

Найдем длину стороны такого квадратного участка, площадь которого равна 400 м²:
$S = a^2 = 400 \text{ м}^2$
$a = \sqrt{400} = 20$ м.

Таким образом, участок с наименьшим периметром будет иметь форму квадрата со сторонами 20 на 20 метров. Наименьший периметр будет равен:
$P_{min} = 2(20 + 20) = 2 \cdot 40 = 80$ м.

Ответ: Периметр участка будет наименьшим в том случае, если участок является квадратом со сторонами 20 м на 20 м.

1196. В Московском метрополитене разрешается бесплатно провозить предметы, сумма трёх измерений которых не превышает 150 см. Какие размеры может иметь коробка, сумма измерений которой 150 см? В каком случае объём этой коробки будет наибольшим?

Какие размеры может иметь коробка, сумма измерений которой 150 см?

Пусть размеры коробки (длина, ширина и высота) — это $a, b$ и $c$. Согласно условию, их сумма должна быть равна 150 см. Это можно записать в виде уравнения:
$a + b + c = 150$
При этом каждое из измерений должно быть положительным числом ($a > 0, b > 0, c > 0$).
Этому условию удовлетворяет бесконечное множество комбинаций размеров. Вот несколько примеров:
- Коробка может быть почти плоской, например, с размерами 100 см, 49 см и 1 см. Их сумма: $100 + 49 + 1 = 150$ см.
- Коробка может быть длинной и узкой, например, 130 см, 10 см и 10 см. Их сумма: $130 + 10 + 10 = 150$ см.
- Размеры могут быть близки друг к другу, например, 60 см, 50 см и 40 см. Их сумма: $60 + 50 + 40 = 150$ см.
Ответ: Коробка может иметь любые три положительных размера, сумма которых составляет 150 см. Например, 70 см, 50 см и 30 см.

В каком случае объём этой коробки будет наибольшим?

Объём коробки вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$. Нам необходимо найти максимальное значение этого произведения при фиксированной сумме $a + b + c = 150$.
Известно, что произведение нескольких положительных чисел при их постоянной сумме достигает максимума, когда эти числа равны. Это следует из неравенства о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши), которое для трёх чисел выглядит так:
$\frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}$
Максимальное значение произведения $abc$ достигается, когда в этом неравенстве выполняется равенство, то есть когда $a = b = c$.
Исходя из этого условия, найдём размеры коробки:
$a + a + a = 150$
$3a = 150$
$a = 150 / 3 = 50$ см.
Таким образом, чтобы объём был наибольшим, все три измерения коробки должны быть равны 50 см. То есть коробка должна иметь форму куба.
Максимальный объём при этом составит:
$V_{max} = 50 \cdot 50 \cdot 50 = 125 000$ см$^3$.
Ответ: Объём этой коробки будет наибольшим в том случае, если она имеет форму куба с размерами 50 см, 50 см и 50 см.

1197. Определите на глаз длину отрезка:

а) в сантиметрах (рис. 181);

б) в миллиметрах (рис. 182).

Проверьте результат с помощью линейки.

Рис. 181

a) $A$ $B$

б) $C$ $D$

в) $M$ $N$

Рис. 182

a) $A$ $B$

б) $C$ $D$

в) $M$ $N$

а) Сначала оценим длину отрезка AB на глаз. Визуально его длина составляет примерно 2-3 сантиметра. Для проверки результата приложим к отрезку линейку так, чтобы точка A совпала с нулевой отметкой. Точка B совпадает с делением 2,5. Таким образом, точная длина отрезка AB равна 2,5 см.
Ответ: 2,5 см.

б) На глаз, отрезок CD выглядит примерно в два раза длиннее отрезка AB. Оценим его длину примерно в 5 сантиметров. Проверка с помощью линейки подтверждает нашу оценку: длина отрезка CD составляет ровно 5 см.
Ответ: 5 см.

в) Отрезок MN визуально кажется немного длиннее отрезка CD. Предположим, что его длина составляет около 6 сантиметров. Произведем измерение с помощью линейки. Точная длина отрезка MN равна 5,8 см.
Ответ: 5,8 см.

а) Оценим на глаз длину отрезка AB. Она кажется сопоставимой с длиной отрезка AB из предыдущего рисунка, то есть около 25 мм. Измерим его линейкой, помня, что в одном сантиметре 10 миллиметров. Точная длина отрезка AB составляет 24 мм.
Ответ: 24 мм.

б) Отрезок CD выглядит длиннее отрезка AB. На глаз, его длина составляет примерно 35 мм. Проведем точное измерение с помощью линейки. Длина отрезка CD равна 34 мм. Напомним соотношение единиц измерения: $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
Ответ: 34 мм.

в) Отрезок MN является самым длинным на данном рисунке. Оценим его длину примерно в 45 мм. После измерения линейкой получаем, что точная длина отрезка MN составляет 46 мм.
Ответ: 46 мм.

1198. Определите на глаз величину угла (рис. 183). Проверьте результат с помощью транспортира.

а) $\angle ABC$

б) $\angle MNK$

в) $\angle XYZ$

Рис. 183

а) Угол $\angle ABC$ является острым, так как он меньше прямого угла (90°). На глаз можно предположить, что его величина составляет примерно 40-45 градусов. Для точного измерения приложим транспортир. Совместим центр транспортира с вершиной угла B, а сторону BC — с нулевой отметкой на шкале. Сторона BA пересечет шкалу транспортира на отметке 40°. Таким образом, $\angle ABC = 40^\circ$.
Ответ: 40°.

б) Угол $\angle MNK$ отмечен квадратом в вершине, что является стандартным обозначением прямого угла. Визуально стороны MN и NK выглядят перпендикулярными. Величина прямого угла по определению составляет 90°. Проверка с помощью транспортира подтверждает это: если совместить центр транспортира с вершиной N и сторону NK с нулевой отметкой, то сторона MN пройдет через деление 90°. Таким образом, $\angle MNK = 90^\circ$.
Ответ: 90°.

в) Угол $\angle XYZ$ является тупым, так как он больше прямого угла. На глаз можно оценить его величину примерно в 110-120 градусов. Для точного измерения используем транспортир. Совместим центр транспортира с вершиной угла Y, а сторону YZ — с нулевой отметкой. Сторона YX пересечет шкалу транспортира на отметке 115°. Таким образом, $\angle XYZ = 115^\circ$.
Ответ: 115°.