Номер 1155, страница 253 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1155. a) На двух полках стояло 12 книг. Когда с первой полки на вторую переставили столько книг, сколько до этого стояло на второй полке, то книг на полках стало поровну. Определите, сколько книг первоначально стояло на первой полке и сколько — на второй.

б) У Светы и Наташи вместе было 8 яблок. Света дала Наташе столько яблок, сколько было у Наташи. Потом Наташа дала Свете столько яблок, сколько осталось у Светы. После этого у девочек яблок стало поровну. Сколько яблок первоначально было у каждой девочки?

в) Трое мальчиков имеют. по некоторому количеству яблок. Первый мальчик даёт другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй мальчик даёт двум другим столько яблок, сколько каждый из них имеет; наконец, третий даёт каждому из двух столько яблок, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у мальчиков оказалось по 8 яблок. Сколько яблок было вначале у каждого мальчика?

а)

Пусть $x$ — количество книг, первоначально стоявших на первой полке, а $y$ — количество книг на второй полке.
По условию, всего на двух полках было 12 книг, значит, можно составить первое уравнение:
$x + y = 12$
Когда с первой полки на вторую переставили столько книг, сколько до этого стояло на второй полке (то есть $y$ книг), то на первой полке стало $x - y$ книг, а на второй — $y + y = 2y$ книг.
После этого книг на полках стало поровну. Составим второе уравнение:
$x - y = 2y$
Из второго уравнения выразим $x$:
$x = 3y$
Теперь подставим это выражение в первое уравнение:
$3y + y = 12$
$4y = 12$
$y = 12 / 4$
$y = 3$
Мы нашли, что на второй полке первоначально было 3 книги. Теперь найдем, сколько книг было на первой полке:
$x = 3y = 3 \cdot 3 = 9$
Проверим: на первой полке 9 книг, на второй 3. Всего $9 + 3 = 12$. С первой полки на вторую переставили 3 книги. На первой осталось $9 - 3 = 6$ книг. На второй стало $3 + 3 = 6$ книг. Количество книг стало равным. Условия задачи выполнены.

Ответ: первоначально на первой полке стояло 9 книг, а на второй — 3 книги.

б)

Эту задачу удобнее решать с конца.
Всего у девочек было 8 яблок. В конце у них стало яблок поровну, значит, у каждой стало по $8 / 2 = 4$ яблока.

1. Рассматриваем последнее действие: Наташа дала Свете столько яблок, сколько осталось у Светы. После этого у Светы стало 4 яблока. Это значит, что количество яблок у Светы удвоилось. Следовательно, до этого действия у Светы было $4 / 2 = 2$ яблока. У Наташи было $8 - 2 = 6$ яблок. (Проверка: у Светы 2 яблока, у Наташи 6. Наташа дает Свете 2 яблока. У Светы становится $2 + 2 = 4$, у Наташи $6 - 2 = 4$. Все верно).

2. Рассматриваем первое действие: Света дала Наташе столько яблок, сколько было у Наташи. После этого у Наташи стало 6 яблок. Это значит, что количество яблок у Наташи удвоилось. Следовательно, в самом начале у Наташи было $6 / 2 = 3$ яблока. Тогда у Светы вначале было $8 - 3 = 5$ яблок.

Проверим весь процесс с самого начала.
Изначально: у Светы 5 яблок, у Наташи 3.
Шаг 1: Света дает Наташе 3 яблока. У Светы остается $5 - 3 = 2$ яблока, у Наташи становится $3 + 3 = 6$ яблок.
Шаг 2: Наташа дает Свете 2 яблока. У Наташи остается $6 - 2 = 4$ яблока, у Светы становится $2 + 2 = 4$ яблока.
Условия задачи выполнены.

Ответ: первоначально у Светы было 5 яблок, а у Наташи — 3 яблока.

в)

Эту задачу также решаем с конца.
В конце у троих мальчиков оказалось по 8 яблок. Это значит, что общее количество яблок было $3 \cdot 8 = 24$. Это количество не менялось.

1. Последнее действие: третий мальчик дает первому и второму столько яблок, сколько у них есть в этот момент.
После этого у первого и второго стало по 8 яблок. Значит, их количество яблок удвоилось.
Следовательно, до этого действия у первого мальчика было $8 / 2 = 4$ яблока, а у второго — $8 / 2 = 4$ яблока.
Третий мальчик отдал им $4 + 4 = 8$ яблок. Значит, у него было $8 + 8 = 16$ яблок.
Итак, перед последним действием у мальчиков было: 4, 4 и 16 яблок. (Сумма $4+4+16=24$, все верно).

2. Предпоследнее действие: второй мальчик дает первому и третьему столько яблок, сколько у них есть.
После этого у них стало 4 и 16 яблок соответственно. Значит, их количество яблок удвоилось.
Следовательно, до этого действия у первого мальчика было $4 / 2 = 2$ яблока, а у третьего — $16 / 2 = 8$ яблок.
Второй мальчик отдал им $2 + 8 = 10$ яблок. Значит, у него было $4 + 10 = 14$ яблок.
Итак, перед вторым действием у мальчиков было: 2, 14 и 8 яблок. (Сумма $2+14+8=24$, все верно).

3. Первое действие: первый мальчик дает второму и третьему столько яблок, сколько у них есть (изначально).
После этого у них стало 14 и 8 яблок соответственно. Значит, их количество яблок удвоилось.
Следовательно, в самом начале у второго мальчика было $14 / 2 = 7$ яблок, а у третьего — $8 / 2 = 4$ яблока.
Первый мальчик отдал им $7 + 4 = 11$ яблок. Значит, у него вначале было $2 + 11 = 13$ яблок.
Итак, первоначальное количество яблок у мальчиков было: 13, 7 и 4.

Ответ: вначале у первого мальчика было 13 яблок, у второго — 7 яблок, а у третьего — 4 яблока.