Номер 1200, страница 261 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1200. Постройте угол $\angle ABC$, равный $120^\circ$. С помощью транспортира разделите угол $\angle ABC$ на два угла так, чтобы один угол был:

а) в 2 раза больше другого;

б) в 3 раза меньше другого;

в) на $20^\circ$ больше другого;

г) на $30^\circ$ меньше другого.

Для решения задачи сначала построим угол $ \angle ABC = 120^\circ $. Затем нам нужно разделить его на два угла, назовем их $ \alpha $ и $ \beta $. Сумма этих двух углов должна быть равна исходному углу, то есть $ \alpha + \beta = 120^\circ $. Для каждого из подпунктов мы найдем градусные меры этих углов.

а) По условию, один угол в 2 раза больше другого. Пусть $ \alpha $ — меньший угол, тогда второй угол $ \beta = 2\alpha $. Составим и решим систему уравнений:
$ \begin{cases} \alpha + \beta = 120^\circ \\ \beta = 2\alpha \end{cases} $
Подставляем второе уравнение в первое:
$ \alpha + 2\alpha = 120^\circ $
$ 3\alpha = 120^\circ $
$ \alpha = 120^\circ / 3 = 40^\circ $
Тогда второй угол равен:
$ \beta = 2 \cdot 40^\circ = 80^\circ $
Таким образом, чтобы разделить угол $ 120^\circ $ в данном соотношении, нужно отложить от одной из его сторон угол в $ 40^\circ $ (или $ 80^\circ $).
Ответ: угол нужно разделить на углы $ 40^\circ $ и $ 80^\circ $.

б) По условию, один угол в 3 раза меньше другого. Это значит, что больший угол в 3 раза больше меньшего. Пусть $ \alpha $ — меньший угол, тогда $ \beta = 3\alpha $.
Составим и решим систему уравнений:
$ \begin{cases} \alpha + \beta = 120^\circ \\ \beta = 3\alpha \end{cases} $
Подставляем второе уравнение в первое:
$ \alpha + 3\alpha = 120^\circ $
$ 4\alpha = 120^\circ $
$ \alpha = 120^\circ / 4 = 30^\circ $
Тогда второй угол равен:
$ \beta = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ $
Ответ: угол нужно разделить на углы $ 30^\circ $ и $ 90^\circ $.

в) По условию, один угол на $ 20^\circ $ больше другого. Пусть $ \alpha $ — меньший угол, тогда $ \beta = \alpha + 20^\circ $.
Составим и решим систему уравнений:
$ \begin{cases} \alpha + \beta = 120^\circ \\ \beta = \alpha + 20^\circ \end{cases} $
Подставляем второе уравнение в первое:
$ \alpha + (\alpha + 20^\circ) = 120^\circ $
$ 2\alpha + 20^\circ = 120^\circ $
$ 2\alpha = 100^\circ $
$ \alpha = 100^\circ / 2 = 50^\circ $
Тогда второй угол равен:
$ \beta = 50^\circ + 20^\circ = 70^\circ $
Ответ: угол нужно разделить на углы $ 50^\circ $ и $ 70^\circ $.

г) По условию, один угол на $ 30^\circ $ меньше другого. Это значит, что больший угол на $ 30^\circ $ больше меньшего. Пусть $ \alpha $ — меньший угол, тогда $ \beta = \alpha + 30^\circ $.
Составим и решим систему уравнений:
$ \begin{cases} \alpha + \beta = 120^\circ \\ \beta = \alpha + 30^\circ \end{cases} $
Подставляем второе уравнение в первое:
$ \alpha + (\alpha + 30^\circ) = 120^\circ $
$ 2\alpha + 30^\circ = 120^\circ $
$ 2\alpha = 90^\circ $
$ \alpha = 90^\circ / 2 = 45^\circ $
Тогда второй угол равен:
$ \beta = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ $
Ответ: угол нужно разделить на углы $ 45^\circ $ и $ 75^\circ $.