Страница 252 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1144. a) Если выдать учащимся по 2 тетради, то 19 тетрадей останутся лишними. А если выдать по 3 тетради; шести тетрадей не хватит. Сколько учащихся? Сколько тетрадей?

б) В актовый зал школы привезли стулья. Если их расставить по 25 штук в ряд, то четырёх стульев не хватит. Если же их расставить по 24 стула в ряд, то двенадцать стульев останется. Сколько стульев?

Для решения задачи введем две переменные. Пусть $x$ – это количество учащихся, а $y$ – общее количество тетрадей.

Исходя из первого условия, если каждому из $x$ учащихся выдать по 2 тетради, то останется еще 19 тетрадей. Это можно записать в виде математического уравнения:
$y = 2x + 19$

Исходя из второго условия, если каждому из $x$ учащихся выдать по 3 тетради, то для этого не хватит 6 тетрадей. Это можно записать в виде второго уравнения:
$y = 3x - 6$

Мы получили систему из двух линейных уравнений. Поскольку левые части обоих уравнений равны (обе равны $y$), мы можем приравнять их правые части, чтобы найти $x$:
$2x + 19 = 3x - 6$

Теперь решим полученное уравнение:
$19 + 6 = 3x - 2x$
$25 = x$

Таким образом, количество учащихся равно 25.

Чтобы найти общее количество тетрадей, подставим значение $x = 25$ в любое из первоначальных уравнений. Воспользуемся первым:
$y = 2 \cdot 25 + 19 = 50 + 19 = 69$

Для проверки можно подставить $x$ и во второе уравнение:
$y = 3 \cdot 25 - 6 = 75 - 6 = 69$

Результаты совпали, следовательно, всего было 69 тетрадей.

Ответ: 25 учащихся, 69 тетрадей.

Пусть $r$ – это количество рядов, на которые расставляют стулья, а $c$ – общее количество стульев.

Согласно первому условию, если расставлять стулья по 25 штук в $r$ рядов, то четырёх стульев не хватит. Это значит, что общее количество стульев $c$ на 4 меньше, чем $25r$. Составим уравнение:
$c = 25r - 4$

Согласно второму условию, если расставлять стулья по 24 штуки в те же $r$ рядов, то 12 стульев останется. Это значит, что общее количество стульев $c$ на 12 больше, чем $24r$. Составим второе уравнение:
$c = 24r + 12$

Теперь у нас есть система уравнений. Приравняем правые части, чтобы найти количество рядов $r$:
$25r - 4 = 24r + 12$

Решим это уравнение:
$25r - 24r = 12 + 4$
$r = 16$

Итак, в зале 16 рядов.

Теперь, зная количество рядов, найдем общее количество стульев $c$, подставив $r = 16$ в любое из уравнений. Используем второе:
$c = 24 \cdot 16 + 12 = 384 + 12 = 396$

Проверим результат, подставив $r = 16$ в первое уравнение:
$c = 25 \cdot 16 - 4 = 400 - 4 = 396$

Оба уравнения дают одинаковый результат.

Ответ: 396 стульев.

1145. Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у него было на восемь динаров больше, то он мог бы дать каждому по три, но он раздаёт лишь по два, и у него ещё остаётся три. Сколько бедных?

Для решения этой задачи введем переменные:

Пусть $x$ — количество бедных.

Пусть $D$ — имеющаяся сумма денег (в динарах).

Основываясь на условиях задачи, составим два уравнения.

Первое условие: «Если бы у него было на восемь динаров больше, то он мог бы дать каждому по три».

Это означает, что сумма $D+8$ делится на $x$ без остатка, и частное равно 3. Математически это выражается так:

$D + 8 = 3x$

Второе условие: «он раздаёт лишь по два, и у него ещё остаётся три».

Это означает, что если раздать по 2 динара $x$ бедным, то потратится $2x$ динаров, и останется еще 3. Математически это выражается так:

$D = 2x + 3$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$$ \begin{cases} D + 8 = 3x \\ D = 2x + 3 \end{cases}$$

Для решения системы подставим выражение для $D$ из второго уравнения в первое:

$(2x + 3) + 8 = 3x$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:

$2x + 11 = 3x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону:

$3x - 2x = 11$

$x = 11$

Таким образом, количество бедных составляет 11 человек.

Проверка:

Найдем, сколько денег было у человека, используя второе уравнение: $D = 2 \cdot 11 + 3 = 22 + 3 = 25$ динаров.

Проверим первое условие: если бы у него было на 8 динаров больше, то есть $25 + 8 = 33$ динара, то он мог бы раздать каждому из 11 бедных по $33 \div 11 = 3$ динара. Условие выполняется.

Проверим второе условие: он раздает каждому из 11 бедных по 2 динара, на что тратит $11 \cdot 2 = 22$ динара. У него остается $25 - 22 = 3$ динара. Это условие также выполняется.

Решение найдено верно.

Ответ: 11 бедных.

ещё остаётся три. Сколько бедных?

1146. а) Для детского сада купили 20 пирамид: больших и маленьких — по 7 и по 5 колец (рис. 180). У всех пирамид 128 колец. Сколько больших пирамид?

б) В детском саду 20 велосипедов — трёхколёсных и двухколёсных. У всех велосипедов 55 колёс. Сколько двухколёсных велосипедов в детском саду?

Рис. 180

а)

Эту задачу можно решить методом предположения.

1. Представим, что все 20 купленных пирамид были маленькими (по 5 колец). Тогда общее количество колец составило бы:
$20 \times 5 = 100$ (колец)

2. По условию, общее количество колец равно 128. Сравним это число с нашим предположением:
$128 - 100 = 28$ (колец)

3. Полученная разница в 28 колец объясняется тем, что часть пирамид были большими. Каждая большая пирамида содержит на $7 - 5 = 2$ кольца больше, чем маленькая.

4. Чтобы определить количество больших пирамид, разделим общую разницу в кольцах на разницу в количестве колец между одной большой и одной маленькой пирамидой:
$28 \div 2 = 14$ (пирамид)

Таким образом, было 14 больших пирамид.

Проверим решение. Если больших пирамид 14, то маленьких: $20 - 14 = 6$.
Общее число колец: $(14 \times 7) + (6 \times 5) = 98 + 30 = 128$.
Расчёт верен.

Ответ: 14 больших пирамид.

б)

Эту задачу также удобно решить методом предположения.

1. Предположим, что все 20 велосипедов были трёхколёсными. Тогда общее число колёс было бы:
$20 \times 3 = 60$ (колёс)

2. Согласно условию, у всех велосипедов 55 колёс. Это на $60 - 55 = 5$ колёс меньше, чем в нашем предположении.

3. Эта разница возникла из-за того, что среди велосипедов были и двухколёсные. У каждого двухколёсного велосипеда на $3 - 2 = 1$ колесо меньше, чем у трёхколёсного.

4. Чтобы найти количество двухколёсных велосипедов, разделим общую разницу в количестве колёс на разницу в колёсах между одним трёхколёсным и одним двухколёсным велосипедом:
$5 \div 1 = 5$ (велосипедов)

Следовательно, в детском саду 5 двухколёсных велосипедов.

Проверим решение. Если двухколёсных велосипедов 5, то трёхколёсных: $20 - 5 = 15$.
Общее число колёс: $(5 \times 2) + (15 \times 3) = 10 + 45 = 55$.
Расчёт верен.

Ответ: 5 двухколёсных велосипедов.

1147. Вася посчитал, что если каждая девочка посадит по 3 дерева, а каждый мальчик — по 5 деревьев, то все 30 учащихся класса посадят 122 дерева. Сколько в классе мальчиков?

Для решения задачи можно использовать систему уравнений. Обозначим количество мальчиков в классе как $x$, а количество девочек — как $y$.

Исходя из условия, что всего в классе 30 учащихся, можно составить первое уравнение:

$x + y = 30$

Каждый мальчик посадил 5 деревьев, а каждая девочка — 3 дерева. Всего было посажено 122 дерева. Это позволяет нам составить второе уравнение:

$5x + 3y = 122$

Теперь решим получившуюся систему уравнений:

$\begin{cases}x + y = 30 \\5x + 3y = 122\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 30 - x$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$5x + 3(30 - x) = 122$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$5x + 90 - 3x = 122$

$2x + 90 = 122$

$2x = 122 - 90$

$2x = 32$

$x = 32 / 2$

$x = 16$

Таким образом, мы нашли, что в классе 16 мальчиков.

Проверим результат. Если мальчиков 16, то девочек $30 - 16 = 14$.

Количество деревьев, посаженных мальчиками: $16 \times 5 = 80$.

Количество деревьев, посаженных девочками: $14 \times 3 = 42$.

Общее количество деревьев: $80 + 42 = 122$. Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 16.

В клетке сидят фазаны и кролики. У них вместе 35 голов и 94 ноги. Сколько фазанов и сколько кроликов в клетке?

Для решения этой задачи составим и решим систему уравнений. Пусть $ф$ — это количество фазанов, а $к$ — это количество кроликов в клетке.

Каждое животное, будь то фазан или кролик, имеет одну голову. Поскольку всего 35 голов, мы можем составить первое уравнение, которое отражает общее количество животных:

$ф + к = 35$

Далее, учтем количество ног. У фазана 2 ноги, а у кролика — 4. Общее количество ног у всех животных равно 94. Это позволяет нам составить второе уравнение:

$2 \cdot ф + 4 \cdot к = 94$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} ф + к = 35 \\ 2ф + 4к = 94 \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $ф$ через $к$:

$ф = 35 - к$

Теперь подставим это выражение для $ф$ во второе уравнение системы:

$2(35 - к) + 4к = 94$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $к$:

$70 - 2к + 4к = 94$

$70 + 2к = 94$

$2к = 94 - 70$

$2к = 24$

$к = 24 / 2$

$к = 12$

Таким образом, мы нашли, что в клетке 12 кроликов. Теперь найдем количество фазанов, подставив значение $к$ в выражение для $ф$:

$ф = 35 - 12$

$ф = 23$

Следовательно, в клетке 23 фазана.

Для уверенности выполним проверку. Общее количество голов: $23$ фазана $+ 12$ кроликов $= 35$ голов. Это соответствует условию. Общее количество ног: $(23 \cdot 2) + (12 \cdot 4) = 46 + 48 = 94$ ноги. Это также соответствует условию задачи. Решение верное.

Ответ: В клетке 23 фазана и 12 кроликов.

1149. У юного биолога в аквариуме жили жуки и пауки. Всего их было 5, и у них было 34 ноги. Сколько жуков было в аквариуме?

Для решения этой задачи воспользуемся алгебраическим методом. Сначала определим количество ног у каждого вида существ: у жука (как у насекомого) — 6 ног, а у паука — 8 ног.

Пусть $x$ — это количество жуков, а $y$ — количество пауков в аквариуме.

Согласно условию, всего в аквариуме было 5 существ. Это можно записать в виде первого уравнения:

$x + y = 5$

Также известно, что у всех существ вместе было 34 ноги. Количество ног у всех жуков равно $6x$, а у всех пауков — $8y$. Составим второе уравнение:

$6x + 8y = 34$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений. Решим её. Для начала выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 5 - x$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

$6x + 8(5 - x) = 34$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$6x + 40 - 8x = 34$

Приведём подобные слагаемые:

$40 - 2x = 34$

Перенесем 34 в левую часть, а $2x$ в правую:

$40 - 34 = 2x$

$6 = 2x$

Отсюда находим $x$:

$x = 6 / 2$

$x = 3$

Таким образом, количество жуков в аквариуме равно 3.

Для проверки найдем количество пауков: $y = 5 - 3 = 2$.

Проверим общее число ног: $(3 \text{ жука} \times 6 \text{ ног}) + (2 \text{ паука} \times 8 \text{ ног}) = 18 + 16 = 34$ ноги. Расчет верен.

Ответ: 3 жука.