Страница 256 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1167. а) Два пешехода вышли из одного пункта в противоположных направлениях со скоростями 4 км/ч и 5 км/ч. Через сколько часов между ними будет 45 км?

б) Расстояние между городами равно 510 км. Два поезда вышли из этих городов одновременно навстречу друг другу со скоростями 80 км/ч и 90 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

в) Через сколько часов после начала движения расстояние между поездами в предыдущей задаче составит 170 км?

г) Скорость моторной лодки по течению 38 км/ч, а против течения — 33 км/ч. Какова скорость течения реки?

д) Расстояние между пристанями, равно 40 км, моторная лодка прошла по течению за $2 \frac{1}{2}$ ч, против течения — за 4 ч. Какова скорость течения реки?

а) Два пешехода движутся в противоположных направлениях, поэтому их скорости складываются. Найдем скорость удаления пешеходов друг от друга:
$v_{уд} = v_1 + v_2 = 4 \text{ км/ч} + 5 \text{ км/ч} = 9 \text{ км/ч}$
Чтобы найти время, через которое расстояние между ними станет 45 км, нужно разделить это расстояние на скорость удаления:
$t = \frac{S}{v_{уд}} = \frac{45 \text{ км}}{9 \text{ км/ч}} = 5 \text{ ч}$
Ответ: через 5 часов.

б) Два поезда движутся навстречу друг другу, поэтому их скорости складываются. Найдем скорость сближения поездов:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 80 \text{ км/ч} + 90 \text{ км/ч} = 170 \text{ км/ч}$
Чтобы найти время, через которое поезда встретятся, нужно разделить начальное расстояние между ними на скорость сближения:
$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{510 \text{ км}}{170 \text{ км/ч}} = 3 \text{ ч}$
Ответ: через 3 часа.

в) Чтобы расстояние между поездами составило 170 км (до их встречи), им необходимо вместе пройти расстояние, равное разности начального расстояния и 170 км:
$S_{пройд} = 510 \text{ км} - 170 \text{ км} = 340 \text{ км}$
Скорость сближения поездов, как и в предыдущей задаче, равна 170 км/ч. Найдем время, за которое они вместе пройдут 340 км:
$t = \frac{S_{пройд}}{v_{сбл}} = \frac{340 \text{ км}}{170 \text{ км/ч}} = 2 \text{ ч}$
Ответ: через 2 часа.

г) Скорость по течению равна сумме собственной скорости лодки и скорости течения, а скорость против течения — их разности.
Пусть $v_л$ — собственная скорость лодки, а $v_т$ — скорость течения.
$\begin{cases} v_л + v_т = 38 \\ v_л - v_т = 33 \end{cases}$
Вычтем из первого уравнения второе, чтобы найти удвоенную скорость течения:
$(v_л + v_т) - (v_л - v_т) = 38 - 33$
$2v_т = 5$
$v_т = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ км/ч}$
Ответ: 2,5 км/ч.

д) Сначала найдем скорость моторной лодки по течению и против течения, используя формулу скорости $v = \frac{S}{t}$.
Расстояние $S = 40$ км.
Время по течению $t_{по} = 2\frac{1}{2} \text{ ч} = 2.5 \text{ ч}$.
Время против течения $t_{против} = 4 \text{ ч}$.
Скорость по течению:
$v_{по} = \frac{40 \text{ км}}{2.5 \text{ ч}} = 16 \text{ км/ч}$
Скорость против течения:
$v_{против} = \frac{40 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 10 \text{ км/ч}$
Скорость течения равна половине разности скорости по течению и скорости против течения:
$v_т = \frac{v_{по} - v_{против}}{2} = \frac{16 - 10}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ км/ч}$
Ответ: 3 км/ч.

1168. а) В классе 32 учащихся, $\frac{3}{4}$ их числа учатся на «4» и «5». Сколько учащихся учится на «4» и «5»?

б) В классе 18 человек учатся без троек — это составляет $\frac{3}{5}$ всех учащихся класса. Сколько учащихся в классе?

в) В классе 12 девочек и 16 мальчиков. Какую часть класса составляют девочки? Какую — мальчики?

а)

Чтобы найти количество учащихся, которые учатся на «4» и «5», необходимо общее число учащихся в классе умножить на долю, которую они составляют. В классе 32 учащихся, а доля тех, кто учится на «4» и «5», равна $\frac{3}{4}$.

Выполним вычисление:

$32 \cdot \frac{3}{4} = \frac{32 \cdot 3}{4} = 8 \cdot 3 = 24$ (учащихся).

Ответ: 24 учащихся учатся на «4» и «5».

б)

В этой задаче известно, что 18 человек — это $\frac{3}{5}$ от общего числа учащихся. Чтобы найти общее число учащихся (целое по его части), нужно число, соответствующее этой части, разделить на дробь.

Выполним вычисление:

$18 : \frac{3}{5} = 18 \cdot \frac{5}{3} = \frac{18 \cdot 5}{3} = 6 \cdot 5 = 30$ (учащихся).

Ответ: в классе 30 учащихся.

в)

Сначала найдем общее количество учащихся в классе. Для этого сложим количество девочек и мальчиков.

$12 + 16 = 28$ (учащихся) — всего в классе.

Теперь найдем, какую часть класса составляют девочки. Для этого разделим количество девочек на общее количество учащихся и сократим полученную дробь:

$\frac{12}{28} = \frac{12:4}{28:4} = \frac{3}{7}$

Аналогично найдем, какую часть класса составляют мальчики. Разделим количество мальчиков на общее количество учащихся и сократим дробь:

$\frac{16}{28} = \frac{16:4}{28:4} = \frac{4}{7}$

Ответ: девочки составляют $\frac{3}{7}$ класса, мальчики — $\frac{4}{7}$ класса.

1169. а) Первое слагаемое составляет $\frac{2}{3}$ второго, а их сумма равна 45. Найдите слагаемые.

б) Первое слагаемое составляет $\frac{2}{3}$ суммы и на 45 больше второго слагаемого. Найдите слагаемые.

в) Первое слагаемое равно 45, а второе составляет $\frac{2}{3}$ суммы

двух слагаемых. Найдите сумму.

г) Вычитаемое составляет $\frac{2}{3}$ уменьшаемого, а их разность равна 45. Найдите уменьшаемое и вычитаемое.

а)

Пусть второе слагаемое равно $x$. Тогда первое слагаемое равно $\frac{2}{3}x$. Их сумма, по условию, равна 45. Составим и решим уравнение:

$x + \frac{2}{3}x = 45$

$(\frac{3}{3} + \frac{2}{3})x = 45$

$\frac{5}{3}x = 45$

$x = 45 : \frac{5}{3} = 45 \cdot \frac{3}{5}$

$x = \frac{45 \cdot 3}{5} = 9 \cdot 3 = 27$

Второе слагаемое равно 27. Теперь найдем первое слагаемое:

$\frac{2}{3} \cdot 27 = \frac{2 \cdot 27}{3} = 2 \cdot 9 = 18$

Первое слагаемое равно 18.

Ответ: первое слагаемое 18, второе слагаемое 27.

б)

Пусть первое слагаемое – $a$, второе – $b$, а их сумма – $S$. По условию, $a = \frac{2}{3}S$ и $a = b + 45$.

Так как первое слагаемое составляет $\frac{2}{3}$ от суммы, то второе слагаемое составляет оставшуюся часть: $b = S - a = S - \frac{2}{3}S = \frac{1}{3}S$.

Известно, что разность между первым и вторым слагаемым равна 45:

$a - b = 45$

Подставим выражения для $a$ и $b$ через $S$:

$\frac{2}{3}S - \frac{1}{3}S = 45$

$\frac{1}{3}S = 45$

$S = 45 \cdot 3 = 135$

Теперь найдем слагаемые:

Первое слагаемое: $a = \frac{2}{3}S = \frac{2}{3} \cdot 135 = 2 \cdot 45 = 90$.

Второе слагаемое: $b = \frac{1}{3}S = \frac{1}{3} \cdot 135 = 45$.

Ответ: первое слагаемое 90, второе слагаемое 45.

в)

Пусть сумма равна $S$. Первое слагаемое равно 45. Второе слагаемое составляет $\frac{2}{3}$ от суммы, то есть $\frac{2}{3}S$.

Сумма равна первому слагаемому плюс второе слагаемое. Составим уравнение:

$S = 45 + \frac{2}{3}S$

Перенесем $\frac{2}{3}S$ в левую часть:

$S - \frac{2}{3}S = 45$

$\frac{1}{3}S = 45$

$S = 45 \cdot 3 = 135$

Ответ: сумма равна 135.

г)

Пусть уменьшаемое равно $x$. Тогда вычитаемое составляет $\frac{2}{3}x$. Их разность по условию равна 45. Составим и решим уравнение:

$x - \frac{2}{3}x = 45$

$(1 - \frac{2}{3})x = 45$

$\frac{1}{3}x = 45$

$x = 45 \cdot 3 = 135$

Уменьшаемое равно 135. Теперь найдем вычитаемое:

$\frac{2}{3} \cdot 135 = \frac{2 \cdot 135}{3} = 2 \cdot 45 = 90$

Вычитаемое равно 90.

Ответ: уменьшаемое 135, вычитаемое 90.

1170. а) Из первого крана бак наполняется за 4 мин, а из второго — за 12 мин. За сколько минут наполнится бак, если открыть оба крана одновременно?

б) Грузовая машина проедет расстояние между городами за 60 мин, а легковая — за 40 мин. Через сколько минут встретятся машины, если выедут из этих городов одновременно навстречу друг другу?

в) Два пешехода вышли одновременно из пунктов $A$ и $B$ навстречу друг другу и встретились через 20 мин, а ещё через 25 мин первый пешеход пришёл в пункт $B$. Через сколько минут после встречи второй пешеход пришёл в пункт $A$?

г) Если бы не было дырки в баке, то он наполнился бы из крана за 7 мин. Вся вода вытекает из полного бака за 56 мин. Определите, за сколько минут наполнится этот дырявый бак из того же крана. Считайте, что вода из бака вытекает равномерно.

a) Примем весь объем бака за 1 единицу.
Производительность (скорость наполнения) первого крана составляет $v_1 = \frac{1}{4}$ бака в минуту.
Производительность второго крана составляет $v_2 = \frac{1}{12}$ бака в минуту.
Когда оба крана открыты, их производительности складываются. Общая производительность $v_{общ} = v_1 + v_2$.
$v_{общ} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ бака в минуту.
Чтобы найти время $t$, за которое наполнится весь бак (1 единица), нужно разделить объем на общую производительность: $t = \frac{1}{v_{общ}}$.
$t = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3$ минуты.
Ответ: 3 минуты.

б) Примем расстояние между городами за 1 единицу.
Тогда скорость грузовой машины составляет $v_{груз} = \frac{1}{60}$ расстояния в минуту.
Скорость легковой машины $v_{легк} = \frac{1}{40}$ расстояния в минуту.
Поскольку машины движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_{груз} + v_{легк}$.
$v_{сбл} = \frac{1}{60} + \frac{1}{40} = \frac{2}{120} + \frac{3}{120} = \frac{5}{120} = \frac{1}{24}$ расстояния в минуту.
Время до встречи $t$ можно найти, разделив всё расстояние (1 единицу) на скорость сближения: $t = \frac{1}{v_{сбл}}$.
$t = \frac{1}{\frac{1}{24}} = 24$ минуты.
Ответ: 24 минуты.

в) Пусть $v_1$ — скорость первого пешехода (из пункта А), а $v_2$ — скорость второго пешехода (из пункта B).
До встречи каждый из них был в пути 20 минут. За это время первый пешеход прошёл расстояние $S_1 = 20v_1$, а второй — $S_2 = 20v_2$.
После встречи первому пешеходу осталось пройти расстояние $S_2$, и он сделал это за 25 минут. Следовательно, $S_2 = 25v_1$.
Второму пешеходу осталось пройти расстояние $S_1$, и он сделает это за искомое время $t_2$. Следовательно, $S_1 = t_2 v_2$.
Мы имеем два равенства для $S_1$ и $S_2$:
1) $20v_1 = t_2 v_2$
2) $20v_2 = 25v_1$
Из второго равенства найдём соотношение скоростей: $\frac{v_2}{v_1} = \frac{25}{20} = \frac{5}{4}$.
Теперь из первого равенства выразим искомое время $t_2$: $t_2 = 20 \cdot \frac{v_1}{v_2}$.
Подставим найденное соотношение скоростей ($\frac{v_1}{v_2} = \frac{4}{5}$):
$t_2 = 20 \cdot \frac{4}{5} = \frac{80}{5} = 16$ минут.
Ответ: 16 минут.

г) Примем объем бака за 1 единицу.
Скорость наполнения бака из крана составляет $v_{нап} = \frac{1}{7}$ бака в минуту.
Скорость вытекания воды из дырки составляет $v_{выт} = \frac{1}{56}$ бака в минуту.
Когда бак с дыркой наполняется, вода одновременно и вливается, и выливается. Результирующая скорость наполнения бака равна разности скоростей наполнения и вытекания: $v_{рез} = v_{нап} - v_{выт}$.
$v_{рез} = \frac{1}{7} - \frac{1}{56} = \frac{8}{56} - \frac{1}{56} = \frac{7}{56} = \frac{1}{8}$ бака в минуту.
Время $t$, за которое наполнится дырявый бак, равно объему, деленному на результирующую скорость: $t = \frac{1}{v_{рез}}$.
$t = \frac{1}{\frac{1}{8}} = 8$ минут.
Ответ: 8 минут.