Страница 251 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1137. а) На экскурсию поехало в 3 раза больше девочек, чем мальчиков. Сколько девочек было среди 56 учащихся, поехавших на экскурсию?

б) Дедушке в 7 раз больше лет, чем внуку, который моложе дедушки на 48 лет. Сколько лет дедушке?

в) Под картофель в хозяйстве занята в 5 раз большая площадь, чем под морковь, а всего под картофель и морковь занято 27 га. Какая площадь занята под картофель?

а)

Пусть $x$ — количество мальчиков. Тогда количество девочек, которых было в 3 раза больше, равно $3x$.

Всего учащихся было 56. Составим и решим уравнение:

$x + 3x = 56$

$4x = 56$

$x = 56 / 4$

$x = 14$ (мальчиков)

Теперь найдем количество девочек:

$3 * 14 = 42$ (девочки)

Ответ: 42 девочки.

б)

Пусть $x$ — возраст внука. Тогда возраст дедушки, который в 7 раз старше, равен $7x$.

Разница в возрасте между дедушкой и внуком составляет 48 лет. Составим и решим уравнение:

$7x - x = 48$

$6x = 48$

$x = 48 / 6$

$x = 8$ (лет внуку)

Теперь найдем возраст дедушки:

$7 * 8 = 56$ (лет)

Ответ: 56 лет.

в)

Пусть $x$ га — площадь, занятая под морковь. Тогда площадь под картофель, которая в 5 раз больше, равна $5x$ га.

Общая площадь под обе культуры составляет 27 га. Составим и решим уравнение:

$x + 5x = 27$

$6x = 27$

$x = 27 / 6$

$x = 4,5$ (га под морковь)

Теперь найдем площадь, занятую под картофель:

$5 * 4,5 = 22,5$ (га)

Ответ: 22,5 га.

1138. а) В коллекции 357 марок, причём российских марок на 45 больше, чем иностранных. Сколько в коллекции российских марок?

б) У Васи было 28 р. Он потратил на 10 р. больше, чем у него осталось. Сколько денег у него осталось?

в) В автобусе ехало 55 человек. На остановке вышло на 7 человек меньше, чем осталось. Сколько человек осталось?

г) В магазин привезли 200 кг яблок. До обеда было продано на 12 кг больше, чем осталось. Сколько килограммов яблок было продано до обеда?

а) Пусть $x$ — это количество иностранных марок. Тогда количество российских марок равно $x + 45$. Всего в коллекции 357 марок. Составим и решим уравнение:
$x + (x + 45) = 357$
$2x + 45 = 357$
$2x = 357 - 45$
$2x = 312$
$x = 312 / 2$
$x = 156$ (иностранных марок).
Теперь найдем количество российских марок: $156 + 45 = 201$.
Ответ: 201.

б) Пусть $x$ — это количество денег, которое осталось у Васи. Тогда он потратил $x + 10$. Изначально у него было 28 рублей. Составим и решим уравнение:
$x + (x + 10) = 28$
$2x + 10 = 28$
$2x = 28 - 10$
$2x = 18$
$x = 18 / 2$
$x = 9$ (рублей).
Ответ: 9.

в) Пусть $x$ — это количество человек, которое осталось в автобусе. Тогда из автобуса вышло $x - 7$ человек. Изначально в автобусе было 55 человек. Составим и решим уравнение:
$x + (x - 7) = 55$
$2x - 7 = 55$
$2x = 55 + 7$
$2x = 62$
$x = 62 / 2$
$x = 31$ (человек).
Ответ: 31.

г) Пусть $x$ — это количество килограммов яблок, которое осталось. Тогда до обеда было продано $x + 12$ кг яблок. Всего привезли 200 кг яблок. Составим и решим уравнение:
$x + (x + 12) = 200$
$2x + 12 = 200$
$2x = 200 - 12$
$2x = 188$
$x = 188 / 2$
$x = 94$ (кг яблок осталось).
Теперь найдем, сколько килограммов яблок было продано до обеда: $94 + 12 = 106$ кг.
Ответ: 106.

1139. Задачи С. А. Рачинского.

а) Я дал одному ученику 3 ореха, а всем остальным по 5. Если бы я всем дал по 4 ореха, у меня осталось бы 15. Сколько было орехов?

б) В школе равное число девочек и мальчиков. Я принёс 234 ореха, и каждому мальчику досталось по 5 орехов, каждой девочке — по 4 ореха. Но девочки обиделись, и в другой раз я принёс столько орехов, что всем досталось по 6. Сколько орехов я принёс?

а)

Пусть $N$ — общее число учеников, а $O$ — общее количество орехов. Из первого условия задачи следует, что одному ученику дали 3 ореха, а остальным $(N-1)$ ученикам — по 5 орехов. Таким образом, общее количество орехов можно выразить формулой: $O = 3 + 5 \cdot (N - 1)$. Упростим это выражение: $O = 3 + 5N - 5 = 5N - 2$.
Из второго условия следует, что если бы всем $N$ ученикам дали по 4 ореха, то осталось бы ещё 15 орехов. Это можно записать в виде другого уравнения для $O$: $O = 4 \cdot N + 15$.
Теперь у нас есть два выражения для $O$, которые мы можем приравнять друг к другу, чтобы найти количество учеников $N$:
$5N - 2 = 4N + 15$
Перенесем слагаемые с $N$ в одну сторону, а числа — в другую:
$5N - 4N = 15 + 2$
$N = 17$
Итак, всего было 17 учеников.
Теперь, зная количество учеников, мы можем найти общее количество орехов, подставив значение $N$ в любое из двух уравнений. Воспользуемся вторым:
$O = 4 \cdot 17 + 15 = 68 + 15 = 83$.
Проверим результат, подставив $N=17$ в первое уравнение:
$O = 5 \cdot 17 - 2 = 85 - 2 = 83$.
Результаты совпадают, значит, решение верное.
Ответ: было 83 ореха.

б)

Пусть $x$ — количество мальчиков в школе. Поскольку в школе равное число девочек и мальчиков, то девочек тоже $x$. Общее число учеников в школе равно $x + x = 2x$.
В первый раз было принесено 234 ореха. Каждому из $x$ мальчиков досталось по 5 орехов (всего $5x$ орехов), а каждой из $x$ девочек — по 4 ореха (всего $4x$ орехов). Составим уравнение, исходя из общего количества орехов:
$5x + 4x = 234$
$9x = 234$
$x = \frac{234}{9} = 26$.
Значит, в школе было 26 мальчиков и 26 девочек.
Общее количество учеников в школе:
$26 + 26 = 52$ ученика.
Во второй раз принесли столько орехов, чтобы каждому из 52 учеников досталось по 6 орехов. Чтобы найти общее количество орехов, умножим число учеников на количество орехов, которое получил каждый:
$52 \cdot 6 = 312$.
Ответ: во второй раз я принёс 312 орехов.

1140. Из «Азбуки» Л. Н. Толстого. Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве было три дома. Три дома нельзя было делить, их взяли старшие три брата. А меньшим за то выделили деньги. Каждый из старших заплатил по 800 р. меньшим. Меньшие разделили эти деньги между собою, и тогда у всех братьев стало поровну. Много ли стоили дома?

Для решения задачи определим сначала размер справедливой доли наследства для каждого из пяти братьев.

В семье было 3 старших брата, которые взяли дома, и, следовательно, 2 младших брата ($5 - 3 = 2$), которые получили денежную компенсацию.

Каждый из трех старших братьев заплатил по 800 рублей. Найдем общую сумму, которую они передали младшим братьям:

$3 \times 800 \text{ р.} = 2400 \text{ р.}$

Эти 2400 рублей два младших брата разделили между собой поровну. Таким образом, каждый из них получил:

$2400 \text{ р.} \div 2 = 1200 \text{ р.}$

Поскольку младшие братья изначально не получили никакого имущества, а только деньги, и в результате у всех братьев стало поровну, то сумма в 1200 рублей и есть стоимость доли каждого брата.

Теперь найдем стоимость одного дома. Каждый старший брат получил дом, но отдал 800 рублей, после чего у него осталась его справедливая доля в 1200 рублей. Это значит, что стоимость дома была на 800 рублей больше, чем доля одного брата. Стоимость одного дома составляет:

$1200 \text{ р.} + 800 \text{ р.} = 2000 \text{ р.}$

Вопрос задачи — узнать, сколько стоили все три дома. Найдем их общую стоимость:

$3 \times 2000 \text{ р.} = 6000 \text{ р.}$

Ответ: дома стоили 6000 рублей.

1141. В бочке было 40 вёдер воды. Когда из бочки отлили несколько вёдер, то воды осталось в 7 раз больше, чем отлили. Сколько вёдер отлили?

Для решения задачи можно использовать метод частей или составить уравнение. Рассмотрим оба способа.

Способ 1: Решение по действиям (метод частей)

1. Примем количество воды, которое отлили, за 1 часть. По условию, воды осталось в 7 раз больше, значит, оставшаяся вода составляет 7 таких же частей.

2. Найдём, сколько всего частей составляет вся вода в бочке. Для этого сложим части, которые отлили, и части, которые остались:

$1 + 7 = 8$ (частей)

3. Общее количество воды в бочке — 40 вёдер, и это количество соответствует 8 частям. Найдём, сколько вёдер приходится на одну часть. Это и будет количество отлитой воды:

$40 / 8 = 5$ (вёдер)

Таким образом, из бочки отлили 5 вёдер воды.

Способ 2: Решение с помощью уравнения

1. Обозначим количество вёдер, которое отлили, переменной $x$.

2. Согласно условию, в бочке осталось в 7 раз больше воды, чем отлили, то есть $7x$ вёдер.

3. Общее количество воды в бочке — это сумма того, что отлили, и того, что осталось. Составим уравнение:

$x + 7x = 40$

4. Решим полученное уравнение:

$8x = 40$

$x = 40 / 8$

$x = 5$

За $x$ мы принимали количество отлитой воды, значит, из бочки отлили 5 вёдер.

Проверка:

Если отлили 5 вёдер, то в бочке осталось $40 - 5 = 35$ вёдер. Проверим, выполняется ли условие, что оставшейся воды в 7 раз больше, чем отлитой: $35 / 5 = 7$. Условие выполняется.

Ответ: 5 вёдер.

1142. (Индия, III–IV вв.). Из четырёх жертвователей второй дал вдвое больше первого, третий — втрое больше второго, четвёртый — вчетверо больше третьего, все вместе дали 132. Сколько дал первый?

Для решения задачи обозначим сумму, которую дал первый жертвователь, через переменную $x$.

Исходя из условий задачи, выразим суммы, которые дали остальные жертвователи, через $x$:

Сумма второго жертвователя: вдвое больше первого, то есть $2 \cdot x = 2x$.

Сумма третьего жертвователя: втрое больше второго, то есть $3 \cdot (2x) = 6x$.

Сумма четвёртого жертвователя: вчетверо больше третьего, то есть $4 \cdot (6x) = 24x$.

Общая сумма, которую дали все четыре жертвователя, равна 132. Составим уравнение, сложив все суммы:

$x + 2x + 6x + 24x = 132$

Сложим все коэффициенты при $x$ в левой части уравнения:

$(1 + 2 + 6 + 24)x = 132$

$33x = 132$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 33:

$x = \frac{132}{33}$

$x = 4$

Следовательно, первый жертвователь дал 4.

Выполним проверку:

Первый дал: 4.

Второй дал: $2 \cdot 4 = 8$.

Третий дал: $3 \cdot 8 = 24$.

Четвёртый дал: $4 \cdot 24 = 96$.

Общая сумма: $4 + 8 + 24 + 96 = 132$.

Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 4.

1143. a) Мама раздала детям по четыре конфеты, и три конфеты остались лишними. Чтобы дать детям по пять конфет, двух конфет не хватит. Сколько детей?

б) В вазы поставили по пять роз, и две розы остались лишними. Чтобы поставить по шесть роз, четырёх роз не хватит. Сколько ваз?

а)

Обозначим количество детей через $x$.
Из первого условия следует, что общее количество конфет можно выразить формулой: $4x + 3$. (Каждому из $x$ детей дали по 4 конфеты, и 3 конфеты остались).
Из второго условия следует, что общее количество конфет можно выразить формулой: $5x - 2$. (Чтобы дать каждому из $x$ детей по 5 конфет, не хватило 2 конфет).
Поскольку общее количество конфет в обоих случаях одно и то же, мы можем приравнять эти два выражения и составить уравнение:
$4x + 3 = 5x - 2$
Теперь решим это уравнение относительно $x$. Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:
$3 + 2 = 5x - 4x$
$5 = x$
Таким образом, мы выяснили, что детей было 5.
Проверим:
1) $4 \cdot 5 + 3 = 20 + 3 = 23$ конфеты.
2) $5 \cdot 5 - 2 = 25 - 2 = 23$ конфеты.
Оба условия приводят к одному и тому же количеству конфет, значит, решение верное.

Ответ: 5 детей.

б)

Обозначим количество ваз через $y$.
Из первого условия следует, что общее количество роз можно выразить формулой: $5y + 2$. (В каждую из $y$ ваз поставили по 5 роз, и 2 розы остались).
Из второго условия следует, что общее количество роз можно выразить формулой: $6y - 4$. (Чтобы поставить в каждую из $y$ ваз по 6 роз, не хватило 4 роз).
Приравняем эти два выражения, так как общее количество роз не менялось:
$5y + 2 = 6y - 4$
Решим уравнение относительно $y$. Перенесем слагаемые с $y$ в правую часть, а числа — в левую:
$2 + 4 = 6y - 5y$
$6 = y$
Следовательно, было 6 ваз.
Проверим:
1) $5 \cdot 6 + 2 = 30 + 2 = 32$ розы.
2) $6 \cdot 6 - 4 = 36 - 4 = 32$ розы.
Оба условия приводят к одному и тому же количеству роз, значит, решение верное.

Ответ: 6 ваз.