Номер 1203, страница 261 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1203. Постройте окружность и разделите её с помощью циркуля на:

а) 6 равных частей;

б) 3 равные части.

а) 6 равных частей;

Для того чтобы разделить окружность на 6 равных частей с помощью циркуля, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Постройте произвольную окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$.
2. Выберите на окружности произвольную точку $A_1$.
3. Не меняя раствора циркуля (он должен оставаться равным радиусу $R$), установите иглу циркуля в точку $A_1$ и сделайте на окружности засечку. Обозначьте полученную точку пересечения как $A_2$.
4. Переместите иглу циркуля в точку $A_2$ и снова сделайте засечку на окружности, получив точку $A_3$.
5. Повторяйте это действие последовательно, перемещая иглу циркуля в каждую новую полученную точку ($A_3, A_4, A_5$). В результате вы получите 6 точек на окружности: $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$. Шестая засечка, сделанная из точки $A_6$, должна совпасть с начальной точкой $A_1$.

Это построение основано на свойстве правильного шестиугольника, вписанного в окружность: его сторона равна радиусу описанной окружности. Полученные точки $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$ делят окружность на 6 равных дуг. Каждой дуге соответствует центральный угол величиной $360^\circ / 6 = 60^\circ$.

Ответ: Точки, полученные последовательным откладыванием радиуса окружности по её длине, делят окружность на 6 равных частей.

б) 3 равные части.

Чтобы разделить окружность на 3 равные части, можно воспользоваться построением из предыдущего пункта:

1. Сначала разделите окружность на 6 равных частей, как описано в пункте а). Вы получите 6 точек: $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$.
2. Выберите из этих точек каждую вторую, например, точки $A_1, A_3, A_5$.

Эти три точки разделят окружность на три равные дуги: $A_1A_3$, $A_3A_5$ и $A_5A_1$. Каждая из этих дуг состоит из двух меньших дуг, полученных при делении на 6 частей (например, дуга, ограниченная точками $A_1$ и $A_3$, состоит из дуг $A_1A_2$ и $A_2A_3$). Следовательно, каждой из трех больших дуг соответствует центральный угол величиной $60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$, а $3 \times 120^\circ = 360^\circ$. Таким образом, окружность разделена на 3 равные части.

Ответ: Точки, полученные при делении окружности на 6 равных частей и взятые через одну, делят окружность на 3 равные части.