Номер 1170, страница 256 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1170. а) Из первого крана бак наполняется за 4 мин, а из второго — за 12 мин. За сколько минут наполнится бак, если открыть оба крана одновременно?

б) Грузовая машина проедет расстояние между городами за 60 мин, а легковая — за 40 мин. Через сколько минут встретятся машины, если выедут из этих городов одновременно навстречу друг другу?

в) Два пешехода вышли одновременно из пунктов $A$ и $B$ навстречу друг другу и встретились через 20 мин, а ещё через 25 мин первый пешеход пришёл в пункт $B$. Через сколько минут после встречи второй пешеход пришёл в пункт $A$?

г) Если бы не было дырки в баке, то он наполнился бы из крана за 7 мин. Вся вода вытекает из полного бака за 56 мин. Определите, за сколько минут наполнится этот дырявый бак из того же крана. Считайте, что вода из бака вытекает равномерно.

a) Примем весь объем бака за 1 единицу.
Производительность (скорость наполнения) первого крана составляет $v_1 = \frac{1}{4}$ бака в минуту.
Производительность второго крана составляет $v_2 = \frac{1}{12}$ бака в минуту.
Когда оба крана открыты, их производительности складываются. Общая производительность $v_{общ} = v_1 + v_2$.
$v_{общ} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ бака в минуту.
Чтобы найти время $t$, за которое наполнится весь бак (1 единица), нужно разделить объем на общую производительность: $t = \frac{1}{v_{общ}}$.
$t = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3$ минуты.
Ответ: 3 минуты.

б) Примем расстояние между городами за 1 единицу.
Тогда скорость грузовой машины составляет $v_{груз} = \frac{1}{60}$ расстояния в минуту.
Скорость легковой машины $v_{легк} = \frac{1}{40}$ расстояния в минуту.
Поскольку машины движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_{груз} + v_{легк}$.
$v_{сбл} = \frac{1}{60} + \frac{1}{40} = \frac{2}{120} + \frac{3}{120} = \frac{5}{120} = \frac{1}{24}$ расстояния в минуту.
Время до встречи $t$ можно найти, разделив всё расстояние (1 единицу) на скорость сближения: $t = \frac{1}{v_{сбл}}$.
$t = \frac{1}{\frac{1}{24}} = 24$ минуты.
Ответ: 24 минуты.

в) Пусть $v_1$ — скорость первого пешехода (из пункта А), а $v_2$ — скорость второго пешехода (из пункта B).
До встречи каждый из них был в пути 20 минут. За это время первый пешеход прошёл расстояние $S_1 = 20v_1$, а второй — $S_2 = 20v_2$.
После встречи первому пешеходу осталось пройти расстояние $S_2$, и он сделал это за 25 минут. Следовательно, $S_2 = 25v_1$.
Второму пешеходу осталось пройти расстояние $S_1$, и он сделает это за искомое время $t_2$. Следовательно, $S_1 = t_2 v_2$.
Мы имеем два равенства для $S_1$ и $S_2$:
1) $20v_1 = t_2 v_2$
2) $20v_2 = 25v_1$
Из второго равенства найдём соотношение скоростей: $\frac{v_2}{v_1} = \frac{25}{20} = \frac{5}{4}$.
Теперь из первого равенства выразим искомое время $t_2$: $t_2 = 20 \cdot \frac{v_1}{v_2}$.
Подставим найденное соотношение скоростей ($\frac{v_1}{v_2} = \frac{4}{5}$):
$t_2 = 20 \cdot \frac{4}{5} = \frac{80}{5} = 16$ минут.
Ответ: 16 минут.

г) Примем объем бака за 1 единицу.
Скорость наполнения бака из крана составляет $v_{нап} = \frac{1}{7}$ бака в минуту.
Скорость вытекания воды из дырки составляет $v_{выт} = \frac{1}{56}$ бака в минуту.
Когда бак с дыркой наполняется, вода одновременно и вливается, и выливается. Результирующая скорость наполнения бака равна разности скоростей наполнения и вытекания: $v_{рез} = v_{нап} - v_{выт}$.
$v_{рез} = \frac{1}{7} - \frac{1}{56} = \frac{8}{56} - \frac{1}{56} = \frac{7}{56} = \frac{1}{8}$ бака в минуту.
Время $t$, за которое наполнится дырявый бак, равно объему, деленному на результирующую скорость: $t = \frac{1}{v_{рез}}$.
$t = \frac{1}{\frac{1}{8}} = 8$ минут.
Ответ: 8 минут.