Страница 237 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1067. Каким натуральным числом можно заменить букву $a$ в условии задачи, чтобы ответ выражался натуральным числом? Найдите несколько таких чисел.

Из пункта A в пункт B против течения реки теплоход плывёт 20 ч. А из пункта B в пункт A — $a$ ч ($6 < a < 18$). За сколько часов из пункта B в пункт A приплывут плоты?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ — расстояние между пунктами A и B (в км).
• $v_т$ — собственная скорость теплохода (в км/ч).
• $v_р$ — скорость течения реки (в км/ч).

Скорость плотов равна скорости течения реки, то есть $v_р$. Нам нужно найти время $t_{пл}$, за которое плоты проплывут расстояние $S$ из пункта B в пункт A. Это время вычисляется по формуле:

$t_{пл} = \frac{S}{v_р}$

Согласно условию задачи, теплоход плывёт из A в B против течения 20 часов. Скорость теплохода против течения равна $v_т - v_р$. Таким образом, мы можем записать первое уравнение:

$S = (v_т - v_р) \cdot 20$

Из пункта B в пункт A теплоход плывёт по течению $a$ часов. Скорость теплохода по течению равна $v_т + v_р$. Второе уравнение:

$S = (v_т + v_р) \cdot a$

Поскольку расстояние $S$ в обоих случаях одинаково, мы можем приравнять правые части этих двух уравнений:

$(v_т - v_р) \cdot 20 = (v_т + v_р) \cdot a$

Раскроем скобки и выразим собственную скорость теплохода $v_т$ через скорость течения $v_р$:

$20v_т - 20v_р = av_т + av_р$

$20v_т - av_т = 20v_р + av_р$

$v_т(20 - a) = v_р(20 + a)$

$v_т = v_р \cdot \frac{20 + a}{20 - a}$

Теперь подставим это выражение для $v_т$ в первое уравнение, чтобы выразить расстояние $S$ через $v_р$ и $a$:

$S = \left(v_р \cdot \frac{20 + a}{20 - a} - v_р\right) \cdot 20$

$S = v_р \left(\frac{20 + a}{20 - a} - 1\right) \cdot 20$

$S = v_р \left(\frac{20 + a - (20 - a)}{20 - a}\right) \cdot 20$

$S = v_р \left(\frac{2a}{20 - a}\right) \cdot 20$

$S = v_р \cdot \frac{40a}{20 - a}$

Теперь мы можем найти время движения плотов $t_{пл}$:

$t_{пл} = \frac{S}{v_р} = \frac{v_р \cdot \frac{40a}{20 - a}}{v_р} = \frac{40a}{20 - a}$

По условию, ответ задачи (время $t_{пл}$) должен выражаться натуральным числом. Это значит, что выражение $\frac{40a}{20 - a}$ должно быть натуральным числом. Также известно, что $a$ — натуральное число в интервале $6 < a < 18$.

Чтобы дробь $\frac{40a}{20 - a}$ была целым числом, знаменатель $(20 - a)$ должен быть делителем числителя $40a$. Преобразуем выражение:

$\frac{40a}{20 - a} = \frac{-40(-a)}{20 - a} = \frac{-40(20 - a - 20)}{20 - a} = \frac{-40(20 - a) + 800}{20 - a} = -40 + \frac{800}{20 - a}$

Для того чтобы это выражение было натуральным числом, необходимо, чтобы $(20 - a)$ было натуральным делителем числа 800. Также, поскольку время $t_{пл}$ должно быть положительным, $-40 + \frac{800}{20 - a} > 0$, что выполняется, если $20 - a < 20$, а это всегда так, поскольку $a > 0$.

Найдем возможные значения для выражения $(20 - a)$, учитывая, что $a$ — натуральное число и $6 < a < 18$.

Если $a=7$, $20-a=13$.

Если $a=17$, $20-a=3$.

Таким образом, $3 \le 20-a \le 13$. Найдем все делители числа 800 в этом диапазоне: 4, 5, 8, 10.

Теперь для каждого найденного значения $(20 - a)$ найдем соответствующее значение $a$:

• Если $20 - a = 4$, то $a = 16$.
• Если $20 - a = 5$, то $a = 15$.
• Если $20 - a = 8$, то $a = 12$.
• Если $20 - a = 10$, то $a = 10$.

Все эти значения $a$ являются натуральными числами и удовлетворяют условию $6 < a < 18$.

Ответ: Букву $a$ можно заменить натуральными числами 10, 12, 15 или 16. Например, можно выбрать числа 10 и 12.