Номер 1161, страница 255 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1161. a) Четверо купцов имеют некоторую сумму денег. Известно, что, сложившись без первого, они соберут $90 \text{ р.}$; сложившись без второго, — $85 \text{ р.}$; сложившись без третьего, — $80 \text{ р.}$; сложившись без четвёртого, — $75 \text{ р.}$. Сколько у кого денег?

б) Отец имеет семь сыновей. Сумма возрастов первого и четвёртого сына равна $9 \text{ годам}$, первого и шестого — $8 \text{ годам}$, второго и пятого — $8 \text{ годам}$, второго и третьего — $9 \text{ годам}$, третьего и шестого — $6 \text{ годам}$, четвёртого и седьмого — $4 \text{ годам}$, а седьмого и пятого — также $4 \text{ годам}$. Сколько лет каждому? (Возраст каждого из сыновей выражается натуральным числом.)

1160.

Обозначим вес Алёши как А, вес Бори как Б и вес Вовы как В.
Согласно условию задачи, мы имеем систему из трёх уравнений:
1) $А + Б = 82$ кг
2) $А + В = 83$ кг
3) $Б + В = 85$ кг
Чтобы найти общий вес Алёши, Бори и Вовы ($А + Б + В$), сложим все три уравнения:
$(А + Б) + (А + В) + (Б + В) = 82 + 83 + 85$
$2А + 2Б + 2В = 250$
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$2(А + Б + В) = 250$
Теперь разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти суммарный вес:
$А + Б + В = 250 / 2$
$А + Б + В = 125$ кг

Ответ: Вместе Алёша, Боря и Вова весят 125 кг.

1161.

а)

Пусть у первого, второго, третьего и четвертого купцов было $k_1, k_2, k_3$ и $k_4$ рублей соответственно. Обозначим общую сумму денег всех купцов как $S = k_1 + k_2 + k_3 + k_4$.
Из условия задачи мы можем составить систему уравнений:
1) Сумма без первого купца: $k_2 + k_3 + k_4 = 90$, что эквивалентно $S - k_1 = 90$.
2) Сумма без второго купца: $k_1 + k_3 + k_4 = 85$, что эквивалентно $S - k_2 = 85$.
3) Сумма без третьего купца: $k_1 + k_2 + k_4 = 80$, что эквивалентно $S - k_3 = 80$.
4) Сумма без четвертого купца: $k_1 + k_2 + k_3 = 75$, что эквивалентно $S - k_4 = 75$.
Сложим первые четыре уравнения (сумма денег троих купцов):
$(k_2 + k_3 + k_4) + (k_1 + k_3 + k_4) + (k_1 + k_2 + k_4) + (k_1 + k_2 + k_3) = 90 + 85 + 80 + 75$
В левой части уравнения деньги каждого купца посчитаны трижды:
$3k_1 + 3k_2 + 3k_3 + 3k_4 = 330$
$3(k_1 + k_2 + k_3 + k_4) = 330$
$3S = 330$
Найдем общую сумму денег $S$:
$S = 330 / 3 = 110$ рублей.
Теперь, зная общую сумму, мы можем найти, сколько денег у каждого купца:
$k_1 = S - 90 = 110 - 90 = 20$ рублей.
$k_2 = S - 85 = 110 - 85 = 25$ рублей.
$k_3 = S - 80 = 110 - 80 = 30$ рублей.
$k_4 = S - 75 = 110 - 75 = 35$ рублей.

Ответ: У первого купца 20 р., у второго — 25 р., у третьего — 30 р., у четвертого — 35 р.

б)

Обозначим возраст семерых сыновей как $c_1, c_2, c_3, c_4, c_5, c_6, c_7$. Возраст каждого сына — натуральное число.
Составим систему уравнений на основе условий задачи:
1) $c_1 + c_4 = 9$
2) $c_1 + c_6 = 8$
3) $c_2 + c_5 = 8$
4) $c_2 + c_3 = 9$
5) $c_3 + c_6 = 6$
6) $c_4 + c_7 = 4$
7) $c_7 + c_5 = 4$
Из уравнений (6) и (7) мы видим, что $c_4 + c_7 = c_7 + c_5$. Отсюда следует, что $c_4 = c_5$.
Поскольку возраст — натуральное число, из уравнения (6) $c_4 + c_7 = 4$ возможны следующие пары значений для $(c_4, c_7)$: (1, 3), (2, 2), (3, 1).
Рассмотрим каждый случай:
Случай 1: Пусть $c_4 = 3$. Тогда из (6) $c_7 = 1$. Так как $c_4=c_5$, то $c_5=3$.
Теперь последовательно находим остальные возрасты:
Из (1): $c_1 + c_4 = 9 \implies c_1 + 3 = 9 \implies c_1 = 6$.
Из (2): $c_1 + c_6 = 8 \implies 6 + c_6 = 8 \implies c_6 = 2$.
Из (3): $c_2 + c_5 = 8 \implies c_2 + 3 = 8 \implies c_2 = 5$.
Из (4): $c_2 + c_3 = 9 \implies 5 + c_3 = 9 \implies c_3 = 4$.
Проверим, выполняется ли последнее уравнение (5): $c_3 + c_6 = 4 + 2 = 6$. Условие выполняется.
Таким образом, мы нашли решение: $c_1=6, c_2=5, c_3=4, c_4=3, c_5=3, c_6=2, c_7=1$. Все числа натуральные.
Случай 2: Пусть $c_4 = 2$. Тогда из (6) $c_7 = 2$. Так как $c_4=c_5$, то $c_5=2$.
Из (1): $c_1 + 2 = 9 \implies c_1 = 7$.
Из (2): $7 + c_6 = 8 \implies c_6 = 1$.
Из (3): $c_2 + 2 = 8 \implies c_2 = 6$.
Из (4): $6 + c_3 = 9 \implies c_3 = 3$.
Проверка по уравнению (5): $c_3 + c_6 = 3 + 1 = 4$. Это не равно 6, поэтому данное решение неверно.
Случай 3: Пусть $c_4 = 1$. Тогда из (6) $c_7 = 3$. Так как $c_4=c_5$, то $c_5=1$.
Из (1): $c_1 + 1 = 9 \implies c_1 = 8$.
Из (2): $8 + c_6 = 8 \implies c_6 = 0$. 0 не является натуральным числом, поэтому это решение не подходит.
Единственное верное решение — то, что было найдено в первом случае.

Ответ: Первому сыну 6 лет, второму — 5 лет, третьему — 4 года, четвёртому — 3 года, пятому — 3 года, шестому — 2 года, седьмому — 1 год.