Страница 255 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1160. Алёша и Боря вместе весят 82 кг,

Алёша и Вова весят • 83 кг, Боря

и Вова весят 85 кг. Сколько весят

вместе Алёша, Боря и Вова?

Для решения задачи введем переменные, обозначающие вес каждого из мальчиков:
Пусть $А$ — вес Алёши в кг.
Пусть $Б$ — вес Бори в кг.
Пусть $В$ — вес Вовы в кг.

Согласно условию задачи, можно составить систему из трех уравнений:
1. Алёша и Боря вместе весят 82 кг: $А + Б = 82$
2. Алёша и Вова вместе весят 83 кг: $А + В = 83$
3. Боря и Вова вместе весят 85 кг: $Б + В = 85$

Чтобы найти общий вес трёх мальчиков ($А + Б + В$), нужно сложить все три уравнения.

Сложим левые и правые части уравнений:
$(А + Б) + (А + В) + (Б + В) = 82 + 83 + 85$

Сгруппируем одинаковые переменные в левой части. Мы видим, что вес каждого мальчика учтён дважды:
$2А + 2Б + 2В = 250$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$2 \times (А + Б + В) = 250$

Теперь, чтобы найти суммарный вес мальчиков ($А + Б + В$), разделим обе части уравнения на 2:
$А + Б + В = \frac{250}{2}$
$А + Б + В = 125$

Таким образом, общий вес Алёши, Бори и Вовы составляет 125 кг.

Ответ: 125 кг.

1161. a) Четверо купцов имеют некоторую сумму денег. Известно, что, сложившись без первого, они соберут $90 \text{ р.}$; сложившись без второго, — $85 \text{ р.}$; сложившись без третьего, — $80 \text{ р.}$; сложившись без четвёртого, — $75 \text{ р.}$. Сколько у кого денег?

б) Отец имеет семь сыновей. Сумма возрастов первого и четвёртого сына равна $9 \text{ годам}$, первого и шестого — $8 \text{ годам}$, второго и пятого — $8 \text{ годам}$, второго и третьего — $9 \text{ годам}$, третьего и шестого — $6 \text{ годам}$, четвёртого и седьмого — $4 \text{ годам}$, а седьмого и пятого — также $4 \text{ годам}$. Сколько лет каждому? (Возраст каждого из сыновей выражается натуральным числом.)

1160.

Обозначим вес Алёши как А, вес Бори как Б и вес Вовы как В.
Согласно условию задачи, мы имеем систему из трёх уравнений:
1) $А + Б = 82$ кг
2) $А + В = 83$ кг
3) $Б + В = 85$ кг
Чтобы найти общий вес Алёши, Бори и Вовы ($А + Б + В$), сложим все три уравнения:
$(А + Б) + (А + В) + (Б + В) = 82 + 83 + 85$
$2А + 2Б + 2В = 250$
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$2(А + Б + В) = 250$
Теперь разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти суммарный вес:
$А + Б + В = 250 / 2$
$А + Б + В = 125$ кг

Ответ: Вместе Алёша, Боря и Вова весят 125 кг.

1161.

а)

Пусть у первого, второго, третьего и четвертого купцов было $k_1, k_2, k_3$ и $k_4$ рублей соответственно. Обозначим общую сумму денег всех купцов как $S = k_1 + k_2 + k_3 + k_4$.
Из условия задачи мы можем составить систему уравнений:
1) Сумма без первого купца: $k_2 + k_3 + k_4 = 90$, что эквивалентно $S - k_1 = 90$.
2) Сумма без второго купца: $k_1 + k_3 + k_4 = 85$, что эквивалентно $S - k_2 = 85$.
3) Сумма без третьего купца: $k_1 + k_2 + k_4 = 80$, что эквивалентно $S - k_3 = 80$.
4) Сумма без четвертого купца: $k_1 + k_2 + k_3 = 75$, что эквивалентно $S - k_4 = 75$.
Сложим первые четыре уравнения (сумма денег троих купцов):
$(k_2 + k_3 + k_4) + (k_1 + k_3 + k_4) + (k_1 + k_2 + k_4) + (k_1 + k_2 + k_3) = 90 + 85 + 80 + 75$
В левой части уравнения деньги каждого купца посчитаны трижды:
$3k_1 + 3k_2 + 3k_3 + 3k_4 = 330$
$3(k_1 + k_2 + k_3 + k_4) = 330$
$3S = 330$
Найдем общую сумму денег $S$:
$S = 330 / 3 = 110$ рублей.
Теперь, зная общую сумму, мы можем найти, сколько денег у каждого купца:
$k_1 = S - 90 = 110 - 90 = 20$ рублей.
$k_2 = S - 85 = 110 - 85 = 25$ рублей.
$k_3 = S - 80 = 110 - 80 = 30$ рублей.
$k_4 = S - 75 = 110 - 75 = 35$ рублей.

Ответ: У первого купца 20 р., у второго — 25 р., у третьего — 30 р., у четвертого — 35 р.

б)

Обозначим возраст семерых сыновей как $c_1, c_2, c_3, c_4, c_5, c_6, c_7$. Возраст каждого сына — натуральное число.
Составим систему уравнений на основе условий задачи:
1) $c_1 + c_4 = 9$
2) $c_1 + c_6 = 8$
3) $c_2 + c_5 = 8$
4) $c_2 + c_3 = 9$
5) $c_3 + c_6 = 6$
6) $c_4 + c_7 = 4$
7) $c_7 + c_5 = 4$
Из уравнений (6) и (7) мы видим, что $c_4 + c_7 = c_7 + c_5$. Отсюда следует, что $c_4 = c_5$.
Поскольку возраст — натуральное число, из уравнения (6) $c_4 + c_7 = 4$ возможны следующие пары значений для $(c_4, c_7)$: (1, 3), (2, 2), (3, 1).
Рассмотрим каждый случай:
Случай 1: Пусть $c_4 = 3$. Тогда из (6) $c_7 = 1$. Так как $c_4=c_5$, то $c_5=3$.
Теперь последовательно находим остальные возрасты:
Из (1): $c_1 + c_4 = 9 \implies c_1 + 3 = 9 \implies c_1 = 6$.
Из (2): $c_1 + c_6 = 8 \implies 6 + c_6 = 8 \implies c_6 = 2$.
Из (3): $c_2 + c_5 = 8 \implies c_2 + 3 = 8 \implies c_2 = 5$.
Из (4): $c_2 + c_3 = 9 \implies 5 + c_3 = 9 \implies c_3 = 4$.
Проверим, выполняется ли последнее уравнение (5): $c_3 + c_6 = 4 + 2 = 6$. Условие выполняется.
Таким образом, мы нашли решение: $c_1=6, c_2=5, c_3=4, c_4=3, c_5=3, c_6=2, c_7=1$. Все числа натуральные.
Случай 2: Пусть $c_4 = 2$. Тогда из (6) $c_7 = 2$. Так как $c_4=c_5$, то $c_5=2$.
Из (1): $c_1 + 2 = 9 \implies c_1 = 7$.
Из (2): $7 + c_6 = 8 \implies c_6 = 1$.
Из (3): $c_2 + 2 = 8 \implies c_2 = 6$.
Из (4): $6 + c_3 = 9 \implies c_3 = 3$.
Проверка по уравнению (5): $c_3 + c_6 = 3 + 1 = 4$. Это не равно 6, поэтому данное решение неверно.
Случай 3: Пусть $c_4 = 1$. Тогда из (6) $c_7 = 3$. Так как $c_4=c_5$, то $c_5=1$.
Из (1): $c_1 + 1 = 9 \implies c_1 = 8$.
Из (2): $8 + c_6 = 8 \implies c_6 = 0$. 0 не является натуральным числом, поэтому это решение не подходит.
Единственное верное решение — то, что было найдено в первом случае.

Ответ: Первому сыну 6 лет, второму — 5 лет, третьему — 4 года, четвёртому — 3 года, пятому — 3 года, шестому — 2 года, седьмому — 1 год.

натуральным молоком)

1162. Спортсмен плыл против течения реки. Проплывая под мостом, он потерял флягу. Через 10 мин пловец заметил пропажу и повернул обратно. Он догнал флягу у второго моста. Найдите скорость течения реки, если известно, что расстояние между мостами 1 км.

Для решения этой задачи удобно перейти в систему отсчета, связанную с водой. В этой системе отсчета вода и фляга, плывущая по течению, неподвижны. Началом отсчета будем считать место и время потери фляги.

1. Спортсмен плыл против течения, то есть удалялся от неподвижной в этой системе отсчета фляги. Его скорость относительно воды (и фляги) равна его собственной скорости $v_с$. Он удалялся от фляги в течение времени $t_1 = 10$ минут.

2. Когда спортсмен заметил пропажу, он развернулся и поплыл обратно к фляге. Его скорость относительно воды (и фляги) снова была равна его собственной скорости $v_с$.

3. Поскольку скорость удаления от фляги и скорость приближения к ней одинаковы, а расстояние, которое он проплыл "от" фляги и "к" фляге (в этой системе отсчета), равно, то и время, затраченное на обратный путь ($t_2$), будет равно времени удаления ($t_1$). Таким образом, $t_2 = t_1 = 10$ минут.

4. Общее время, прошедшее с момента потери фляги у первого моста до момента, когда пловец ее догнал у второго моста, составляет:

$T = t_1 + t_2 = 10 \text{ мин} + 10 \text{ мин} = 20$ минут.

5. Теперь вернемся в неподвижную систему отсчета, связанную с берегом. За все это время $T$ фляга, двигаясь со скоростью течения реки $v_т$, проплыла расстояние от первого моста до второго. По условию это расстояние $S = 1$ км.

6. Зная расстояние и время движения фляги, можно найти ее скорость, которая равна скорости течения реки. Для этого воспользуемся формулой $S = v_т \cdot T$. Предварительно переведем время в часы:

$T = 20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3}$ ч.

Теперь найдем скорость течения:

$v_т = \frac{S}{T} = \frac{1 \text{ км}}{1/3 \text{ ч}} = 3$ км/ч.

Ответ: 3 км/ч.

1163. Три соседки готовили обед на общей плите в коммунальной квартире. Первая принесла 10 поленьев, вторая — 8 поленьев, а у третьей дров не было — она угостила своих соседок, дав им 9 яблок. Как соседки должны поделить яблоки по справедливости?

Чтобы справедливо разделить яблоки, нужно определить, какой вклад сверх своей доли внесла каждая из первых двух соседок, и разделить яблоки пропорционально этому вкладу.

1. Найдём общее количество поленьев.
Первая соседка принесла 10 поленьев, вторая — 8. Всего они принесли:
$10 + 8 = 18$ поленьев.

2. Рассчитаем, сколько поленьев должна была принести каждая соседка.
Так как обедали три соседки, они должны были разделить расходы на дрова поровну. Справедливый вклад каждой из них составляет:
$18 \text{ поленьев} \div 3 \text{ человека} = 6$ поленьев.

3. Определим, кто и сколько поленьев внёс сверх нормы.
Именно этот излишек и был использован третьей соседкой.
Первая соседка принесла на $10 - 6 = 4$ полена больше своей нормы.
Вторая соседка принесла на $8 - 6 = 2$ полена больше своей нормы.
Третья соседка не принесла дров, но использовала свою долю в 6 поленьев, которые были предоставлены ей первой и второй соседками ($4 + 2 = 6$).

4. Распределим яблоки пропорционально вкладу.
9 яблок являются платой за 6 поленьев, которые третья соседка получила от двух других. Яблоки нужно разделить между первой и второй соседкой в том же соотношении, в котором они предоставили поленья сверх своей нормы, то есть в отношении $4:2$.
Это соотношение можно упростить до $2:1$. Это означает, что первая соседка должна получить в два раза больше яблок, чем вторая.
Всего есть $2 + 1 = 3$ части.
Найдём, сколько яблок приходится на одну часть:
$9 \text{ яблок} \div 3 \text{ части} = 3$ яблока.
Теперь рассчитаем долю каждой соседки:
Первая соседка (2 части): $2 \times 3 = 6$ яблок.
Вторая соседка (1 часть): $1 \times 3 = 3$ яблока.

Ответ: первая соседка должна получить 6 яблок, а вторая — 3 яблока.

1164. На солнышке грелись кошка и несколько котят. У всех у них лап на 24 больше, чем хвостов. Сколько котят было у кошки?

Для решения этой задачи сначала определим, на сколько количество лап превышает количество хвостов у одного животного. Каждая кошка и каждый котенок имеет 4 лапы и 1 хвост.

Разница между количеством лап и хвостов у одного животного составляет:
$4 \text{ лапы} - 1 \text{ хвост} = 3$
Это означает, что у каждого животного на 3 лапы больше, чем хвостов.

Из условия мы знаем, что общая разница между количеством всех лап и всех хвостов составляет 24. Чтобы найти общее количество животных, нужно общую разницу разделить на разницу, приходящуюся на одно животное:
$\text{Всего животных} = \frac{24}{3} = 8$
Следовательно, на солнышке грелись всего 8 животных.

В группе животных была одна кошка, а остальные — котята. Найдем количество котят, вычтя кошку из общего числа животных:
$\text{Количество котят} = 8 - 1 = 7$

Ответ: 7.

1165. Несколько торговцев продавали бананы по $24$ р. за $1$ кг, а один — по $21$ р. $60$ к. за $1$ кг. Когда контролёры проверили его весы, то оказалось, что при весе $800$ г они показывали ровно $1$ кг. По какой цене на самом деле продавал бананы этот торговец?

Для того чтобы найти реальную цену за 1 килограмм бананов, нам нужно определить, сколько на самом деле весил товар, за который покупатель платил заявленную цену.

Заявленная цена торговца составляла 21 рубль 60 копеек за 1 кг. Переведем эту цену в рубли для удобства расчетов: $21 \text{ р. } 60 \text{ к.} = 21,6 \text{ рубля}$.

По этой цене покупатель приобретал товар, который, по показаниям весов, весил 1 кг. Однако фактический вес этого товара составлял всего 800 г. Таким образом, покупатель платил 21,6 рубля за 800 граммов бананов.

Теперь рассчитаем, сколько стоил бы 1 кг (1000 г) бананов при такой цене. Для этого можно составить пропорцию:
800 г бананов стоят 21,6 рубля.
1000 г бананов стоят $x$ рублей.

Из пропорции получаем уравнение:
$x = \frac{1000 \cdot 21,6}{800}$

Выполним вычисления:
$x = \frac{21600}{800} = \frac{216}{8} = 27$

Следовательно, реальная цена, по которой торговец продавал бананы, составляла 27 рублей за 1 кг.

Ответ: 27 рублей за 1 кг.

1166. Из двух городов, расстояние между которыми 400 км, одновременно навстречу друг другу выехали два мотоциклиста. Определите их скорости, если известно, что они встретились через 4 ч и что скорость одного из них на 10 км/ч больше скорости другого.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ км/ч — скорость одного мотоциклиста. Тогда, согласно условию, скорость второго мотоциклиста будет $(x + 10)$ км/ч.

Мотоциклисты движутся навстречу друг другу. Скорость их сближения равна сумме их скоростей:

$v_{сбл} = x + (x + 10) = 2x + 10$ (км/ч)

Известно, что они встретились через 4 часа, преодолев общее расстояние в 400 км. Воспользуемся формулой расстояния $S = v \cdot t$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время.

Составим уравнение:

$(2x + 10) \cdot 4 = 400$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:

$8x + 40 = 400$

$8x = 400 - 40$

$8x = 360$

$x = \frac{360}{8}$

$x = 45$

Таким образом, скорость одного мотоциклиста равна 45 км/ч.

Теперь найдем скорость второго мотоциклиста:

$x + 10 = 45 + 10 = 55$ (км/ч)

Проверим: за 4 часа первый мотоциклист проехал $45 \cdot 4 = 180$ км, а второй — $55 \cdot 4 = 220$ км. Вместе они проехали $180 + 220 = 400$ км, что равно расстоянию между городами.

Ответ: скорость одного мотоциклиста 45 км/ч, а другого — 55 км/ч.