Номер 1202, страница 261 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1202. На сколько частей могут разбить круг три различные хорды?

Количество частей, на которые три различные хорды могут разбить круг, зависит от их взаимного расположения, а именно от количества и характера точек их пересечения внутри круга. Проанализируем все возможные случаи.

4 части

Минимальное количество частей (кроме начального, до проведения хорд) получается, когда хорды добавляют наименьшее возможное количество новых областей. Это происходит, когда хорды не пересекаются друг с другом. Например, если все три хорды параллельны. Первая хорда делит круг на 2 части. Вторая, не пересекая первую, добавляет еще одну часть, и их становится $2+1=3$. Третья, не пересекая первые две, также добавляет одну часть. Итоговое количество частей: $3+1=4$.

5 частей

Такое количество частей получается, если внутри круга есть только одна точка пересечения. Это возможно, когда две хорды пересекаются, а третья не пересекает ни одну из них. Две пересекающиеся хорды делят круг на 4 части. Третья хорда, расположенная в одной из этих частей, делит её надвое, добавляя таким образом одну новую часть. Общее количество частей становится $4+1=5$.

6 частей

Шесть частей можно получить при нескольких различных конфигурациях расположения хорд:

1. Две хорды параллельны, а третья их пересекает. В этом случае образуется две точки пересечения. Две параллельные хорды делят круг на 3 части. Третья хорда, пересекая их, проходит через все три части и добавляет еще 3 новые части. В сумме получается $3+3=6$ частей.

2. Все три хорды пересекаются в одной точке. Первые две пересекающиеся хорды делят круг на 4 части. Третья хорда, проходя через их общую точку пересечения, разделяет две противоположные части, добавляя 2 новые части. В итоге получается $4+2=6$ частей.

3. Хорды образуют две точки пересечения иным способом. Например, хорда A пересекает хорду B, а хорда C пересекает только хорду A (но не B). В этом случае также получается 6 частей ($4$ части от пересечения A и B, плюс $2$ части, добавленные хордой C).

7 частей

Это максимальное возможное количество частей. Оно достигается, когда хорды находятся в так называемом "общем положении": каждая хорда пересекает две другие, и все три точки пересечения различны. Первые две хорды делят круг на 4 части. Третья хорда, пересекая обе предыдущие в двух разных точках, проходит через три существующие области и разделяет каждую из них. Таким образом, добавляется 3 новые части, и общее количество составляет $4+3=7$ частей.

Таким образом, три различные хорды могут разбить круг на 4, 5, 6 или 7 частей.

Ответ: 4, 5, 6 или 7 частей.