Номер 1196, страница 260 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1196. В Московском метрополитене разрешается бесплатно провозить предметы, сумма трёх измерений которых не превышает 150 см. Какие размеры может иметь коробка, сумма измерений которой 150 см? В каком случае объём этой коробки будет наибольшим?

Какие размеры может иметь коробка, сумма измерений которой 150 см?

Пусть размеры коробки (длина, ширина и высота) — это $a, b$ и $c$. Согласно условию, их сумма должна быть равна 150 см. Это можно записать в виде уравнения:
$a + b + c = 150$
При этом каждое из измерений должно быть положительным числом ($a > 0, b > 0, c > 0$).
Этому условию удовлетворяет бесконечное множество комбинаций размеров. Вот несколько примеров:
- Коробка может быть почти плоской, например, с размерами 100 см, 49 см и 1 см. Их сумма: $100 + 49 + 1 = 150$ см.
- Коробка может быть длинной и узкой, например, 130 см, 10 см и 10 см. Их сумма: $130 + 10 + 10 = 150$ см.
- Размеры могут быть близки друг к другу, например, 60 см, 50 см и 40 см. Их сумма: $60 + 50 + 40 = 150$ см.
Ответ: Коробка может иметь любые три положительных размера, сумма которых составляет 150 см. Например, 70 см, 50 см и 30 см.

В каком случае объём этой коробки будет наибольшим?

Объём коробки вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$. Нам необходимо найти максимальное значение этого произведения при фиксированной сумме $a + b + c = 150$.
Известно, что произведение нескольких положительных чисел при их постоянной сумме достигает максимума, когда эти числа равны. Это следует из неравенства о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши), которое для трёх чисел выглядит так:
$\frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}$
Максимальное значение произведения $abc$ достигается, когда в этом неравенстве выполняется равенство, то есть когда $a = b = c$.
Исходя из этого условия, найдём размеры коробки:
$a + a + a = 150$
$3a = 150$
$a = 150 / 3 = 50$ см.
Таким образом, чтобы объём был наибольшим, все три измерения коробки должны быть равны 50 см. То есть коробка должна иметь форму куба.
Максимальный объём при этом составит:
$V_{max} = 50 \cdot 50 \cdot 50 = 125 000$ см$^3$.
Ответ: Объём этой коробки будет наибольшим в том случае, если она имеет форму куба с размерами 50 см, 50 см и 50 см.