Страница 263 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

a) б) Рис. 184

1214. Бригадир подготовил два плана устройства асфальтовой дорожки через газон (рис. 184). В каком из этих случаев потребуется меньше асфальта, если отрезки $AB$ и $CD$ равны? Края дорожки параллельны.

Чтобы определить, в каком случае потребуется меньше асфальта, необходимо сравнить площади фигур, изображенных на планах а) и б). Количество асфальта прямо пропорционально площади дорожки.

а) Дорожка на плане а) представляет собой прямоугольник. Его площадь $S_a$ вычисляется как произведение его ширины на высоту. Ширина дорожки равна длине отрезка AB, а высота $h$ — это расстояние между параллельными краями газона. Таким образом, площадь дорожки равна:

$S_a = AB \cdot h$

б) Дорожка на плане б) представляет собой параллелограмм, так как по условию ее края параллельны. Площадь параллелограмма $S_b$ вычисляется как произведение его основания на высоту. В качестве основания можно взять сторону CD. Высота $h$ этого параллелограмма — это перпендикулярное расстояние между параллельными сторонами, то есть то же самое расстояние между краями газона, что и в первом случае. Таким образом, площадь этой дорожки равна:

$S_b = CD \cdot h$

Теперь сравним площади $S_a$ и $S_b$. По условию задачи, длины отрезков AB и CD равны, то есть $AB = CD$. Высота $h$ для обеих дорожек одинакова. Следовательно, площади дорожек также равны:

$S_a = AB \cdot h = CD \cdot h = S_b$

Поскольку площади обеих дорожек одинаковы, количество асфальта, необходимое для их устройства, будет одинаковым в обоих случаях.

Ответ: Количество асфальта, которое потребуется в обоих случаях, одинаково.

1215. Человек прошёл $\frac{1}{3}$ узкого моста, когда заметил, что сзади его догоняет велосипедист. Если человек побежит назад, то встретится с велосипедистом в начале моста, а если побежит вперёд, то велосипедист догонит его в конце моста. Во сколько раз скорость велосипедиста больше скорости бегущего человека?

Для решения задачи введём следующие обозначения:

• $L$ – длина моста.
• $v_ч$ – скорость бегущего человека.
• $v_в$ – скорость велосипедиста.
• $x$ – расстояние от велосипедиста до начала моста в тот момент, когда человек его заметил.

В момент, когда человек заметил велосипедиста, он находился на расстоянии $\frac{1}{3}L$ от начала моста.

Рассмотрим первый случай: человек бежит назад к началу моста.

Человеку нужно пробежать расстояние $\frac{1}{3}L$. Время, которое он на это затратит, равно:

$t_1 = \frac{L/3}{v_ч}$

За это же время велосипедист доедет до начала моста, преодолев расстояние $x$. Его время равно:

$t_1 = \frac{x}{v_в}$

Поскольку они встречаются в начале моста одновременно, время $t_1$ для них одинаково. Следовательно, мы можем приравнять эти два выражения:

$\frac{L}{3 \cdot v_ч} = \frac{x}{v_в}$ (1)

Рассмотрим второй случай: человек бежит вперёд к концу моста.

Человеку нужно пробежать оставшуюся часть моста, то есть расстояние $L - \frac{1}{3}L = \frac{2}{3}L$. Время, которое он на это затратит, равно:

$t_2 = \frac{2L/3}{v_ч}$

За это же время велосипедист догонит его в конце моста. Велосипедисту для этого нужно проехать расстояние $x$ до моста и всю длину моста $L$. Общее расстояние для велосипедиста равно $x + L$. Его время равно:

$t_2 = \frac{x + L}{v_в}$

Поскольку они встречаются в конце моста одновременно, время $t_2$ для них одинаково. Приравняем выражения для $t_2$:

$\frac{2L}{3 \cdot v_ч} = \frac{x + L}{v_в}$ (2)

Найдём отношение скоростей.

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Выразим $x$ из уравнения (1):

$x = \frac{L \cdot v_в}{3 \cdot v_ч}$

Подставим это выражение для $x$ в уравнение (2):

$\frac{2L}{3 \cdot v_ч} = \frac{\frac{L \cdot v_в}{3 \cdot v_ч} + L}{v_в}$

Теперь упростим полученное уравнение. Сначала преобразуем числитель в правой части:

$\frac{L \cdot v_в}{3 \cdot v_ч} + L = \frac{L \cdot v_в + 3 \cdot L \cdot v_ч}{3 \cdot v_ч} = \frac{L(v_в + 3v_ч)}{3v_ч}$

Подставим это обратно в уравнение:

$\frac{2L}{3 \cdot v_ч} = \frac{\frac{L(v_в + 3v_ч)}{3v_ч}}{v_в}$

$\frac{2L}{3v_ч} = \frac{L(v_в + 3v_ч)}{3v_ч \cdot v_в}$

Мы можем сократить обе части уравнения на $\frac{L}{3v_ч}$ (так как длина моста и скорости не равны нулю):

$2 = \frac{v_в + 3v_ч}{v_в}$

Теперь решим это уравнение относительно скоростей:

$2v_в = v_в + 3v_ч$

$2v_в - v_в = 3v_ч$

$v_в = 3v_ч$

Отсюда находим искомое отношение:

$\frac{v_в}{v_ч} = 3$

Это означает, что скорость велосипедиста в 3 раза больше скорости бегущего человека.

Ответ: Скорость велосипедиста больше скорости бегущего человека в 3 раза.