Номер 1195, страница 260 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1195. Некто хочет приобрести прямоугольный участок земли площадью 4 сотки. Какими могут быть длина и ширина этого участка? В каком случае периметр участка будет наименьшим?

Какими могут быть длина и ширина этого участка?

Сначала необходимо перевести площадь участка из соток в квадратные метры. Известно, что 1 сотка равна 100 квадратным метрам. Таким образом, площадь участка составляет:
$4 \text{ сотки} = 4 \cdot 100 \text{ м}^2 = 400 \text{ м}^2$.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ – длина, а $b$ – ширина.
По условию задачи, произведение длины и ширины участка должно быть равно 400:
$a \cdot b = 400$.

Длина и ширина участка могут быть любыми двумя положительными числами, произведение которых равно 400. Следовательно, существует бесконечное множество таких пар. Приведем несколько целочисленных примеров (размеры в метрах):
- 1 м и 400 м
- 2 м и 200 м
- 4 м и 100 м
- 5 м и 80 м
- 8 м и 50 м
- 10 м и 40 м
- 16 м и 25 м
- 20 м и 20 м

Ответ: Длина и ширина участка могут быть любыми положительными числами, произведение которых равно 400. Например, 10 м и 40 м, или 20 м и 20 м, или 8 м и 50 м.

В каком случае периметр участка будет наименьшим?

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Нам нужно найти, при каких значениях $a$ и $b$ периметр будет минимальным, при условии, что площадь $a \cdot b = 400 \text{ м}^2$ остается постоянной.

Из всех прямоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр имеет квадрат. Этот факт следует из неравенства о средних арифметическом и геометрическом, которое гласит, что для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{a \cdot b}$.

Сумма сторон $(a+b)$, а значит и периметр $2(a+b)$, будет наименьшей, когда достигается равенство, то есть когда $a=b$. Это означает, что прямоугольник должен быть квадратом.

Найдем длину стороны такого квадратного участка, площадь которого равна 400 м²:
$S = a^2 = 400 \text{ м}^2$
$a = \sqrt{400} = 20$ м.

Таким образом, участок с наименьшим периметром будет иметь форму квадрата со сторонами 20 на 20 метров. Наименьший периметр будет равен:
$P_{min} = 2(20 + 20) = 2 \cdot 40 = 80$ м.

Ответ: Периметр участка будет наименьшим в том случае, если участок является квадратом со сторонами 20 м на 20 м.