Страница 244 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1086. а) Вася сказал, что у них в классе 35 учащихся, причём $\frac{2}{3}$ всех учащихся — девочки. Папа сказал, что такого не может быть. Почему?

б) Известно, что $\frac{8}{15}$ класса учится на «4» и «5». Сколько учащихся может быть в классе?

в) Известно, что $\frac{1}{8}$ класса — отличники, а $\frac{3}{5}$ класса — девочки. Сколько учащихся может быть в классе?

г) Известно, что $\frac{3}{5}$ класса — девочки, $\frac{1}{7}$ из них — отличницы: Сколько учащихся может быть в классе?

а) Количество учащихся, как и количество девочек, должно быть целым числом. Чтобы найти количество девочек в классе, необходимо общее число учащихся умножить на их долю, то есть на $\frac{2}{3}$.

$35 \cdot \frac{2}{3} = \frac{70}{3} = 23\frac{1}{3}$

Результат не является целым числом. Так как количество людей не может быть дробным числом, такая ситуация невозможна.

Ответ: потому что количество девочек ($\frac{2}{3}$ от 35) не является целым числом.

б) Пусть в классе $N$ учащихся. Количество учащихся, которые учатся на «4» и «5», составляет $\frac{8}{15}$ от общего числа, то есть $\frac{8}{15}N$. Так как количество учащихся должно быть целым числом, то общее число учащихся $N$ должно делиться на 15 без остатка.

Ответ: в классе может быть 15, 30, 45 или любое другое число учащихся, кратное 15.

в) Пусть в классе $N$ учащихся. Количество отличников составляет $\frac{1}{8}N$, а количество девочек — $\frac{3}{5}N$. Оба этих значения должны быть целыми числами. Это означает, что общее число учащихся $N$ должно одновременно делиться нацело на 8 и на 5. Для этого $N$ должно быть кратно их наименьшему общему кратному (НОК).

$НОК(8, 5) = 8 \cdot 5 = 40$

Таким образом, общее число учащихся должно быть кратно 40.

Ответ: в классе может быть 40, 80 или любое другое число учащихся, кратное 40.

г) Пусть в классе $N$ учащихся. Число девочек в классе равно $\frac{3}{5}N$. Это число должно быть целым, следовательно, $N$ должно делиться на 5. Число девочек-отличниц составляет $\frac{1}{7}$ от числа всех девочек. Найдем, какую часть от всего класса составляют девочки-отличницы:

$\frac{1}{7} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{35}$

Число девочек-отличниц равно $\frac{3}{35}N$. Так как это число должно быть целым, общее число учащихся $N$ должно делиться на 35.

Ответ: в классе может быть 35, 70 или любое другое число учащихся, кратное 35.

1087. а) В классе послушных девочек столько же, сколько непослушных мальчиков. Кого в классе больше: послушных детей или мальчиков?

б) В классе высоких мальчиков столько же, сколько невысоких девочек. Кого в классе больше: высоких детей или девочек; невысоких детей или мальчиков?

а)

Для решения этой задачи введем переменные, чтобы обозначить каждую группу детей в классе:
Пусть $Д_п$ – это количество послушных девочек.
Пусть $М_н$ – это количество непослушных мальчиков.
Пусть $М_п$ – это количество послушных мальчиков.

По условию задачи, послушных девочек столько же, сколько непослушных мальчиков. Это можно записать в виде равенства:
$Д_п = М_н$

Теперь определим, кого в классе больше: послушных детей или мальчиков.
Общее количество послушных детей в классе – это сумма послушных девочек и послушных мальчиков: $Д_п + М_п$.
Общее количество мальчиков в классе – это сумма послушных мальчиков и непослушных мальчиков: $М_п + М_н$.

Теперь сравним эти два количества. Мы можем заменить $Д_п$ в первом выражении на $М_н$ (согласно условию).
Количество послушных детей = $М_н + М_п$.
Как мы видим, выражение для количества послушных детей ($М_н + М_п$) полностью совпадает с выражением для количества мальчиков ($М_п + М_н$).
Следовательно, их количества равны.

Ответ: В классе одинаковое количество послушных детей и мальчиков.

б)

Для решения этой задачи также введем переменные:
$М_в$ – количество высоких мальчиков.
$Д_н$ – количество невысоких девочек.
$Д_в$ – количество высоких девочек.
$М_н$ – количество невысоких мальчиков.

Из условия мы знаем, что высоких мальчиков столько же, сколько невысоких девочек:
$М_в = Д_н$

Теперь ответим на два вопроса задачи.

1. Кого в классе больше: высоких детей или девочек?
Количество высоких детей – это сумма высоких девочек и высоких мальчиков: $Д_в + М_в$.
Количество девочек – это сумма высоких девочек и невысоких девочек: $Д_в + Д_н$.
Так как по условию $М_в = Д_н$, то и суммы $Д_в + М_в$ и $Д_в + Д_н$ равны.
Значит, количество высоких детей равно количеству девочек.

2. Кого в классе больше: невысоких детей или мальчиков?
Количество невысоких детей – это сумма невысоких девочек и невысоких мальчиков: $Д_н + М_н$.
Количество мальчиков – это сумма высоких мальчиков и невысоких мальчиков: $М_в + М_н$.
Так как по условию $Д_н = М_в$, то и суммы $Д_н + М_н$ и $М_в + М_н$ равны.
Значит, количество невысоких детей равно количеству мальчиков.

Ответ: В классе количество высоких детей равно количеству девочек; количество невысоких детей равно количеству мальчиков.

1088. Два охотника отправились одновременно навстречу друг другу из двух деревень, расстояние между которыми 18 км. Первый шёл со скоростью 5 км/ч, а второй — 4 км/ч. Первый охотник взял с собой собаку, которая бежала со скоростью 8 км/ч. Собака сразу же побежала навстречу второму охотнику, встретила его, повернула и с той же скоростью побежала навстречу своему хозяину. Встретила его, повернула и побежала навстречу второму охотнику и т. д. Так она бегала от одного охотника к другому, пока те не встретились. Сколько километров пробежала собака?

Ключ к решению этой задачи заключается в том, чтобы понять, что собака бегала ровно столько времени, сколько охотники шли до своей встречи. Поэтому нам не нужно вычислять длину каждого отдельного пробега собаки. Вместо этого мы можем найти общее время движения и затем использовать его для расчета расстояния, которое пробежала собака.

Шаг 1: Найти время, через которое встретятся охотники

Охотники движутся навстречу друг другу, поэтому их скорости складываются. Такая скорость называется скоростью сближения.

Скорость первого охотника $v_1 = 5$ км/ч.

Скорость второго охотника $v_2 = 4$ км/ч.

Скорость сближения охотников: $v_{сбл} = v_1 + v_2 = 5 \text{ км/ч} + 4 \text{ км/ч} = 9$ км/ч.

Изначальное расстояние между ними $S = 18$ км.

Время до встречи ($t$) можно найти, разделив расстояние на скорость сближения:

$t = S / v_{сбл} = 18 \text{ км} / 9 \text{ км/ч} = 2$ часа.

Таким образом, охотники встретятся через 2 часа.

Шаг 2: Найти расстояние, которое пробежала собака

Собака бегала непрерывно всё то время, пока охотники шли к месту встречи, то есть ровно 2 часа.

Скорость собаки $v_{с} = 8$ км/ч.

Время движения собаки $t = 2$ часа.

Чтобы найти расстояние, которое пробежала собака ($S_{с}$), нужно её скорость умножить на время её движения:

$S_{с} = v_{с} \times t = 8 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 16$ км.

Ответ: 16 км.

1089. Вычислите:

$ \frac{92 \cdot 93 \cdot 94 - 91 \cdot 92 \cdot 93}{93 \cdot 94 \cdot 95 - 92 \cdot 93 \cdot 94} $

Чтобы вычислить значение данного выражения, необходимо упростить его, вынеся общие множители за скобки в числителе и знаменателе.

Исходное выражение:

$$ \frac{92 \cdot 93 \cdot 94 - 91 \cdot 92 \cdot 93}{93 \cdot 94 \cdot 95 - 92 \cdot 93 \cdot 94} $$

1. Упростим числитель.

В выражении $92 \cdot 93 \cdot 94 - 91 \cdot 92 \cdot 93$ общий множитель — это $92 \cdot 93$. Вынесем его за скобки:

$$ 92 \cdot 93 \cdot (94 - 91) $$

Вычислим значение в скобках:

$$ 94 - 91 = 3 $$

Таким образом, числитель равен:

$$ 92 \cdot 93 \cdot 3 $$

2. Упростим знаменатель.

В выражении $93 \cdot 94 \cdot 95 - 92 \cdot 93 \cdot 94$ общий множитель — это $93 \cdot 94$. Вынесем его за скобки:

$$ 93 \cdot 94 \cdot (95 - 92) $$

Вычислим значение в скобках:

$$ 95 - 92 = 3 $$

Таким образом, знаменатель равен:

$$ 93 \cdot 94 \cdot 3 $$

3. Подставим упрощенные выражения в дробь и выполним сокращение.

$$ \frac{92 \cdot 93 \cdot 3}{93 \cdot 94 \cdot 3} $$

Сократим одинаковые множители $93$ и $3$ в числителе и знаменателе:

$$ \frac{92 \cdot \cancel{93} \cdot \cancel{3}}{\cancel{93} \cdot 94 \cdot \cancel{3}} = \frac{92}{94} $$

4. Сократим полученную дробь.

Разделим числитель и знаменатель дроби $\frac{92}{94}$ на их общий делитель 2:

$$ \frac{92 \div 2}{94 \div 2} = \frac{46}{47} $$

Число 47 является простым, поэтому дальнейшее сокращение невозможно.

Ответ: $ \frac{46}{47} $

1090. Папа и сын стартовали одновременно на двух соседних дорожках плавательного бассейна. Папа первым доплыл до конца дорожки, развернулся и поплыл навстречу сыну. Через сколько минут после старта они встретятся, если длина дорожки бассейна 25 м и скорости папы и сына равны 14 м/мин и 11 м/мин соответственно?

Для решения этой задачи воспользуемся понятием скорости сближения и общего пройденного расстояния.

Пусть $L$ — длина дорожки бассейна, $v_п$ — скорость папы, а $v_с$ — скорость сына.
По условию задачи имеем:
$L = 25$ м
$v_п = 14$ м/мин
$v_с = 11$ м/мин

Папа и сын стартуют одновременно. Папа доплывает до конца дорожки, разворачивается и начинает плыть навстречу сыну. Встреча произойдет, когда суммарное расстояние, которое они проплыли, станет равно двум длинам дорожки. То есть, папа проплывет одну полную длину дорожки и еще некоторое расстояние обратно, а сын за то же время проплывет расстояние, дополняющее путь папы до двух длин дорожки.

1. Найдем общее расстояние, которое проплыли папа и сын вместе к моменту встречи:
$S_{общ} = 2 \times L = 2 \times 25 = 50$ м.

2. Найдем их скорость сближения. Поскольку после разворота папы они движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей:
$v_{сближения} = v_п + v_с = 14 + 11 = 25$ м/мин.

3. Теперь найдем время до встречи ($t$), разделив общее расстояние на скорость сближения:
$t = \frac{S_{общ}}{v_{сближения}} = \frac{50}{25} = 2$ мин.

Ответ: 2 минуты.