Страница 236 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1060. Расстояние между пристанями $A$ и $B$ на реке плот проплывает за 6 ч, а теплоход проплывает по озеру такое же расстояние за 3 ч. За сколько часов теплоход проплывает расстояние между пристанями $A$ и $B$:

а) по течению реки;

б) против течения реки?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ - расстояние между пристанями A и B.
• $V_{тепл}$ - собственная скорость теплохода (скорость в стоячей воде, т.е. в озере).
• $V_{теч}$ - скорость течения реки.

Скорость плота равна скорости течения реки. По условию, плот проплывает расстояние $S$ за 6 часов. Отсюда находим скорость течения:

$V_{теч} = \frac{S}{6}$

Теплоход проплывает расстояние $S$ по озеру за 3 часа. Скорость в озере является собственной скоростью теплохода. Отсюда находим собственную скорость теплохода:

$V_{тепл} = \frac{S}{3}$

Теперь можем найти время движения теплохода по реке.

а) по течению реки;

При движении по течению скорость теплохода складывается из его собственной скорости и скорости течения:

$V_{по} = V_{тепл} + V_{теч} = \frac{S}{3} + \frac{S}{6}$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$V_{по} = \frac{2S}{6} + \frac{S}{6} = \frac{3S}{6} = \frac{S}{2}$

Время, за которое теплоход пройдет расстояние $S$ по течению, равно:

$t_{по} = \frac{S}{V_{по}} = \frac{S}{\frac{S}{2}} = S \cdot \frac{2}{S} = 2$ ч.

Ответ: 2 часа.

б) против течения реки?

При движении против течения из собственной скорости теплохода вычитается скорость течения:

$V_{пр} = V_{тепл} - V_{теч} = \frac{S}{3} - \frac{S}{6}$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$V_{пр} = \frac{2S}{6} - \frac{S}{6} = \frac{S}{6}$

Время, за которое теплоход пройдет расстояние $S$ против течения, равно:

$t_{пр} = \frac{S}{V_{пр}} = \frac{S}{\frac{S}{6}} = S \cdot \frac{6}{S} = 6$ ч.

Ответ: 6 часов.

1061. Расстояние между пристанями $A$ и $B$ на реке бревно проплывает за 12 ч. Теплоход проплывает расстояние $AB$ по течению реки за 3 ч. За сколько часов теплоход проплывёт расстояние $AB$:

а) по озеру;

б) против течения реки?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – расстояние между пристанями A и B.
• $V_{соб}$ – собственная скорость теплохода (скорость в стоячей воде, например, в озере).
• $V_{теч}$ – скорость течения реки.

Скорость движения объектов определяется по формуле $V = S/t$, где $t$ – время в пути.

Из условия задачи известно, что бревно проплывает расстояние $S$ за 12 часов. Бревно не имеет собственной скорости и движется со скоростью течения реки. Следовательно, скорость течения реки равна:

$V_{теч} = S / 12$

Теплоход проплывает расстояние $S$ по течению за 3 часа. При движении по течению его скорость равна сумме собственной скорости и скорости течения ($V_{соб} + V_{теч}$).

$V_{соб} + V_{теч} = S / 3$

Теперь мы можем найти собственную скорость теплохода, подставив значение $V_{теч}$ в это уравнение:

$V_{соб} + S/12 = S/3$

$V_{соб} = S/3 - S/12$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$V_{соб} = 4S/12 - S/12 = 3S/12 = S/4$

Таким образом, собственная скорость теплохода равна $S/4$.

а) по озеру;

Движение по озеру происходит в стоячей воде, поэтому теплоход будет двигаться со своей собственной скоростью $V_{соб}$. Время, которое потребуется теплоходу, чтобы проплыть расстояние $S$ по озеру, равно:

$t_{озеро} = S / V_{соб} = S / (S/4) = 4$ часа.

Ответ: 4 часа.

б) против течения реки?

При движении против течения скорость теплохода равна разности его собственной скорости и скорости течения ($V_{соб} - V_{теч}$).

$V_{против} = V_{соб} - V_{теч} = S/4 - S/12$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$V_{против} = 3S/12 - S/12 = 2S/12 = S/6$

Время, которое потребуется теплоходу, чтобы проплыть расстояние $S$ против течения, равно:

$t_{против} = S / V_{против} = S / (S/6) = 6$ часов.

Ответ: 6 часов.

1062. Расстояние между пристанями $A$ и $B$ на реке плот проплывает за 15 мин, а катер проплывает расстояние $AB$ против течения реки за 30 мин. За сколько минут катер проплывёт расстояние $AB$:

а) по озеру;

б) по течению реки?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – расстояние между пристанями А и В.
• $v_к$ – собственная скорость катера (скорость в стоячей воде, например, в озере).
• $v_т$ – скорость течения реки.

Скорость плота равна скорости течения реки, так как у плота нет собственного двигателя. Плот проплывает расстояние $S$ за 15 минут. Следовательно, скорость течения реки можно выразить как:

$v_т = \frac{S}{15}$ (расстояния/минуту)

Катер проплывает расстояние $S$ против течения за 30 минут. Скорость катера против течения равна разности его собственной скорости и скорости течения ($v_к - v_т$). Таким образом:

$v_к - v_т = \frac{S}{30}$ (расстояния/минуту)

Теперь мы можем найти собственную скорость катера $v_к$, подставив выражение для $v_т$ во второе уравнение:

$v_к - \frac{S}{15} = \frac{S}{30}$

$v_к = \frac{S}{30} + \frac{S}{15}$

Приведем дроби к общему знаменателю 30:

$v_к = \frac{S}{30} + \frac{2S}{30} = \frac{3S}{30} = \frac{S}{10}$ (расстояния/минуту)

Теперь, зная собственную скорость катера и скорость течения, мы можем ответить на вопросы задачи.

В озере нет течения, поэтому катер будет двигаться со своей собственной скоростью $v_к$. Время $t_{озеро}$, за которое катер проплывет расстояние $S$, равно:

$t_{озеро} = \frac{S}{v_к} = \frac{S}{S/10} = 10$ минут.

Ответ: 10 минут.

При движении по течению скорость катера равна сумме его собственной скорости и скорости течения ($v_к + v_т$). Сначала найдем эту скорость:

$v_{по\;течению} = v_к + v_т = \frac{S}{10} + \frac{S}{15}$

Приведем дроби к общему знаменателю 30:

$v_{по\;течению} = \frac{3S}{30} + \frac{2S}{30} = \frac{5S}{30} = \frac{S}{6}$ (расстояния/минуту)

Теперь найдем время $t_{по\;течению}$, за которое катер проплывет расстояние $S$ по течению:

$t_{по\;течению} = \frac{S}{v_{по\;течению}} = \frac{S}{S/6} = 6$ минут.

Ответ: 6 минут.

1063. Расстояние между пристанями $A$ и $B$ катер проплывает по течению реки за 8 мин, а такое же расстояние по озеру — за 12 мин. За сколько минут проплывёт расстояние между пристанями $A$ и $B$:

а) плот;

б) катер против течения реки?

Для решения задачи введем следующие обозначения:$S$ – расстояние между пристанями А и В,$V_k$ – собственная скорость катера (скорость в стоячей воде, как в озере),$V_t$ – скорость течения реки.

Когда катер плывет по озеру, его скорость равна собственной скорости $V_k$. По условию, он проходит расстояние $S$ за 12 минут. Следовательно, его собственная скорость:$V_k = \frac{S}{12}$ (расстояния в минуту).

Когда катер плывет по течению реки, его скорость равна сумме собственной скорости и скорости течения: $V_k + V_t$. По условию, он проходит расстояние $S$ за 8 минут. Следовательно:$V_k + V_t = \frac{S}{8}$ (расстояния в минуту).

Теперь мы можем найти скорость течения реки $V_t$, вычтя собственную скорость катера из скорости по течению:$V_t = (V_k + V_t) - V_k = \frac{S}{8} - \frac{S}{12}$Приведем дроби к общему знаменателю 24:$V_t = \frac{3S}{24} - \frac{2S}{24} = \frac{S}{24}$ (расстояния в минуту).

а)Плот не имеет собственной скорости и движется со скоростью течения реки. Таким образом, скорость плота равна $V_t = \frac{S}{24}$.Время, за которое плот проплывет расстояние $S$, равно:$t_{плот} = \frac{S}{V_t} = \frac{S}{\frac{S}{24}} = S \cdot \frac{24}{S} = 24$ минуты.Ответ: 24 минуты.

б)Скорость катера против течения реки равна разности его собственной скорости и скорости течения: $V_{против\_течения} = V_k - V_t$.Подставим найденные значения скоростей:$V_{против\_течения} = \frac{S}{12} - \frac{S}{24} = \frac{2S}{24} - \frac{S}{24} = \frac{S}{24}$ (расстояния в минуту).Время, за которое катер проплывет расстояние $S$ против течения, равно:$t_{против\_течения} = \frac{S}{V_{против\_течения}} = \frac{S}{\frac{S}{24}} = S \cdot \frac{24}{S} = 24$ минуты.Ответ: 24 минуты.

1064. Расстояние между пристанями $A$ и $B$ моторная лодка проплывает против течения реки за 30 мин, а такое же расстояние по озеру — за 10 мин. За сколько минут проплывёт расстояние между пристанями $A$ и $B$:

a) плот;

б) моторная лодка по течению реки?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ — расстояние между пристанями A и B.
• $v_л$ — собственная скорость моторной лодки (в стоячей воде, например, в озере).
• $v_т$ — скорость течения реки.

Исходя из условий задачи, составим уравнения. Скорость выражается как расстояние, деленное на время. Время будем измерять в минутах.

1. Скорость лодки в озере (стоячая вода) равна ее собственной скорости $v_л$. Лодка проходит расстояние $S$ за 10 минут.
$v_л = \frac{S}{10}$

2. Скорость лодки против течения реки равна $v_л - v_т$. Лодка проходит расстояние $S$ за 30 минут.
$v_л - v_т = \frac{S}{30}$

Теперь мы можем найти скорость течения $v_т$. Для этого из скорости лодки вычтем ее скорость против течения:
$v_т = v_л - (v_л - v_т) = \frac{S}{10} - \frac{S}{30}$

Приведем дроби к общему знаменателю 30:
$v_т = \frac{3S}{30} - \frac{S}{30} = \frac{2S}{30} = \frac{S}{15}$

Теперь, зная собственную скорость лодки и скорость течения, мы можем ответить на вопросы задачи.

а) плот;

Плот не имеет собственной скорости и движется только за счет течения реки. Его скорость равна скорости течения $v_т$.
Время, за которое плот проплывет расстояние $S$, равно:
$t_{плота} = \frac{S}{v_т}$
Подставим найденное значение $v_т = \frac{S}{15}$:
$t_{плота} = \frac{S}{S/15} = S \cdot \frac{15}{S} = 15$ минут.
Ответ: 15 минут.

б) моторная лодка по течению реки?

Скорость моторной лодки по течению реки равна сумме ее собственной скорости и скорости течения: $v_{по~теч} = v_л + v_т$.
Найдем эту скорость:
$v_{по~теч} = \frac{S}{10} + \frac{S}{15}$
Приведем дроби к общему знаменателю 30:
$v_{по~теч} = \frac{3S}{30} + \frac{2S}{30} = \frac{5S}{30} = \frac{S}{6}$
Теперь найдем время, за которое лодка проплывет расстояние $S$ по течению:
$t_{по~теч} = \frac{S}{v_{по~теч}} = \frac{S}{S/6} = S \cdot \frac{6}{S} = 6$ минут.
Ответ: 6 минут.

1065. Расстояние между пристанями $A$ и $B$ моторная лодка проплывает по течению реки за 15 мин, а против течения — за 60 мин.

За сколько минут проплывёт то же расстояние:

а) бревно по реке;

б) моторная лодка по озеру?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – расстояние между пристанями A и B.
• $v_л$ – собственная скорость моторной лодки (скорость в стоячей воде, например, в озере).
• $v_т$ – скорость течения реки.

Когда лодка плывет по течению, ее скорость складывается из собственной скорости и скорости течения, то есть равна $v_л + v_т$.

Когда лодка плывет против течения, ее скорость равна разности собственной скорости и скорости течения, то есть $v_л - v_т$.

Используя формулу расстояния $S = v \cdot t$, где $v$ – скорость, а $t$ – время, составим систему уравнений на основе данных из условия:

1) Время по течению $t_1 = 15$ мин: $S = (v_л + v_т) \cdot 15$

2) Время против течения $t_2 = 60$ мин: $S = (v_л - v_т) \cdot 60$

Из этих уравнений можно выразить скорости:

$v_л + v_т = \frac{S}{15}$

$v_л - v_т = \frac{S}{60}$

Теперь мы можем решить поставленные вопросы.

а) бревно по реке;

Бревно не имеет собственной скорости и движется по реке со скоростью течения $v_т$. Нам нужно найти время, за которое бревно проплывет расстояние $S$. Для этого сначала найдем скорость течения $v_т$. Вычтем второе уравнение из первого:

$(v_л + v_т) - (v_л - v_т) = \frac{S}{15} - \frac{S}{60}$

$v_л + v_т - v_л + v_т = \frac{4S - S}{60}$

$2v_т = \frac{3S}{60}$

$2v_т = \frac{S}{20}$

$v_т = \frac{S}{40}$

Теперь найдем время $t_б$, которое потребуется бревну, чтобы проплыть расстояние $S$ со скоростью $v_т$:

$t_б = \frac{S}{v_т} = \frac{S}{\frac{S}{40}} = S \cdot \frac{40}{S} = 40$ минут.

Ответ: 40 минут.

б) моторная лодка по озеру?

В озере нет течения, поэтому лодка будет двигаться со своей собственной скоростью $v_л$. Нам нужно найти время, за которое лодка проплывет расстояние $S$ по озеру. Для этого сначала найдем собственную скорость лодки $v_л$. Сложим два исходных уравнения для скоростей:

$(v_л + v_т) + (v_л - v_т) = \frac{S}{15} + \frac{S}{60}$

$2v_л = \frac{4S + S}{60}$

$2v_л = \frac{5S}{60}$

$2v_л = \frac{S}{12}$

$v_л = \frac{S}{24}$

Теперь найдем время $t_о$, которое потребуется лодке, чтобы проплыть расстояние $S$ со скоростью $v_л$:

$t_о = \frac{S}{v_л} = \frac{S}{\frac{S}{24}} = S \cdot \frac{24}{S} = 24$ минуты.

Ответ: 24 минуты.

1066. а) Теплоход от Киева до Херсона идёт трое суток, а от Херсона до Киева — четверо суток (без остановок). Сколько времени будут плыть плоты от Киева до Херсона?

б) Из Нижнего Новгорода в Астрахань теплоход плывёт 5 суток, а обратно — 7 суток. За сколько суток из Нижнего Новгорода в Астрахань приплывут плоты?

а)

Для решения задачи введем следующие обозначения:
$S$ – расстояние от Киева до Херсона.
$V_т$ – собственная скорость теплохода (в стоячей воде).
$V_р$ – скорость течения реки.

Поскольку Киев находится выше по течению Днепра, чем Херсон, то путь от Киева до Херсона – это движение по течению, а обратно – против течения.
Скорость теплохода по течению равна $V_т + V_р$, а время в пути составляет $t_1 = 3$ суток.
Скорость теплохода против течения равна $V_т - V_р$, а время в пути составляет $t_2 = 4$ суток.

Расстояние $S$ можно выразить двумя способами:
1) $S = (V_т + V_р) \cdot t_1 = (V_т + V_р) \cdot 3$
2) $S = (V_т - V_р) \cdot t_2 = (V_т - V_р) \cdot 4$

Так как расстояние в обоих случаях одинаковое, мы можем приравнять правые части этих уравнений:
$(V_т + V_р) \cdot 3 = (V_т - V_р) \cdot 4$
Раскроем скобки:
$3V_т + 3V_р = 4V_т - 4V_р$
Соберем слагаемые с $V_т$ в одной части, а с $V_р$ в другой:
$3V_р + 4V_р = 4V_т - 3V_т$
$7V_р = V_т$
Это означает, что собственная скорость теплохода в 7 раз больше скорости течения реки.

Теперь подставим полученное соотношение ($V_т = 7V_р$) в первое уравнение для расстояния:
$S = (7V_р + V_р) \cdot 3 = 8V_р \cdot 3 = 24V_р$

Плоты не имеют собственной скорости и плывут со скоростью течения реки, то есть со скоростью $V_р$. Время, которое потребуется плотам, чтобы проплыть расстояние $S$ от Киева до Херсона, можно найти по формуле $t = \frac{S}{V}$.
$t_{плотов} = \frac{S}{V_р} = \frac{24V_р}{V_р} = 24$ суток.

Ответ: 24 суток.

б)

Эта задача решается аналогично предыдущей. Введем обозначения:
$S$ – расстояние от Нижнего Новгорода до Астрахани.
$V_т$ – собственная скорость теплохода.
$V_р$ – скорость течения реки (Волги).

Нижний Новгород находится выше по течению, чем Астрахань.
Время движения по течению: $t_1 = 5$ суток.
Время движения против течения: $t_2 = 7$ суток.

Составим систему уравнений для расстояния $S$:
1) $S = (V_т + V_р) \cdot 5$
2) $S = (V_т - V_р) \cdot 7$

Приравняем выражения для $S$:
$(V_т + V_р) \cdot 5 = (V_т - V_р) \cdot 7$
$5V_т + 5V_р = 7V_т - 7V_р$
$5V_р + 7V_р = 7V_т - 5V_т$
$12V_р = 2V_т$
$V_т = 6V_р$
Собственная скорость теплохода в 6 раз больше скорости течения.

Подставим $V_т = 6V_р$ в первое уравнение, чтобы выразить расстояние $S$ через скорость течения $V_р$:
$S = (6V_р + V_р) \cdot 5 = 7V_р \cdot 5 = 35V_р$

Плоты будут плыть из Нижнего Новгорода в Астрахань со скоростью течения реки $V_р$. Найдем время их движения:
$t_{плотов} = \frac{S}{V_р} = \frac{35V_р}{V_р} = 35$ суток.

Ответ: 35 суток.