Номер 1038, страница 229 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1038. На рисунке 170 указаны координаты точек А и В, найдите координаты точек С и D.

а) A($a$), C, B($b$)

б) A($a$), B($\frac{a+b}{2}$), C

в) A($a$), B($\frac{a+b}{2}$), C, D

г) A($a$), C, D, B($b$)

Рис. 170

а)

На рисунке точка C является серединой отрезка AB. Координаты концов отрезка — A($a$) и B($b$). Координата середины отрезка вычисляется как среднее арифметическое координат его концов.

Координата точки C = $\frac{a + b}{2}$.

Ответ: C($\frac{a + b}{2}$).

б)

На рисунке видно, что точка B является серединой отрезка AC. Координаты точек A и B известны: A($a$) и B($\frac{a + b}{2}$). Обозначим координату точки C как $c$.

Так как B — середина AC, ее координата равна среднему арифметическому координат точек A и C:

$\frac{a + c}{2} = \frac{a + b}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$a + c = a + b$

Вычтем $a$ из обеих частей:

$c = b$

Следовательно, координата точки C равна $b$.

Ответ: C($b$).

в)

На рисунке точки A, B, C, D расположены на равных расстояниях друг от друга, то есть $AB = BC = CD$. Найдем длину одного такого отрезка, используя координаты точек A и B.

Длина отрезка AB = координата B - координата A:

$AB = \frac{a + b}{2} - a = \frac{a + b - 2a}{2} = \frac{b - a}{2}$.

Координата точки C находится прибавлением длины отрезка BC (равного AB) к координате точки B:

Координата C = (координата B) + $BC = \frac{a + b}{2} + \frac{b - a}{2} = \frac{a + b + b - a}{2} = \frac{2b}{2} = b$.

Координата точки D находится прибавлением длины отрезка CD (равного AB) к координате точки C:

Координата D = (координата C) + $CD = b + \frac{b - a}{2} = \frac{2b}{2} + \frac{b - a}{2} = \frac{2b + b - a}{2} = \frac{3b - a}{2}$.

Ответ: C($b$); D($\frac{3b - a}{2}$).

г)

На рисунке точки C и D делят отрезок AB на три равные части: $AC = CD = DB$.

Сначала найдем длину всего отрезка AB:

$AB = b - a$.

Длина каждой из трех равных частей составляет $\frac{1}{3}$ длины отрезка AB:

$AC = CD = DB = \frac{b - a}{3}$.

Чтобы найти координату точки C, нужно к координате точки A прибавить длину отрезка AC:

Координата C = (координата A) + $AC = a + \frac{b - a}{3} = \frac{3a}{3} + \frac{b - a}{3} = \frac{3a + b - a}{3} = \frac{2a + b}{3}$.

Чтобы найти координату точки D, нужно к координате точки C прибавить длину отрезка CD:

Координата D = (координата C) + $CD = \frac{2a + b}{3} + \frac{b - a}{3} = \frac{2a + b + b - a}{3} = \frac{a + 2b}{3}$.

Ответ: C($\frac{2a + b}{3}$); D($\frac{a + 2b}{3}$).