Номер 1201, страница 261 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1201. С помощью транспортира постройте угол величиной $100^\circ$.

Из вершины угла проведите луч так, чтобы один из образовавшихся углов был:

а) в 4 раза больше другого;

б) на $20^\circ$ больше другого.

Сколько решений имеет каждая из задач а) и б)?

Задача состоит из двух частей для каждого из подпунктов. Изначально дан угол в $100^{\circ}$. Из его вершины нужно провести луч, который образует два новых угла. Этот луч может проходить как внутри исходного угла, так и снаружи.

Пусть исходный угол $\angle AOB = 100^{\circ}$, а из вершины $O$ проведен луч $OC$. Рассмотрим два возможных случая:

1. Луч $OC$ проходит внутри угла $\angle AOB$. В этом случае сумма образовавшихся углов $\angle AOC$ и $\angle BOC$ равна исходному углу: $\angle AOC + \angle BOC = 100^{\circ}$.

2. Луч $OC$ проходит вне угла $\angle AOB$. В этом случае разность образовавшихся углов $\angle AOC$ и $\angle BOC$ равна исходному углу: $|\angle AOC - \angle BOC| = 100^{\circ}$.

По условию, один из образовавшихся углов в 4 раза больше другого. Обозначим меньший угол как $x$, тогда больший будет равен $4x$.

Случай 1: Луч проходит внутри угла.
Сумма углов равна $100^{\circ}$:
$x + 4x = 100^{\circ}$
$5x = 100^{\circ}$
$x = 20^{\circ}$
Значит, образовавшиеся углы равны $20^{\circ}$ и $4 \cdot 20^{\circ} = 80^{\circ}$. Это первое решение.

Случай 2: Луч проходит вне угла.
Разность углов равна $100^{\circ}$:
$4x - x = 100^{\circ}$
$3x = 100^{\circ}$
$x = \frac{100}{3}^{\circ} = 33\frac{1}{3}^{\circ}$
Значит, образовавшиеся углы равны $33\frac{1}{3}^{\circ}$ и $4 \cdot \frac{100}{3}^{\circ} = 133\frac{1}{3}^{\circ}$. Это второе решение.

Таким образом, задача а) имеет два решения.
Ответ: 2 решения.

По условию, один из образовавшихся углов на $20^{\circ}$ больше другого. Обозначим меньший угол как $y$, тогда больший будет равен $y + 20^{\circ}$.

Случай 1: Луч проходит внутри угла.
Сумма углов равна $100^{\circ}$:
$y + (y + 20^{\circ}) = 100^{\circ}$
$2y + 20^{\circ} = 100^{\circ}$
$2y = 80^{\circ}$
$y = 40^{\circ}$
Значит, образовавшиеся углы равны $40^{\circ}$ и $40^{\circ} + 20^{\circ} = 60^{\circ}$. Это является решением.

Случай 2: Луч проходит вне угла.
Разность углов равна $100^{\circ}$:
$(y + 20^{\circ}) - y = 100^{\circ}$
$20^{\circ} = 100^{\circ}$
Это равенство неверное, следовательно, в данном случае решений нет.

Таким образом, задача б) имеет только одно решение.
Ответ: 1 решение.