Страница 224 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

?1017. Как умножают и делят смешанные дроби?

Чтобы умножать или делить смешанные дроби, их необходимо сначала преобразовать в неправильные дроби. После выполнения операции, если результат является неправильной дробью, его следует снова преобразовать в смешанную дробь.

Как умножают смешанные дроби

Для умножения смешанных дробей необходимо выполнить следующие шаги:

1. Преобразовать каждую смешанную дробь в неправильную. Для этого целую часть умножают на знаменатель и прибавляют числитель. Результат записывают в числитель новой дроби, а знаменатель оставляют прежним. Формула: $A\frac{b}{c} = \frac{A \cdot c + b}{c}$.
2. Умножить полученные неправильные дроби. Числитель первой дроби умножается на числитель второй, а знаменатель первой — на знаменатель второй. Формула: $\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{e} = \frac{a \cdot d}{b \cdot e}$.
3. Если в результате получилась неправильная дробь, выделить из нее целую часть, то есть снова преобразовать в смешанную дробь.

Пример:

Умножим $2\frac{1}{3}$ на $1\frac{3}{4}$.

1. Преобразуем смешанные дроби в неправильные:

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

$1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$

2. Перемножим полученные дроби:

$\frac{7}{3} \cdot \frac{7}{4} = \frac{7 \cdot 7}{3 \cdot 4} = \frac{49}{12}$

3. Преобразуем результат в смешанную дробь:

$\frac{49}{12} = 4\frac{1}{12}$

Ответ: Чтобы умножить смешанные дроби, их представляют в виде неправильных дробей, а затем перемножают как обыкновенные дроби.

Как делят смешанные дроби

Для деления смешанных дробей необходимо выполнить следующие шаги:

1. Преобразовать каждую смешанную дробь в неправильную, как и при умножении.
2. Выполнить деление неправильных дробей. Деление заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь. То есть, первую дробь умножают на дробь, в которой числитель и знаменатель второй дроби поменялись местами. Формула: $\frac{a}{b} \div \frac{d}{e} = \frac{a}{b} \cdot \frac{e}{d} = \frac{a \cdot e}{b \cdot d}$.
3. Если в результате получилась неправильная дробь, выделить из нее целую часть.

Пример:

Разделим $3\frac{1}{2}$ на $1\frac{3}{4}$.

1. Преобразуем смешанные дроби в неправильные:

$3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$

$1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$

2. Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$\frac{7}{2} \div \frac{7}{4} = \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{7}$

3. Перемножим дроби и сократим, если возможно:

$\frac{7 \cdot 4}{2 \cdot 7} = \frac{28}{14} = 2$

Ответ: Чтобы разделить смешанные дроби, их представляют в виде неправильных дробей, а затем выполняют деление по правилу деления обыкновенных дробей (умножают делимое на дробь, обратную делителю).

Вычислите произведение (1018, 1019).

1018. а) $1\frac{1}{5} \cdot 2$;

б) $2\frac{1}{5} \cdot 3$;

в) $8 \cdot 3\frac{1}{4}$;

г) $3\frac{2}{7} \cdot 8$;

д) $2 \cdot 5\frac{3}{4}$;

е) $2\frac{4}{5} \cdot 9$;

ж) $12 \cdot 5\frac{2}{3}$;

з) $21\frac{1}{9} \cdot 9$.

а) Чтобы умножить смешанное число $1\frac{1}{5}$ на целое число 2, представим смешанное число в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$. Затем умножим полученную дробь на 2: $\frac{6}{5} \cdot 2 = \frac{6 \cdot 2}{5} = \frac{12}{5}$. В конце преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число, выделив целую часть: $\frac{12}{5} = 2\frac{2}{5}$.
Ответ: $2\frac{2}{5}$.

б) Представим смешанное число $2\frac{1}{5}$ в виде неправильной дроби: $2\frac{1}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{11}{5}$. Умножим дробь на 3: $\frac{11}{5} \cdot 3 = \frac{11 \cdot 3}{5} = \frac{33}{5}$. Выделим целую часть из результата: $\frac{33}{5} = 6\frac{3}{5}$.
Ответ: $6\frac{3}{5}$.

в) Для вычисления произведения $8 \cdot 3\frac{1}{4}$ сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{13}{4}$. Теперь выполним умножение: $8 \cdot \frac{13}{4} = \frac{8 \cdot 13}{4}$. Сократим дробь, разделив числитель 8 и знаменатель 4 на их общий делитель 4: $\frac{^2\cancel{8} \cdot 13}{_1\cancel{4}} = 2 \cdot 13 = 26$.
Ответ: 26.

г) Переведем смешанное число $3\frac{2}{7}$ в неправильную дробь: $3\frac{2}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{23}{7}$. Умножим полученную дробь на 8: $\frac{23}{7} \cdot 8 = \frac{23 \cdot 8}{7} = \frac{184}{7}$. Преобразуем результат в смешанное число: $\frac{184}{7} = 26\frac{2}{7}$ (так как $184 = 26 \cdot 7 + 2$).
Ответ: $26\frac{2}{7}$.

д) Представим смешанное число $5\frac{3}{4}$ в виде неправильной дроби: $5\frac{3}{4} = \frac{5 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{23}{4}$. Умножим 2 на эту дробь: $2 \cdot \frac{23}{4} = \frac{2 \cdot 23}{4}$. Сократим дробь на 2: $\frac{^1\cancel{2} \cdot 23}{_2\cancel{4}} = \frac{23}{2}$. Выделим целую часть: $\frac{23}{2} = 11\frac{1}{2}$.
Ответ: $11\frac{1}{2}$.

е) Преобразуем смешанное число $2\frac{4}{5}$ в неправильную дробь: $2\frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{14}{5}$. Умножим дробь на 9: $\frac{14}{5} \cdot 9 = \frac{14 \cdot 9}{5} = \frac{126}{5}$. Выделим целую часть: $\frac{126}{5} = 25\frac{1}{5}$ (так как $126 = 25 \cdot 5 + 1$).
Ответ: $25\frac{1}{5}$.

ж) Переведем смешанное число $5\frac{2}{3}$ в неправильную дробь: $5\frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{17}{3}$. Выполним умножение: $12 \cdot \frac{17}{3} = \frac{12 \cdot 17}{3}$. Сократим дробь на 3: $\frac{^4\cancel{12} \cdot 17}{_1\cancel{3}} = 4 \cdot 17 = 68$.
Ответ: 68.

з) В этом примере удобно применить распределительное свойство умножения. Представим смешанное число в виде суммы целой и дробной частей: $21\frac{1}{9} = 21 + \frac{1}{9}$. Теперь умножим эту сумму на 9: $(21 + \frac{1}{9}) \cdot 9 = 21 \cdot 9 + \frac{1}{9} \cdot 9 = 189 + 1 = 190$.
Ответ: 190.

1019. а) $1\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{6}$;

б) $2\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3}$;

в) $\frac{7}{9} \cdot 4\frac{1}{2}$;

г) $\frac{3}{7} \cdot 3\frac{1}{3}$;

д) $1\frac{1}{2} \cdot 1\frac{1}{3}$;

е) $2\frac{1}{2} \cdot 1\frac{3}{5}$;

ж) $7\frac{2}{3} \cdot 2\frac{1}{4}$;

з) $5\frac{2}{5} \cdot 1\frac{1}{9}$.

а) $1\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{6}$. Для выполнения умножения переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$. Теперь умножим дроби: $\frac{6}{5} \cdot \frac{1}{6} = \frac{6 \cdot 1}{5 \cdot 6}$. Сокращаем одинаковые множители (6) в числителе и знаменателе и получаем $\frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$

б) $2\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3}$. Переведем смешанное число $2\frac{2}{5}$ в неправильную дробь: $2\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{12}{5}$. Выполним умножение: $\frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12 \cdot 2}{5 \cdot 3}$. Сократим 12 и 3 на 3: $\frac{4 \cdot 2}{5} = \frac{8}{5}$. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{8}{5} = 1\frac{3}{5}$.
Ответ: $1\frac{3}{5}$

в) $\frac{7}{9} \cdot 4\frac{1}{2}$. Переведем смешанное число $4\frac{1}{2}$ в неправильную дробь: $4\frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{9}{2}$. Выполним умножение: $\frac{7}{9} \cdot \frac{9}{2} = \frac{7 \cdot 9}{9 \cdot 2}$. Сокращаем 9 в числителе и знаменателе: $\frac{7}{2}$. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$.
Ответ: $3\frac{1}{2}$

г) $\frac{3}{7} \cdot 3\frac{1}{3}$. Переведем смешанное число $3\frac{1}{3}$ в неправильную дробь: $3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$. Выполним умножение: $\frac{3}{7} \cdot \frac{10}{3} = \frac{3 \cdot 10}{7 \cdot 3}$. Сокращаем 3 в числителе и знаменателе: $\frac{10}{7}$. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{10}{7} = 1\frac{3}{7}$.
Ответ: $1\frac{3}{7}$

д) $1\frac{1}{2} \cdot 1\frac{1}{3}$. Переведем оба смешанных числа в неправильные дроби: $1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$ и $1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$. Выполним умножение: $\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 3}$. Сократим 3 в числителе и знаменателе, а также 4 и 2 на 2: $\frac{4}{2} = 2$.
Ответ: $2$

е) $2\frac{1}{2} \cdot 1\frac{3}{5}$. Переведем оба смешанных числа в неправильные дроби: $2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$ и $1\frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{8}{5}$. Выполним умножение: $\frac{5}{2} \cdot \frac{8}{5} = \frac{5 \cdot 8}{2 \cdot 5}$. Сократим 5 в числителе и знаменателе, а также 8 и 2 на 2: $\frac{8}{2} = 4$.
Ответ: $4$

ж) $7\frac{2}{3} \cdot 2\frac{1}{4}$. Переведем оба смешанных числа в неправильные дроби: $7\frac{2}{3} = \frac{7 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{23}{3}$ и $2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$. Выполним умножение: $\frac{23}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{23 \cdot 9}{3 \cdot 4}$. Сократим 9 и 3 на 3: $\frac{23 \cdot 3}{4} = \frac{69}{4}$. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $69 \div 4 = 17$ с остатком 1, то есть $17\frac{1}{4}$.
Ответ: $17\frac{1}{4}$

з) $5\frac{2}{5} \cdot 1\frac{1}{9}$. Переведем оба смешанных числа в неправильные дроби: $5\frac{2}{5} = \frac{5 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{27}{5}$ и $1\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{10}{9}$. Выполним умножение: $\frac{27}{5} \cdot \frac{10}{9} = \frac{27 \cdot 10}{5 \cdot 9}$. Сократим 27 и 9 на 9, а 10 и 5 на 5: $\frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 6$.
Ответ: $6$

1020. Для чисел $1 \frac{1}{2}$, $2 \frac{1}{3}$, $2 \frac{2}{5}$, $1 \frac{4}{7}$ укажите обратные им числа.

Чтобы найти число, обратное смешанному числу, нужно выполнить два шага:
1. Преобразовать смешанное число в неправильную дробь. Для этого целую часть умножают на знаменатель, прибавляют числитель и результат записывают в числитель новой дроби, а знаменатель оставляют прежним.
2. Для полученной неправильной дроби найти обратную, то есть поменять местами её числитель и знаменатель.

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1.

Для числа $1\frac{1}{2}$

1. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

2. Найдём обратное число для дроби $\frac{3}{2}$, поменяв местами числитель и знаменатель. Это будет дробь $\frac{2}{3}$.

Проверка: $1\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{6}{6} = 1$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

Для числа $2\frac{1}{3}$

1. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

2. Обратным числом для $\frac{7}{3}$ будет $\frac{3}{7}$.

Проверка: $2\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{7} = \frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7} = \frac{21}{21} = 1$.

Ответ: $\frac{3}{7}$.

Для числа $2\frac{2}{5}$

1. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{12}{5}$

2. Обратным числом для $\frac{12}{5}$ будет $\frac{5}{12}$.

Проверка: $2\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{12} = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{12} = \frac{60}{60} = 1$.

Ответ: $\frac{5}{12}$.

Для числа $1\frac{4}{7}$

1. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{4}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{11}{7}$

2. Обратным числом для $\frac{11}{7}$ будет $\frac{7}{11}$.

Проверка: $1\frac{4}{7} \cdot \frac{7}{11} = \frac{11}{7} \cdot \frac{7}{11} = \frac{77}{77} = 1$.

Ответ: $\frac{7}{11}$.

1021. a) Известно, что $a \cdot b = 1$, $a = \frac{2}{5}$. Найдите $b$.

б) Известно, что $a \cdot b = 1$, $b = 2\frac{2}{7}$. Найдите $a$.

а)

По условию задачи дано уравнение $a \cdot b = 1$ и известно, что $a = \frac{2}{5}$.

Чтобы найти значение $b$, выразим его из уравнения. Для этого нужно разделить 1 на $a$:

$b = 1 : a$

Подставим известное значение $a$ в полученное выражение:

$b = 1 : \frac{2}{5}$

Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь. Обратная дробь для $\frac{2}{5}$ — это $\frac{5}{2}$.

$b = 1 \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$

Преобразуем неправильную дробь $\frac{5}{2}$ в смешанное число:

$\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$

Таким образом, $b = 2\frac{1}{2}$.

Ответ: $2\frac{1}{2}$

б)

По условию задачи дано уравнение $a \cdot b = 1$ и известно, что $b = 2\frac{2}{7}$.

Чтобы найти значение $a$, выразим его из уравнения, разделив 1 на $b$:

$a = 1 : b$

Подставим известное значение $b$:

$a = 1 : 2\frac{2}{7}$

Для выполнения деления сначала преобразуем смешанное число $2\frac{2}{7}$ в неправильную дробь:

$2\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{14 + 2}{7} = \frac{16}{7}$

Теперь выполним деление:

$a = 1 : \frac{16}{7}$

Деление на дробь заменяем умножением на обратную ей дробь:

$a = 1 \cdot \frac{7}{16} = \frac{7}{16}$

Таким образом, $a = \frac{7}{16}$.

Ответ: $\frac{7}{16}$

1022 Могут ли два взаимно обратных числа одновременно являться смешанными дробями?

Чтобы ответить на этот вопрос, давайте разберемся со свойствами взаимно обратных чисел и смешанных дробей.

Взаимно обратные числа — это два числа, произведение которых равно 1. Если одно число равно $a$, то обратное ему число равно $\frac{1}{a}$. Например, 2 и $\frac{1}{2}$.

Смешанная дробь (или смешанное число) — это число, состоящее из целой и дробной части. Важным свойством смешанной дроби является то, что она всегда больше 1 (если мы говорим о положительных числах). Например, $1\frac{1}{2} = 1.5$, что больше 1.

Теперь предположим, что два взаимно обратных числа, назовем их $x$ и $y$, одновременно являются смешанными дробями.

1. Раз они взаимно обратные, то их произведение должно быть равно 1:
$x \cdot y = 1$

2. Раз они оба являются смешанными дробями, то каждое из них должно быть больше 1:
$x > 1$
$y > 1$

Однако, если мы перемножим два числа, каждое из которых больше единицы, их произведение также будет больше единицы. То есть, если $x > 1$ и $y > 1$, то $x \cdot y > 1$.

Мы получили противоречие. С одной стороны, произведение чисел должно быть равно 1 (по определению взаимно обратных чисел). С другой стороны, оно должно быть больше 1 (так как оба числа — смешанные дроби). Такое невозможно.

Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: Нет, не могут.

Вычислите частное (1023, 1024).

1023. a) $1\frac{1}{5} : 2$;

б) $2\frac{2}{5} : 3$;

в) $9 : 2\frac{1}{4}$;

г) $3\frac{1}{7} : 2$;

д) $2 : 5\frac{1}{3}$;

е) $2\frac{4}{5} : 7$;

ж) $12 : 2\frac{2}{3}$;

з) $21\frac{1}{4} : 5$.

а) Чтобы разделить смешанное число на целое, сначала преобразуем смешанное число $1\frac{1}{5}$ в неправильную дробь:
$1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$
Теперь разделим полученную дробь на 2. Деление на число равносильно умножению на обратное ему число:
$\frac{6}{5} : 2 = \frac{6}{5} : \frac{2}{1} = \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6 \cdot 1}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10}$
Сократим полученную дробь на 2:
$\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
Ответ: $\frac{3}{5}$

б) Преобразуем смешанное число $2\frac{2}{5}$ в неправильную дробь:
$2\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{12}{5}$
Выполним деление, заменив его умножением на обратное число:
$\frac{12}{5} : 3 = \frac{12}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{12}{15}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 3:
$\frac{12 \div 3}{15 \div 3} = \frac{4}{5}$
Ответ: $\frac{4}{5}$

в) Чтобы разделить целое число на смешанное, представим смешанное число $2\frac{1}{4}$ в виде неправильной дроби:
$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$
Теперь выполним деление:
$9 : \frac{9}{4} = 9 \cdot \frac{4}{9} = \frac{9 \cdot 4}{9}$
Сократим девятки в числителе и знаменателе:
$\frac{9 \cdot 4}{9} = 4$
Ответ: $4$

г) Переведем смешанное число $3\frac{1}{7}$ в неправильную дробь:
$3\frac{1}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{22}{7}$
Разделим полученную дробь на 2:
$\frac{22}{7} : 2 = \frac{22}{7} \cdot \frac{1}{2} = \frac{22}{14}$
Сократим дробь на 2:
$\frac{22 \div 2}{14 \div 2} = \frac{11}{7}$
Представим результат в виде смешанного числа:
$\frac{11}{7} = 1\frac{4}{7}$
Ответ: $1\frac{4}{7}$

д) Представим смешанное число $5\frac{1}{3}$ в виде неправильной дроби:
$5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3}$
Выполним деление, представив 2 как $\frac{2}{1}$:
$2 : \frac{16}{3} = \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{16} = \frac{2 \cdot 3}{1 \cdot 16} = \frac{6}{16}$
Сократим полученную дробь на 2:
$\frac{6 \div 2}{16 \div 2} = \frac{3}{8}$
Ответ: $\frac{3}{8}$

е) Преобразуем смешанное число $2\frac{4}{5}$ в неправильную дробь:
$2\frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{14}{5}$
Выполним деление:
$\frac{14}{5} : 7 = \frac{14}{5} \cdot \frac{1}{7} = \frac{14 \cdot 1}{5 \cdot 7} = \frac{14}{35}$
Сократим дробь на 7:
$\frac{14 \div 7}{35 \div 7} = \frac{2}{5}$
Ответ: $\frac{2}{5}$

ж) Представим смешанное число $2\frac{2}{3}$ в виде неправильной дроби:
$2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$
Выполним деление:
$12 : \frac{8}{3} = 12 \cdot \frac{3}{8} = \frac{12 \cdot 3}{8} = \frac{36}{8}$
Сократим дробь на 4:
$\frac{36 \div 4}{8 \div 4} = \frac{9}{2}$
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{9}{2} = 4\frac{1}{2}$
Ответ: $4\frac{1}{2}$

з) Переведем смешанное число $21\frac{1}{4}$ в неправильную дробь:
$21\frac{1}{4} = \frac{21 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{84+1}{4} = \frac{85}{4}$
Выполним деление:
$\frac{85}{4} : 5 = \frac{85}{4} \cdot \frac{1}{5} = \frac{85 \cdot 1}{4 \cdot 5} = \frac{85}{20}$
Сократим дробь на 5:
$\frac{85 \div 5}{20 \div 5} = \frac{17}{4}$
Представим результат в виде смешанного числа:
$\frac{17}{4} = 4\frac{1}{4}$
Ответ: $4\frac{1}{4}$

1024. a) $1\frac{1}{5} : \frac{1}{5}$;

б) $2\frac{2}{5} : \frac{2}{3}$;

в) $\frac{5}{9} : 4\frac{1}{6}$;

г) $\frac{5}{6} : 3\frac{1}{3}$;

д) $2\frac{1}{2} : 1\frac{2}{3}$;

е) $3\frac{1}{2} : 1\frac{3}{4}$;

ж) $2\frac{2}{5} : 1\frac{1}{5}$;

з) $5\frac{2}{5} : 1\frac{1}{9}$.

а) Чтобы разделить смешанное число на дробь, сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь.

$1\frac{1}{5} : \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} : \frac{1}{5} = \frac{6}{5} : \frac{1}{5}$
Теперь умножим первую дробь на дробь, обратную второй (перевернутую):
$\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{1} = \frac{6 \cdot \cancel{5}}{\cancel{5} \cdot 1} = \frac{6}{1} = 6$
Ответ: 6.

б) Преобразуем смешанное число $2\frac{2}{5}$ в неправильную дробь и выполним деление, заменив его на умножение на обратную дробь.

$2\frac{2}{5} : \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5 + 2}{5} : \frac{2}{3} = \frac{12}{5} : \frac{2}{3}$
$\frac{12}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{\cancel{12}^6 \cdot 3}{5 \cdot \cancel{2}^1} = \frac{6 \cdot 3}{5} = \frac{18}{5}$
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{18}{5} = 3\frac{3}{5}$
Ответ: $3\frac{3}{5}$.

в) Преобразуем смешанное число $4\frac{1}{6}$ в неправильную дробь и выполним деление.

$\frac{5}{9} : 4\frac{1}{6} = \frac{5}{9} : \frac{4 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{5}{9} : \frac{25}{6}$
Умножим на обратную дробь и сократим:
$\frac{5}{9} \cdot \frac{6}{25} = \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{9}^3} \cdot \frac{\cancel{6}^2}{\cancel{25}^5} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{2}{15}$
Ответ: $\frac{2}{15}$.

г) Преобразуем смешанное число $3\frac{1}{3}$ в неправильную дробь и выполним деление.

$\frac{5}{6} : 3\frac{1}{3} = \frac{5}{6} : \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{5}{6} : \frac{10}{3}$
Умножим на обратную дробь и сократим:
$\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{10} = \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{6}^2} \cdot \frac{\cancel{3}^1}{\cancel{10}^2} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$.

д) Преобразуем оба смешанных числа в неправильные дроби.

$2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$
$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$
Теперь разделим полученные дроби:
$\frac{5}{2} : \frac{5}{3} = \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{\cancel{5} \cdot 3}{2 \cdot \cancel{5}} = \frac{3}{2}$
Преобразуем результат в смешанное число: $\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.
Ответ: $1\frac{1}{2}$.

е) Преобразуем оба смешанных числа в неправильные дроби.

$3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$
$1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$
Теперь разделим полученные дроби:
$\frac{7}{2} : \frac{7}{4} = \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{7} = \frac{\cancel{7} \cdot \cancel{4}^2}{\cancel{2}^1 \cdot \cancel{7}} = \frac{2}{1} = 2$
Ответ: 2.

ж) Преобразуем оба смешанных числа в неправильные дроби.

$2\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{12}{5}$
$1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$
Теперь разделим полученные дроби:
$\frac{12}{5} : \frac{6}{5} = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{\cancel{12}^2 \cdot \cancel{5}}{\cancel{5} \cdot \cancel{6}^1} = \frac{2}{1} = 2$
Ответ: 2.

з) Преобразуем оба смешанных числа в неправильные дроби.

$5\frac{2}{5} = \frac{5 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{27}{5}$
$1\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{10}{9}$
Теперь разделим полученные дроби:
$\frac{27}{5} : \frac{10}{9} = \frac{27}{5} \cdot \frac{9}{10} = \frac{27 \cdot 9}{5 \cdot 10} = \frac{243}{50}$
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{243}{50} = 4\frac{43}{50}$
Ответ: $4\frac{43}{50}$.