Страница 257 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1171. а) Половина книг школьной библиотеки — учебники. Шестая часть всех учебников — учебники математики. Какую часть от всех книг составляют учебники математики?

б) В классе 18 мальчиков и 16 девочек, $ \frac{2}{9} $ мальчиков и $ \frac{1}{4} $ девочек занимаются в литературном кружке. Сколько учащихся класса занимается в литературном кружке?

а) По условию задачи, учебники составляют половину, то есть $\frac{1}{2}$ всех книг в библиотеке. Учебники математики составляют шестую часть, то есть $\frac{1}{6}$ от количества всех учебников. Чтобы найти, какую часть от всех книг библиотеки составляют учебники математики, необходимо найти часть от части, то есть перемножить эти две дроби.
Выполним умножение:
$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 6} = \frac{1}{12}$
Таким образом, учебники математики составляют $\frac{1}{12}$ всех книг в школьной библиотеке.
Ответ: $\frac{1}{12}$

б) Сначала найдем количество мальчиков, которые занимаются в литературном кружке. Для этого нужно найти $\frac{2}{9}$ от общего числа мальчиков, равного 18.
$18 \cdot \frac{2}{9} = \frac{18 \cdot 2}{9} = 2 \cdot 2 = 4$ (мальчика).
Далее найдем количество девочек, которые занимаются в литературном кружке. Для этого нужно найти $\frac{1}{4}$ от общего числа девочек, равного 16.
$16 \cdot \frac{1}{4} = \frac{16 \cdot 1}{4} = 4$ (девочки).
Чтобы найти общее количество учащихся в кружке, сложим количество мальчиков и девочек, посещающих его.
$4 + 4 = 8$ (учащихся).
Ответ: 8 учащихся.

1172. a) У мальчика было 24 р. Он потратил $1 \over 4$ этой суммы и $1 \over 2$ остатка. Сколько денег он потратил?

б) Туристы отправились в поход. За три дня они прошли 48 км. В первый день туристы прошли $1 \over 4$ всего расстояния, а во второй день $5 \over 9$ остатка. Сколько километров они прошли в третий день?

а)

1. Найдем сумму, которую мальчик потратил в первый раз. Это $\frac{1}{4}$ от 24 рублей:

$24 \cdot \frac{1}{4} = 6$ р.

2. Вычислим, сколько денег у него осталось после первой покупки:

$24 - 6 = 18$ р.

3. Во второй раз он потратил $\frac{1}{2}$ от остатка, то есть от 18 рублей:

$18 \cdot \frac{1}{2} = 9$ р.

4. Чтобы найти общую потраченную сумму, сложим траты за первый и второй раз:

$6 + 9 = 15$ р.

Ответ: 15 рублей.

б)

1. Определим расстояние, которое туристы прошли в первый день. Это $\frac{1}{4}$ от всего расстояния в 48 км:

$48 \cdot \frac{1}{4} = 12$ км.

2. Найдем оставшееся расстояние после первого дня:

$48 - 12 = 36$ км.

3. Во второй день туристы прошли $\frac{5}{9}$ от оставшегося расстояния:

$36 \cdot \frac{5}{9} = \frac{36 \cdot 5}{9} = 4 \cdot 5 = 20$ км.

4. Чтобы узнать, сколько километров туристы прошли в третий день, нужно из общего расстояния вычесть то, что они прошли за первые два дня:

$48 - (12 + 20) = 48 - 32 = 16$ км.

Ответ: 16 километров.

1173. Из «Азбуки» Л. Н. Толстого. Мужик вышел пешком из Тулы в Москву в 5 часов утра. В 12 часов выехал барин из Тулы в Москву. Мужик идёт 5 вёрст в каждый час, а барин едет 11 вёрст в каждый час. На какой версте барин догонит мужика?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько шагов.

1. Сначала найдем, на сколько часов мужик вышел раньше барина.
Мужик вышел в 5 часов утра, а барин выехал в 12 часов. Разница во времени составляет:
$12 - 5 = 7$ (часов).

2. Теперь рассчитаем, какое расстояние прошел мужик за эти 7 часов. Его скорость — 5 вёрст в час.
$5 \frac{\text{вёрст}}{\text{час}} \cdot 7 \text{ часов} = 35$ (вёрст).
Таким образом, к моменту выезда барина мужик уже находился в 35 верстах от Тулы.

3. Барин догоняет мужика. Найдем скорость их сближения, которая равна разности скоростей барина и мужика:
$11 \frac{\text{вёрст}}{\text{час}} - 5 \frac{\text{вёрст}}{\text{час}} = 6 \frac{\text{вёрст}}{\text{час}}$.
Это означает, что каждый час расстояние между ними сокращается на 6 вёрст.

4. Теперь определим, сколько времени потребуется барину, чтобы догнать мужика. Для этого разделим начальное расстояние между ними на скорость сближения:
$t = \frac{35 \text{ вёрст}}{6 \frac{\text{вёрст}}{\text{час}}} = \frac{35}{6}$ (часа).

5. Чтобы найти, на какой версте от Тулы произойдет встреча, нужно умножить скорость барина на время, которое он будет в пути:
$S = 11 \frac{\text{вёрст}}{\text{час}} \cdot \frac{35}{6} \text{ часа} = \frac{385}{6}$ (вёрст).

6. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, чтобы получить окончательный ответ:
$\frac{385}{6} = 64\frac{1}{6}$ (вёрст).

Ответ: Барин догонит мужика на $64\frac{1}{6}$ версте.

1174. Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Два почтальона A и B находятся друг от друга на расстоянии 59 миль. Утром они отправляются друг другу навстречу. A проходит в 2 ч 7 миль, B — в 3 ч 8 миль, но B выходит часом позднее, чем A. Сколько миль пройдёт A до встречи с B?

Для решения задачи выполним следующие действия: найдем скорости почтальонов, учтем, что почтальон А вышел на час раньше, рассчитаем время до встречи и затем найдем расстояние, которое прошел почтальон А.

1. Найдем скорости почтальонов A и B.

Скорость почтальона А ($v_A$), который проходит 7 миль за 2 часа, равна:

$v_A = \frac{7 \text{ миль}}{2 \text{ ч}} = 3.5 \text{ миль/ч}$

Скорость почтальона B ($v_B$), который проходит 8 миль за 3 часа, равна:

$v_B = \frac{8 \text{ миль}}{3 \text{ ч}}$

2. Рассчитаем расстояние, которое прошел почтальон A за первый час.

Поскольку почтальон B вышел на час позже, почтальон A за этот час прошел:

$S_1 = v_A \times 1 \text{ ч} = 3.5 \text{ миль/ч} \times 1 \text{ ч} = 3.5 \text{ миль}$

Когда почтальон B начал движение, расстояние между ними сократилось и составило:

$S_{ост} = 59 \text{ миль} - 3.5 \text{ миль} = 55.5 \text{ миль}$

3. Найдем время, через которое они встретятся после выхода B.

Так как почтальоны движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Найдем их скорость сближения ($v_{сбл}$):

$v_{сбл} = v_A + v_B = 3.5 + \frac{8}{3} = \frac{7}{2} + \frac{8}{3} = \frac{21+16}{6} = \frac{37}{6} \text{ миль/ч}$

Теперь найдем время ($t_{встр}$), через которое они встретятся, разделив оставшееся расстояние на скорость сближения:

$t_{встр} = \frac{S_{ост}}{v_{сбл}} = 55.5 : \frac{37}{6} = \frac{111}{2} \times \frac{6}{37} = \frac{3 \times 37}{2} \times \frac{6}{37} = \frac{3 \times 6}{2} = 9 \text{ часов}$

4. Рассчитаем общее расстояние, которое прошел почтальон A.

Общее время движения почтальона A до встречи ($t_A$) складывается из времени, которое он шел один (1 час), и времени, которое он шел до встречи с B (9 часов):

$t_A = 1 \text{ ч} + 9 \text{ ч} = 10 \text{ часов}$

Теперь можем найти общее расстояние ($S_A$), которое прошел почтальон A, умножив его скорость на его общее время в пути:

$S_A = v_A \times t_A = 3.5 \text{ миль/ч} \times 10 \text{ ч} = 35 \text{ миль}$

Ответ: 35 миль.

1175. Первая бригада может выполнить задание за 9 дней, а вторая — за 12 дней. Первая бригада работала над выполнением этого задания 3 дня, а потом вторая бригада закончила работу. За сколько дней выполнено задание?

Для решения задачи примем весь объем работы за 1 (единицу).

1. Определим производительность (часть работы, выполняемую за один день) каждой бригады:

• Производительность первой бригады: $1 : 9 = \frac{1}{9}$ часть задания в день.
• Производительность второй бригады: $1 : 12 = \frac{1}{12}$ часть задания в день.

2. Первая бригада работала 3 дня. Найдем, какую часть задания она успела выполнить за это время. Для этого умножим ее производительность на время работы:

$3 \cdot \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Таким образом, первая бригада выполнила $\frac{1}{3}$ часть всего задания.

3. Теперь найдем, какая часть задания осталась невыполненной. Для этого вычтем из всего объема работы часть, выполненную первой бригадой:

$1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Осталось выполнить $\frac{2}{3}$ часть задания.

4. Оставшуюся работу закончила вторая бригада. Чтобы найти, сколько дней ей для этого понадобилось, разделим оставшийся объем работы на производительность второй бригады:

$\frac{2}{3} : \frac{1}{12} = \frac{2}{3} \cdot \frac{12}{1} = \frac{2 \cdot 12}{3} = \frac{24}{3} = 8$ дней.

Второй бригаде потребовалось 8 дней, чтобы закончить работу.

5. Чтобы найти, за сколько дней было выполнено все задание, сложим время работы первой и второй бригад:

$3 \text{ дня} + 8 \text{ дней} = 11 \text{ дней}$.

Ответ: 11 дней.

1176. Расстояние между двумя пристанями по течению реки катер проходит за 8 ч, а плот – за 72 ч. Сколько времени потратит катер на тот же путь по озеру?

Для решения этой задачи нам нужно найти собственную скорость катера, то есть его скорость в стоячей воде (как в озере). Давайте введем обозначения:

• $S$ — расстояние между пристанями.
• $V_к$ — собственная скорость катера.
• $V_т$ — скорость течения реки.
• $t_1 = 8$ ч — время движения катера по течению.
• $t_2 = 72$ ч — время движения плота.

1. Определение скорости течения реки

Плот не имеет собственного двигателя и движется со скоростью течения реки. Зная, что плот проходит расстояние $S$ за 72 часа, мы можем найти скорость течения:

$V_т = S / t_2 = S / 72$

Это означает, что за один час течение проносит плот на $1/72$ часть всего расстояния.

2. Определение скорости катера по течению

Когда катер движется по течению, его скорость складывается из собственной скорости и скорости течения: $V_{по~теч.} = V_к + V_т$.

Катер проходит расстояние $S$ за 8 часов, значит его скорость по течению равна:

$V_{по~теч.} = S / t_1 = S / 8$

За один час катер по течению проходит $1/8$ часть всего расстояния.

3. Вычисление собственной скорости катера

Собственная скорость катера — это его скорость по течению минус скорость течения:

$V_к = V_{по~теч.} - V_т$

Подставим найденные значения скоростей:

$V_к = S/8 - S/72$

Приведем дроби к общему знаменателю (72):

$V_к = (9S)/72 - S/72 = (8S)/72$

Сократим дробь:

$V_к = S/9$

Таким образом, собственная скорость катера такова, что за час он проходит $1/9$ часть расстояния $S$.

4. Расчет времени движения по озеру

В озере течение отсутствует, поэтому катер будет двигаться со своей собственной скоростью $V_к$. Чтобы найти время, которое он потратит на путь $S$, воспользуемся формулой $t = S / V$.

$t_{озеро} = S / V_к = S / (S/9) = S \cdot (9/S) = 9$ часов.

Ответ: 9 часов.