Страница 254 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1156. а) За краски и две кисти заплатили 32 р. 19 к., за краски и кисть — 21 р. 72 к. Сколько стоят краски? Сколько стоит кисть?

б) За две тетради и ручку заплатили 6 р. 66 к., а за тетрадь и две ручки заплатили 9 р. 93 к. Сколько стоит тетрадь? Сколько стоит ручка?

в) За три линейки и угольник заплатили 11 р. 20 к., а за линейку и три угольника заплатили 22 р. 40 к. Сколько стоит линейка? Сколько стоит угольник?

а)

Обозначим стоимость красок как $Кр$, а стоимость одной кисти — $Ки$.

Согласно условию задачи, можно составить систему из двух уравнений:

$Кр + 2 \cdot Ки = 32 \text{ р. } 19 \text{ к.}$

$Кр + Ки = 21 \text{ р. } 72 \text{ к.}$

Для удобства вычислений переведем рубли и копейки в копейки (в 1 рубле 100 копеек):

$32 \text{ р. } 19 \text{ к.} = 3219 \text{ к.}$

$21 \text{ р. } 72 \text{ к.} = 2172 \text{ к.}$

Система уравнений в копейках:

1) $Кр + 2 \cdot Ки = 3219$

2) $Кр + Ки = 2172$

Чтобы найти стоимость одной кисти, вычтем второе уравнение из первого:

$(Кр + 2 \cdot Ки) - (Кр + Ки) = 3219 - 2172$

$Ки = 1047 \text{ к.}$

Стоимость одной кисти составляет $1047$ копеек, или $10$ р. $47$ к.

Теперь найдем стоимость красок, подставив найденную стоимость кисти во второе уравнение:

$Кр + 1047 = 2172$

$Кр = 2172 - 1047$

$Кр = 1125 \text{ к.}$

Стоимость красок составляет $1125$ копеек, или $11$ р. $25$ к.

Ответ: краски стоят 11 р. 25 к., кисть стоит 10 р. 47 к.

б)

Обозначим стоимость одной тетради как $Т$, а стоимость одной ручки — $Р$.

Составим систему уравнений по условию:

1) $2 \cdot Т + Р = 6 \text{ р. } 66 \text{ к.}$

2) $Т + 2 \cdot Р = 9 \text{ р. } 93 \text{ к.}$

Переведем все в копейки:

$6 \text{ р. } 66 \text{ к.} = 666 \text{ к.}$

$9 \text{ р. } 93 \text{ к.} = 993 \text{ к.}$

Система в копейках:

1) $2Т + Р = 666$

2) $Т + 2Р = 993$

Сложим оба уравнения:

$(2Т + Р) + (Т + 2Р) = 666 + 993$

$3Т + 3Р = 1659$

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти суммарную стоимость одной тетради и одной ручки:

$Т + Р = 1659 / 3$

$Т + Р = 553$

Теперь, зная, что $Т + Р = 553$, мы можем найти стоимость ручки из второго уравнения ($Т + 2Р = 993$, что можно записать как $(Т+Р) + Р = 993$):

$553 + Р = 993$

$Р = 993 - 553$

$Р = 440 \text{ к.}$

Стоимость одной ручки — $440$ копеек, или $4$ р. $40$ к.

Подставим стоимость ручки в уравнение $Т + Р = 553$:

$Т + 440 = 553$

$Т = 553 - 440$

$Т = 113 \text{ к.}$

Стоимость одной тетради — $113$ копеек, или $1$ р. $13$ к.

Ответ: тетрадь стоит 1 р. 13 к., ручка стоит 4 р. 40 к.

в)

Обозначим стоимость одной линейки как $Л$, а стоимость одного угольника — $У$.

Составим систему уравнений:

1) $3 \cdot Л + У = 11 \text{ р. } 20 \text{ к.}$

2) $Л + 3 \cdot У = 22 \text{ р. } 40 \text{ к.}$

Переведем все в копейки:

$11 \text{ р. } 20 \text{ к.} = 1120 \text{ к.}$

$22 \text{ р. } 40 \text{ к.} = 2240 \text{ к.}$

Система в копейках:

1) $3Л + У = 1120$

2) $Л + 3У = 2240$

Для решения системы методом исключения умножим первое уравнение на 3:

$3 \cdot (3Л + У) = 3 \cdot 1120$

$9Л + 3У = 3360$

Теперь вычтем второе уравнение ($Л + 3У = 2240$) из полученного нового уравнения:

$(9Л + 3У) - (Л + 3У) = 3360 - 2240$

$8Л = 1120$

$Л = 1120 / 8$

$Л = 140 \text{ к.}$

Стоимость одной линейки — $140$ копеек, или $1$ р. $40$ к.

Подставим стоимость линейки в первое исходное уравнение, чтобы найти стоимость угольника:

$3 \cdot 140 + У = 1120$

$420 + У = 1120$

$У = 1120 - 420$

$У = 700 \text{ к.}$

Стоимость одного угольника — $700$ копеек, или $7$ р.

Ответ: линейка стоит 1 р. 40 к., угольник стоит 7 р.

1157. Три утёнка и четыре гусёнка весят 2 кг 500 г, а четыре утёнка и три гусёнка весят 2 кг 400 г. Сколько весит гусёнок?

Для решения этой задачи обозначим вес одного утёнка переменной $у$, а вес одного гусёнка — переменной $г$. Для удобства вычислений переведем все значения веса в граммы:
2 кг 500 г = $2 \cdot 1000 + 500 = 2500$ г
2 кг 400 г = $2 \cdot 1000 + 400 = 2400$ г

На основе условия составим систему из двух линейных уравнений:
1) $3у + 4г = 2500$ (вес трёх утят и четырёх гусят)
2) $4у + 3г = 2400$ (вес четырёх утят и трёх гусят)

Сложим эти два уравнения. Это позволит нам узнать, сколько весят семь утят и семь гусят вместе:
$(3у + 4г) + (4у + 3г) = 2500 + 2400$
$7у + 7г = 4900$

Теперь мы можем найти суммарный вес одного утёнка и одного гусёнка, разделив обе части получившегося уравнения на 7:
$7(у + г) = 4900$
$у + г = 4900 \div 7$
$у + г = 700$ г

Итак, мы знаем, что один утёнок и один гусёнок вместе весят 700 г. Теперь вернёмся к первому уравнению $3у + 4г = 2500$ и преобразуем его, чтобы использовать полученные данные:
$3у + 3г + г = 2500$
$3(у + г) + г = 2500$

Подставим известное нам значение $у + г = 700$:
$3 \cdot 700 + г = 2500$
$2100 + г = 2500$

Теперь легко найти вес одного гусёнка:
$г = 2500 - 2100$
$г = 400$ г

Ответ: гусёнок весит 400 грамм.

1158.а) Две бригады убрали картофель с площади 12 га за 4 дня. Первая бригада может выполнить эту работу за 6 дней. За сколько дней вторая бригада может выполнить ту же работу?

б) В рукописи 42 страницы. Одна машинистка перепечатает рукопись за 3 ч, а вторая — за 6 ч. За сколько часов машинистки перепечатали бы рукопись при совместной работе?

в) Бак вмещает 600 л воды. Через первый кран его можно заполнить за 10 мин, а через второй — за 15 мин. За сколько минут можно заполнить бак через оба крана?

г) Скорый поезд проезжает расстояние между двумя городами, равное 900 км, за 10 ч, а товарный — за 15 ч. Через сколько часов встретятся поезда, если одновременно выйдут из этих городов навстречу друг другу?

а)

Примем всю работу по уборке картофеля за 1 (одну целую).

1. Определим производительность двух бригад при совместной работе. Так как они убирают всё поле за 4 дня, их совместная производительность составляет $1/4$ часть работы в день.

2. Определим производительность первой бригады. Она может выполнить всю работу за 6 дней, следовательно, её производительность равна $1/6$ части работы в день.

3. Чтобы найти производительность второй бригады, нужно из совместной производительности вычесть производительность первой бригады:
$P_2 = P_{общ} - P_1 = 1/4 - 1/6$
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$P_2 = 3/12 - 2/12 = 1/12$ часть работы в день.

4. Зная производительность второй бригады ($1/12$ работы в день), можем найти время, за которое она выполнит всю работу. Для этого всю работу (1) разделим на производительность второй бригады:
$T_2 = 1 / P_2 = 1 / (1/12) = 12$ дней.

Ответ: второй бригаде потребуется 12 дней, чтобы выполнить эту работу.

б)

Примем всю рукопись за 1 (одну целую).

1. Найдем производительность первой машинистки. Она выполняет всю работу за 3 часа, значит, её производительность — $1/3$ рукописи в час.

2. Найдем производительность второй машинистки. Она выполняет всю работу за 6 часов, значит, её производительность — $1/6$ рукописи в час.

3. Найдем их совместную производительность, сложив производительности каждой:
$P_{общ} = P_1 + P_2 = 1/3 + 1/6$
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$P_{общ} = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2$ рукописи в час.

4. Чтобы найти время, за которое они выполнят работу вместе, разделим всю работу (1) на их совместную производительность:
$T_{общ} = 1 / P_{общ} = 1 / (1/2) = 2$ часа.

Ответ: при совместной работе машинистки перепечатают рукопись за 2 часа.

в)

Примем полный объем бака за 1 (одну целую).

1. Определим скорость заполнения бака через первый кран. Бак заполняется за 10 минут, значит, скорость равна $1/10$ бака в минуту.

2. Определим скорость заполнения через второй кран. Бак заполняется за 15 минут, значит, скорость равна $1/15$ бака в минуту.

3. Найдем общую скорость заполнения бака, если открыть оба крана одновременно, сложив их скорости:
$V_{общ} = V_1 + V_2 = 1/10 + 1/15$
Приведем дроби к общему знаменателю 30:
$V_{общ} = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6$ бака в минуту.

4. Чтобы найти общее время заполнения бака, разделим весь объем (1) на общую скорость:
$T_{общ} = 1 / V_{общ} = 1 / (1/6) = 6$ минут.

Ответ: через оба крана бак можно заполнить за 6 минут.

г)

1. Найдем скорость скорого поезда. Расстояние 900 км он проезжает за 10 часов, его скорость:
$v_1 = S / t_1 = 900 / 10 = 90$ км/ч.

2. Найдем скорость товарного поезда. Расстояние 900 км он проезжает за 15 часов, его скорость:
$v_2 = S / t_2 = 900 / 15 = 60$ км/ч.

3. Поезда движутся навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 90 + 60 = 150$ км/ч.

4. Чтобы найти время, через которое поезда встретятся, нужно разделить общее расстояние на скорость сближения:
$t_{встр} = S / v_{сбл} = 900 / 150 = 6$ часов.

Ответ: поезда встретятся через 6 часов.

1159. a) Токарь может обточить 72 заготовки за 3 ч, а его ученику на выполнение той же работы потребуется в 2 раза больше времени. За сколько часов они обточат 144 такие же заготовки при совместной работе?

б) На первом станке можно отштамповать 480 деталей за 4 ч, а на втором станке на выполнение той же работы потребуется в 3 раза больше времени. За какое время можно отштамповать 960 деталей при совместной работе двух станков?

а)
1. Сначала определим производительность токаря. Производительность – это количество работы, выполненное за единицу времени. Токарь обтачивает 72 заготовки за 3 часа, значит его производительность равна:
$P_{токаря} = \frac{72}{3} = 24$ заготовки в час.
2. Ученику на выполнение той же работы (обточка 72 заготовок) требуется в 2 раза больше времени, чем токарю:
$T_{ученика} = 3 \text{ ч} \times 2 = 6$ часов.
3. Теперь найдем производительность ученика:
$P_{ученика} = \frac{72}{6} = 12$ заготовок в час.
4. При совместной работе их производительности складываются. Найдем общую производительность:
$P_{общая} = P_{токаря} + P_{ученика} = 24 + 12 = 36$ заготовок в час.
5. Чтобы узнать, за сколько часов они вместе обточат 144 заготовки, нужно разделить общее количество заготовок на их общую производительность:
$T_{общее} = \frac{144}{36} = 4$ часа.
Ответ: 4 часа.

б)
1. Определим производительность первого станка. Он штампует 480 деталей за 4 часа:
$P_1 = \frac{480}{4} = 120$ деталей в час.
2. Второму станку на выполнение той же работы (штамповка 480 деталей) требуется в 3 раза больше времени:
$T_2 = 4 \text{ ч} \times 3 = 12$ часов.
3. Найдем производительность второго станка:
$P_2 = \frac{480}{12} = 40$ деталей в час.
4. При совместной работе двух станков их общая производительность будет равна сумме их производительностей:
$P_{общая} = P_1 + P_2 = 120 + 40 = 160$ деталей в час.
5. Чтобы узнать, за какое время они вместе отштампуют 960 деталей, нужно разделить это количество на их общую производительность:
$T_{общее} = \frac{960}{160} = 6$ часов.
Ответ: 6 часов.