Страница 229 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1034. Даны точки A ($2$) и B ($2 \frac{1}{2}$). Найдите координаты: точки C — середины отрезка AB, точки D — середины отрезка CB, точки E — середины отрезка CD. Изобразите эти точки на координатном луче.

Для нахождения координаты середины отрезка необходимо сложить координаты его концов и разделить полученную сумму на 2.

точки C — середины отрезка AB
Даны координаты точек A(2) и B($2\frac{1}{2}$). Найдем координату точки C:
$C = \frac{A + B}{2} = \frac{2 + 2\frac{1}{2}}{2} = \frac{4\frac{1}{2}}{2} = \frac{9}{2} : 2 = \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$
Ответ: $C(2\frac{1}{4})$.

точки D — середины отрезка CB
Найдем координату точки D, используя найденную координату точки C($2\frac{1}{4}$) и данную координату точки B($2\frac{1}{2}$):
$D = \frac{C + B}{2} = \frac{2\frac{1}{4} + 2\frac{1}{2}}{2} = \frac{2\frac{1}{4} + 2\frac{2}{4}}{2} = \frac{4\frac{3}{4}}{2} = \frac{19}{4} : 2 = \frac{19}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{19}{8} = 2\frac{3}{8}$
Ответ: $D(2\frac{3}{8})$.

точки E — середины отрезка CD
Найдем координату точки E, используя найденные координаты точек C($2\frac{1}{4}$) и D($2\frac{3}{8}$):
$E = \frac{C + D}{2} = \frac{2\frac{1}{4} + 2\frac{3}{8}}{2} = \frac{2\frac{2}{8} + 2\frac{3}{8}}{2} = \frac{4\frac{5}{8}}{2} = \frac{37}{8} : 2 = \frac{37}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{37}{16} = 2\frac{5}{16}$
Ответ: $E(2\frac{5}{16})$.

Изображение точек на координатном луче
Для удобства представим все координаты в виде десятичных дробей или дробей с одинаковым знаменателем 16:
A(2) = $A(2\frac{0}{16})$
B($2\frac{1}{2}$) = $B(2\frac{8}{16})$
C($2\frac{1}{4}$) = $C(2\frac{4}{16})$
D($2\frac{3}{8}$) = $D(2\frac{6}{16})$
E($2\frac{5}{16}$)
Расположим точки на координатном луче в порядке возрастания их координат: A, C, E, D, B.

1035. Найдите координату точки B по координатам точки A и точки C – середины отрезка AB:

a) $A(2)$, $C(5)$;

б) $A(\frac{1}{2})$, $C(3)$;

в) $A(\frac{1}{4})$, $C(\frac{2}{3})$.

Для нахождения координаты точки $B$ воспользуемся формулой координаты середины отрезка. Если точка $C$ является серединой отрезка $AB$, то её координата $x_C$ связана с координатами концов отрезка $x_A$ и $x_B$ следующим соотношением:

$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$

Чтобы найти координату точки $B$ ($x_B$), выразим её из этой формулы:

$2 \cdot x_C = x_A + x_B$

$x_B = 2 \cdot x_C - x_A$

Теперь применим полученную формулу для решения каждого подпункта.

а) Даны координаты точек $A(2)$ и $C(5)$.

Подставляем значения $x_A = 2$ и $x_C = 5$ в формулу:

$x_B = 2 \cdot 5 - 2 = 10 - 2 = 8$

Координата точки $B$ равна 8.

Ответ: $B(8)$.

б) Даны координаты точек $A\left(\frac{1}{2}\right)$ и $C(3)$.

Подставляем значения $x_A = \frac{1}{2}$ и $x_C = 3$ в формулу:

$x_B = 2 \cdot 3 - \frac{1}{2} = 6 - \frac{1}{2} = 5\frac{1}{2}$

Координата точки $B$ равна $5\frac{1}{2}$.

Ответ: $B\left(5\frac{1}{2}\right)$.

в) Даны координаты точек $A\left(\frac{1}{4}\right)$ и $C\left(\frac{2}{3}\right)$.

Подставляем значения $x_A = \frac{1}{4}$ и $x_C = \frac{2}{3}$ в формулу:

$x_B = 2 \cdot \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4}{3} - \frac{1}{4}$

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен 12:

$x_B = \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{16}{12} - \frac{3}{12} = \frac{16 - 3}{12} = \frac{13}{12} = 1\frac{1}{12}$

Координата точки $B$ равна $1\frac{1}{12}$.

Ответ: $B\left(1\frac{1}{12}\right)$.

1036. Найдите координаты точек, делящих отрезок AB на три равные части:

а) $A(5), B(9\frac{1}{2});$

б) $A(\frac{1}{3}), B(\frac{2}{9}).$

а) A(5), B($9\frac{1}{2}$)

Чтобы найти координаты точек, которые делят отрезок на три равные части, сначала найдем длину всего отрезка AB. Координата точки A равна $x_A=5$, а точки B — $x_B=9\frac{1}{2}$.

1. Найдем длину отрезка AB как модуль разности координат его концов:

$|x_B - x_A| = |9\frac{1}{2} - 5| = 4\frac{1}{2}$.

2. Разделим длину отрезка на 3, чтобы найти длину каждой из трех равных частей:

$d = 4\frac{1}{2} \div 3 = \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.

3. Найдем координаты искомых точек. Так как $x_A < x_B$, будем прибавлять полученную длину $d$ к координате точки A.

Координата первой точки (ближайшей к A):

$x_1 = x_A + d = 5 + 1\frac{1}{2} = 6\frac{1}{2}$.

Координата второй точки:

$x_2 = x_1 + d = 6\frac{1}{2} + 1\frac{1}{2} = 8$.

Таким образом, искомые точки имеют координаты $6\frac{1}{2}$ и 8.

Ответ: $6\frac{1}{2}$ и 8.

б) A($\frac{1}{3}$), B($\frac{2}{9}$)

Поступаем аналогично. Координаты концов отрезка: $x_A=\frac{1}{3}$ и $x_B=\frac{2}{9}$.

1. Найдем длину отрезка AB:

$|x_B - x_A| = |\frac{2}{9} - \frac{1}{3}| = |\frac{2}{9} - \frac{3}{9}| = |-\frac{1}{9}| = \frac{1}{9}$.

2. Найдем длину каждой из трех равных частей:

$d = \frac{1}{9} \div 3 = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{27}$.

3. Сравним координаты концов: $x_A = \frac{1}{3} = \frac{9}{27}$ и $x_B = \frac{2}{9} = \frac{6}{27}$. Так как $x_B < x_A$, точка B находится левее на координатной оси. Будем прибавлять длину $d$ к координате точки B.

Координата первой точки (ближайшей к B):

$x_1 = x_B + d = \frac{2}{9} + \frac{1}{27} = \frac{6}{27} + \frac{1}{27} = \frac{7}{27}$.

Координата второй точки:

$x_2 = x_1 + d = \frac{7}{27} + \frac{1}{27} = \frac{8}{27}$.

Таким образом, искомые точки имеют координаты $\frac{7}{27}$ и $\frac{8}{27}$.

Ответ: $\frac{7}{27}$ и $\frac{8}{27}$.

1037. Найдите среднее арифметическое чисел:

а) 4 и 6;

б) 3 и $\frac{1}{2}$;

в) $1\frac{1}{8}$ и $\frac{1}{2}$;

г) $3\frac{2}{3}$ и $2\frac{1}{4}$.

Среднее арифметическое нескольких чисел — это частное от деления суммы этих чисел на их количество. Чтобы найти среднее арифметическое двух чисел, нужно сложить эти числа и результат разделить на 2.

а)

Найдем среднее арифметическое чисел 4 и 6.

1. Сложим данные числа: $4 + 6 = 10$.

2. Разделим полученную сумму на количество чисел, то есть на 2: $10 \div 2 = 5$.

Ответ: 5

б)

Найдем среднее арифметическое чисел 3 и $\frac{1}{2}$.

1. Сложим данные числа: $3 + \frac{1}{2} = 3\frac{1}{2}$.

2. Представим полученную сумму в виде неправильной дроби: $3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$.

3. Разделим сумму на 2: $\frac{7}{2} \div 2 = \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{4}$.

4. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$.

Ответ: $1\frac{3}{4}$

в)

Найдем среднее арифметическое чисел $1\frac{1}{8}$ и $\frac{1}{2}$.

1. Сложим данные числа. Для этого сначала приведем дробь $\frac{1}{2}$ к знаменателю 8: $\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8}$.

$1\frac{1}{8} + \frac{4}{8} = 1\frac{1+4}{8} = 1\frac{5}{8}$.

2. Представим полученную сумму в виде неправильной дроби: $1\frac{5}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{13}{8}$.

3. Разделим сумму на 2: $\frac{13}{8} \div 2 = \frac{13}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{13}{16}$.

Ответ: $\frac{13}{16}$

г)

Найдем среднее арифметическое чисел $3\frac{2}{3}$ и $2\frac{1}{4}$.

1. Сложим данные числа. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 12.

$3\frac{2}{3} + 2\frac{1}{4} = 3\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} + 2\frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = 3\frac{8}{12} + 2\frac{3}{12}$.

Сложим целые и дробные части: $(3+2) + (\frac{8}{12} + \frac{3}{12}) = 5 + \frac{11}{12} = 5\frac{11}{12}$.

2. Представим полученную сумму в виде неправильной дроби: $5\frac{11}{12} = \frac{5 \cdot 12 + 11}{12} = \frac{60 + 11}{12} = \frac{71}{12}$.

3. Разделим сумму на 2: $\frac{71}{12} \div 2 = \frac{71}{12} \cdot \frac{1}{2} = \frac{71}{24}$.

4. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{71}{24} = 2\frac{23}{24}$ (так как $71 = 2 \cdot 24 + 23$).

Ответ: $2\frac{23}{24}$

1038. На рисунке 170 указаны координаты точек А и В, найдите координаты точек С и D.

а) A($a$), C, B($b$)

б) A($a$), B($\frac{a+b}{2}$), C

в) A($a$), B($\frac{a+b}{2}$), C, D

г) A($a$), C, D, B($b$)

Рис. 170

а)

На рисунке точка C является серединой отрезка AB. Координаты концов отрезка — A($a$) и B($b$). Координата середины отрезка вычисляется как среднее арифметическое координат его концов.

Координата точки C = $\frac{a + b}{2}$.

Ответ: C($\frac{a + b}{2}$).

б)

На рисунке видно, что точка B является серединой отрезка AC. Координаты точек A и B известны: A($a$) и B($\frac{a + b}{2}$). Обозначим координату точки C как $c$.

Так как B — середина AC, ее координата равна среднему арифметическому координат точек A и C:

$\frac{a + c}{2} = \frac{a + b}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$a + c = a + b$

Вычтем $a$ из обеих частей:

$c = b$

Следовательно, координата точки C равна $b$.

Ответ: C($b$).

в)

На рисунке точки A, B, C, D расположены на равных расстояниях друг от друга, то есть $AB = BC = CD$. Найдем длину одного такого отрезка, используя координаты точек A и B.

Длина отрезка AB = координата B - координата A:

$AB = \frac{a + b}{2} - a = \frac{a + b - 2a}{2} = \frac{b - a}{2}$.

Координата точки C находится прибавлением длины отрезка BC (равного AB) к координате точки B:

Координата C = (координата B) + $BC = \frac{a + b}{2} + \frac{b - a}{2} = \frac{a + b + b - a}{2} = \frac{2b}{2} = b$.

Координата точки D находится прибавлением длины отрезка CD (равного AB) к координате точки C:

Координата D = (координата C) + $CD = b + \frac{b - a}{2} = \frac{2b}{2} + \frac{b - a}{2} = \frac{2b + b - a}{2} = \frac{3b - a}{2}$.

Ответ: C($b$); D($\frac{3b - a}{2}$).

г)

На рисунке точки C и D делят отрезок AB на три равные части: $AC = CD = DB$.

Сначала найдем длину всего отрезка AB:

$AB = b - a$.

Длина каждой из трех равных частей составляет $\frac{1}{3}$ длины отрезка AB:

$AC = CD = DB = \frac{b - a}{3}$.

Чтобы найти координату точки C, нужно к координате точки A прибавить длину отрезка AC:

Координата C = (координата A) + $AC = a + \frac{b - a}{3} = \frac{3a}{3} + \frac{b - a}{3} = \frac{3a + b - a}{3} = \frac{2a + b}{3}$.

Чтобы найти координату точки D, нужно к координате точки C прибавить длину отрезка CD:

Координата D = (координата C) + $CD = \frac{2a + b}{3} + \frac{b - a}{3} = \frac{2a + b + b - a}{3} = \frac{a + 2b}{3}$.

Ответ: C($\frac{2a + b}{3}$); D($\frac{a + 2b}{3}$).

1039. Найдите среднее арифметическое чисел:

а) 5, 3, 7;

б) 1, 2, 10;

в) 12, 15, 18;

г) 1, 2, 5, 12;

д) 100, 200, 300;

е) 3, 4, 5, 6, 7.

Среднее арифметическое — это сумма всех чисел, делённая на их количество.

а) Даны числа 5, 3, 7. В наборе 3 числа.

1. Найдём сумму чисел: $5 + 3 + 7 = 15$.

2. Разделим сумму на количество чисел: $\frac{15}{3} = 5$.

Ответ: 5

б) Даны числа 1, 2, 10. В наборе 3 числа.

1. Найдём сумму чисел: $1 + 2 + 10 = 13$.

2. Разделим сумму на количество чисел: $\frac{13}{3} = 4\frac{1}{3}$.

Ответ: $4\frac{1}{3}$

в) Даны числа 12, 15, 18. В наборе 3 числа.

1. Найдём сумму чисел: $12 + 15 + 18 = 45$.

2. Разделим сумму на количество чисел: $\frac{45}{3} = 15$.

Ответ: 15

г) Даны числа 1, 2, 5, 12. В наборе 4 числа.

1. Найдём сумму чисел: $1 + 2 + 5 + 12 = 20$.

2. Разделим сумму на количество чисел: $\frac{20}{4} = 5$.

Ответ: 5

д) Даны числа 100, 200, 300. В наборе 3 числа.

1. Найдём сумму чисел: $100 + 200 + 300 = 600$.

2. Разделим сумму на количество чисел: $\frac{600}{3} = 200$.

Ответ: 200

е) Даны числа 3, 4, 5, 6, 7. В наборе 5 чисел.

1. Найдём сумму чисел: $3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25$.

2. Разделим сумму на количество чисел: $\frac{25}{5} = 5$.

Ответ: 5

1040. a) Среднее арифметическое двух чисел равно 5. Найдите сумму этих чисел.

б) Среднее арифметическое пяти чисел равно 2. Найдите сумму этих чисел.

а) Среднее арифметическое чисел — это частное от деления суммы этих чисел на их количество. По определению, чтобы найти сумму чисел, зная их среднее арифметическое, нужно среднее арифметическое умножить на количество этих чисел.
В данной задаче среднее арифметическое двух чисел равно 5. Количество чисел — 2.
Следовательно, чтобы найти сумму этих двух чисел, нужно их среднее арифметическое умножить на их количество:
Сумма = $5 \times 2 = 10$
Ответ: 10

б) Аналогично предыдущему пункту, чтобы найти сумму пяти чисел, нужно их среднее арифметическое умножить на их количество.
В данной задаче среднее арифметическое пяти чисел равно 2. Количество чисел — 5.
Следовательно, чтобы найти сумму этих пяти чисел, нужно их среднее арифметическое умножить на их количество:
Сумма = $2 \times 5 = 10$
Ответ: 10

1041. Средний возраст одиннадцати игроков футбольной команды 21 год. Во время матча один из игроков получил травму и ушёл с поля. Средний возраст оставшихся игроков оказался равным $20 \frac{4}{5}$ года. Сколько лет игроку, получившему травму?

Для решения этой задачи необходимо найти суммарный возраст игроков до и после ухода одного из них, а затем найти разницу этих сумм.

1. Сначала вычислим суммарный возраст одиннадцати игроков команды. Для этого умножим количество игроков на их средний возраст:
$11 \text{ игроков} \times 21 \text{ год} = 231 \text{ год}$.

2. После того как один игрок ушел с поля, в команде осталось $11 - 1 = 10$ игроков. Их средний возраст составил $20\frac{4}{5}$ года. Вычислим суммарный возраст оставшихся десяти игроков. Для удобства расчетов переведем смешанное число в неправильную дробь:
$20\frac{4}{5} = \frac{20 \times 5 + 4}{5} = \frac{104}{5}$.
Теперь найдем суммарный возраст десяти игроков:
$10 \text{ игроков} \times \frac{104}{5} \text{ года} = \frac{10 \times 104}{5} = 2 \times 104 = 208 \text{ лет}$.

3. Возраст игрока, который получил травму, равен разности суммарного возраста одиннадцати игроков и суммарного возраста десяти игроков:
$231 \text{ год} - 208 \text{ лет} = 23 \text{ года}$.

Ответ: 23 года.