Номер 1167, страница 256 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1167. а) Два пешехода вышли из одного пункта в противоположных направлениях со скоростями 4 км/ч и 5 км/ч. Через сколько часов между ними будет 45 км?

б) Расстояние между городами равно 510 км. Два поезда вышли из этих городов одновременно навстречу друг другу со скоростями 80 км/ч и 90 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

в) Через сколько часов после начала движения расстояние между поездами в предыдущей задаче составит 170 км?

г) Скорость моторной лодки по течению 38 км/ч, а против течения — 33 км/ч. Какова скорость течения реки?

д) Расстояние между пристанями, равно 40 км, моторная лодка прошла по течению за $2 \frac{1}{2}$ ч, против течения — за 4 ч. Какова скорость течения реки?

а) Два пешехода движутся в противоположных направлениях, поэтому их скорости складываются. Найдем скорость удаления пешеходов друг от друга:
$v_{уд} = v_1 + v_2 = 4 \text{ км/ч} + 5 \text{ км/ч} = 9 \text{ км/ч}$
Чтобы найти время, через которое расстояние между ними станет 45 км, нужно разделить это расстояние на скорость удаления:
$t = \frac{S}{v_{уд}} = \frac{45 \text{ км}}{9 \text{ км/ч}} = 5 \text{ ч}$
Ответ: через 5 часов.

б) Два поезда движутся навстречу друг другу, поэтому их скорости складываются. Найдем скорость сближения поездов:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 80 \text{ км/ч} + 90 \text{ км/ч} = 170 \text{ км/ч}$
Чтобы найти время, через которое поезда встретятся, нужно разделить начальное расстояние между ними на скорость сближения:
$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{510 \text{ км}}{170 \text{ км/ч}} = 3 \text{ ч}$
Ответ: через 3 часа.

в) Чтобы расстояние между поездами составило 170 км (до их встречи), им необходимо вместе пройти расстояние, равное разности начального расстояния и 170 км:
$S_{пройд} = 510 \text{ км} - 170 \text{ км} = 340 \text{ км}$
Скорость сближения поездов, как и в предыдущей задаче, равна 170 км/ч. Найдем время, за которое они вместе пройдут 340 км:
$t = \frac{S_{пройд}}{v_{сбл}} = \frac{340 \text{ км}}{170 \text{ км/ч}} = 2 \text{ ч}$
Ответ: через 2 часа.

г) Скорость по течению равна сумме собственной скорости лодки и скорости течения, а скорость против течения — их разности.
Пусть $v_л$ — собственная скорость лодки, а $v_т$ — скорость течения.
$\begin{cases} v_л + v_т = 38 \\ v_л - v_т = 33 \end{cases}$
Вычтем из первого уравнения второе, чтобы найти удвоенную скорость течения:
$(v_л + v_т) - (v_л - v_т) = 38 - 33$
$2v_т = 5$
$v_т = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ км/ч}$
Ответ: 2,5 км/ч.

д) Сначала найдем скорость моторной лодки по течению и против течения, используя формулу скорости $v = \frac{S}{t}$.
Расстояние $S = 40$ км.
Время по течению $t_{по} = 2\frac{1}{2} \text{ ч} = 2.5 \text{ ч}$.
Время против течения $t_{против} = 4 \text{ ч}$.
Скорость по течению:
$v_{по} = \frac{40 \text{ км}}{2.5 \text{ ч}} = 16 \text{ км/ч}$
Скорость против течения:
$v_{против} = \frac{40 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 10 \text{ км/ч}$
Скорость течения равна половине разности скорости по течению и скорости против течения:
$v_т = \frac{v_{по} - v_{против}}{2} = \frac{16 - 10}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ км/ч}$
Ответ: 3 км/ч.