Номер 1158, страница 254 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1158.а) Две бригады убрали картофель с площади 12 га за 4 дня. Первая бригада может выполнить эту работу за 6 дней. За сколько дней вторая бригада может выполнить ту же работу?

б) В рукописи 42 страницы. Одна машинистка перепечатает рукопись за 3 ч, а вторая — за 6 ч. За сколько часов машинистки перепечатали бы рукопись при совместной работе?

в) Бак вмещает 600 л воды. Через первый кран его можно заполнить за 10 мин, а через второй — за 15 мин. За сколько минут можно заполнить бак через оба крана?

г) Скорый поезд проезжает расстояние между двумя городами, равное 900 км, за 10 ч, а товарный — за 15 ч. Через сколько часов встретятся поезда, если одновременно выйдут из этих городов навстречу друг другу?

а)

Примем всю работу по уборке картофеля за 1 (одну целую).

1. Определим производительность двух бригад при совместной работе. Так как они убирают всё поле за 4 дня, их совместная производительность составляет $1/4$ часть работы в день.

2. Определим производительность первой бригады. Она может выполнить всю работу за 6 дней, следовательно, её производительность равна $1/6$ части работы в день.

3. Чтобы найти производительность второй бригады, нужно из совместной производительности вычесть производительность первой бригады:
$P_2 = P_{общ} - P_1 = 1/4 - 1/6$
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$P_2 = 3/12 - 2/12 = 1/12$ часть работы в день.

4. Зная производительность второй бригады ($1/12$ работы в день), можем найти время, за которое она выполнит всю работу. Для этого всю работу (1) разделим на производительность второй бригады:
$T_2 = 1 / P_2 = 1 / (1/12) = 12$ дней.

Ответ: второй бригаде потребуется 12 дней, чтобы выполнить эту работу.

б)

Примем всю рукопись за 1 (одну целую).

1. Найдем производительность первой машинистки. Она выполняет всю работу за 3 часа, значит, её производительность — $1/3$ рукописи в час.

2. Найдем производительность второй машинистки. Она выполняет всю работу за 6 часов, значит, её производительность — $1/6$ рукописи в час.

3. Найдем их совместную производительность, сложив производительности каждой:
$P_{общ} = P_1 + P_2 = 1/3 + 1/6$
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$P_{общ} = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2$ рукописи в час.

4. Чтобы найти время, за которое они выполнят работу вместе, разделим всю работу (1) на их совместную производительность:
$T_{общ} = 1 / P_{общ} = 1 / (1/2) = 2$ часа.

Ответ: при совместной работе машинистки перепечатают рукопись за 2 часа.

в)

Примем полный объем бака за 1 (одну целую).

1. Определим скорость заполнения бака через первый кран. Бак заполняется за 10 минут, значит, скорость равна $1/10$ бака в минуту.

2. Определим скорость заполнения через второй кран. Бак заполняется за 15 минут, значит, скорость равна $1/15$ бака в минуту.

3. Найдем общую скорость заполнения бака, если открыть оба крана одновременно, сложив их скорости:
$V_{общ} = V_1 + V_2 = 1/10 + 1/15$
Приведем дроби к общему знаменателю 30:
$V_{общ} = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6$ бака в минуту.

4. Чтобы найти общее время заполнения бака, разделим весь объем (1) на общую скорость:
$T_{общ} = 1 / V_{общ} = 1 / (1/6) = 6$ минут.

Ответ: через оба крана бак можно заполнить за 6 минут.

г)

1. Найдем скорость скорого поезда. Расстояние 900 км он проезжает за 10 часов, его скорость:
$v_1 = S / t_1 = 900 / 10 = 90$ км/ч.

2. Найдем скорость товарного поезда. Расстояние 900 км он проезжает за 15 часов, его скорость:
$v_2 = S / t_2 = 900 / 15 = 60$ км/ч.

3. Поезда движутся навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 90 + 60 = 150$ км/ч.

4. Чтобы найти время, через которое поезда встретятся, нужно разделить общее расстояние на скорость сближения:
$t_{встр} = S / v_{сбл} = 900 / 150 = 6$ часов.

Ответ: поезда встретятся через 6 часов.