Номер 1204, страница 261 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1204. Дана окружность, постройте равносторонний треугольник, вершины которого лежат на этой окружности.

Для построения равностороннего треугольника, вписанного в данную окружность, используется циркуль и линейка без делений. Алгоритм построения и его доказательство приведены ниже.

Алгоритм построения

1. Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Если центр окружности не указан, его можно найти, построив серединные перпендикуляры к двум любым непараллельным хордам.
2. Выберите на окружности произвольную точку, назовем ее $A$. Эта точка будет первой вершиной искомого треугольника.
3. Установите раствор циркуля равным радиусу $R$ данной окружности.
4. Установите острие циркуля в точку $A$ и проведите дугу так, чтобы она пересекла окружность в точке $B$.
5. Теперь установите острие циркуля в точку $B$ и тем же раствором ($R$) проведите дугу, которая пересечет окружность в новой точке $C$.
6. Повторите операцию, установив острие циркуля в точку $C$, чтобы получить точку $D$. Затем из точки $D$ получить точку $E$, а из точки $E$ — точку $F$. При точном построении точка $F$ должна совпасть с начальной точкой $A$. В результате мы получили шесть точек ($A, B, C, D, E, F$), которые являются вершинами правильного шестиугольника, вписанного в окружность.
7. Соедините линейкой вершины шестиугольника через одну, например, $A$, $C$ и $E$.

Треугольник $ACE$ — искомый равносторонний треугольник.

Доказательство

По построению, мы последовательно откладывали на окружности хорды, равные её радиусу: $AB = BC = CD = DE = EF = FA = R$.

Рассмотрим, например, треугольник $\triangle AOB$. В нём стороны $OA$ и $OB$ равны радиусу $R$ как радиусы окружности, а сторона $AB$ равна радиусу $R$ по построению. Таким образом, $\triangle AOB$ — равносторонний, и все его углы равны $60^{\circ}$. В частности, центральный угол $\angle AOB = 60^{\circ}$.

Это означает, что каждая из шести построенных точек отсекает на окружности дугу в $60^{\circ}$.

Рассмотрим стороны полученного треугольника $ACE$:

• Сторона $AC$ стягивает дугу $\cup ABC$, которая состоит из двух дуг $\cup AB$ и $\cup BC$. Градусная мера этой дуги равна $60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
• Сторона $CE$ стягивает дугу $\cup CDE$, состоящую из дуг $\cup CD$ и $\cup DE$. Её градусная мера также равна $60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
• Сторона $EA$ стягивает дугу $\cup EFA$, состоящую из дуг $\cup EF$ и $\cup FA$. Её градусная мера также равна $60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

Поскольку хорды, стягивающие равные дуги, равны, то $AC = CE = EA$. Следовательно, треугольник $ACE$ является равносторонним, а все его вершины лежат на данной окружности, что и требовалось доказать.

Ответ: Искомый равносторонний треугольник построен согласно приведенному алгоритму.