Страница 225 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

Вычислите, используя распределительный закон (1025, 1026).

1025. a) $1\frac{1}{3} \cdot 2 = \left(1+\frac{1}{3}\right) \cdot 2 = 1 \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot 2 = 2 + \frac{2}{3} = 2\frac{2}{3};$

б) $1\frac{1}{5} \cdot 2;$

в) $2\frac{1}{5} \cdot 3;$

г) $3\frac{1}{4} \cdot 3;$

д) $2\frac{2}{7} \cdot 3;$

е) $2 \cdot 5\frac{1}{4};$

ж) $2 \cdot 4\frac{4}{9};$

з) $2 \cdot 5\frac{7}{8};$

и) $2 \cdot 1\frac{1}{9} \cdot 3.$

б) Чтобы умножить смешанное число на натуральное число, можно представить смешанное число в виде суммы целой и дробной частей и применить распределительный закон умножения: $1\frac{1}{5} \cdot 2 = (1 + \frac{1}{5}) \cdot 2 = 1 \cdot 2 + \frac{1}{5} \cdot 2 = 2 + \frac{2}{5} = 2\frac{2}{5}$.

Ответ: $2\frac{2}{5}$

в) Представим смешанное число в виде суммы целой и дробной частей и умножим каждое слагаемое на 3: $2\frac{1}{5} \cdot 3 = (2 + \frac{1}{5}) \cdot 3 = 2 \cdot 3 + \frac{1}{5} \cdot 3 = 6 + \frac{3}{5} = 6\frac{3}{5}$.

Ответ: $6\frac{3}{5}$

г) Используем распределительный закон: $3\frac{1}{4} \cdot 3 = (3 + \frac{1}{4}) \cdot 3 = 3 \cdot 3 + \frac{1}{4} \cdot 3 = 9 + \frac{3}{4} = 9\frac{3}{4}$.

Ответ: $9\frac{3}{4}$

д) Применим распределительный закон, представив смешанное число в виде суммы: $2\frac{2}{7} \cdot 3 = (2 + \frac{2}{7}) \cdot 3 = 2 \cdot 3 + \frac{2}{7} \cdot 3 = 6 + \frac{6}{7} = 6\frac{6}{7}$.

Ответ: $6\frac{6}{7}$

е) Порядок множителей не влияет на произведение. Применим распределительный закон: $2 \cdot 5\frac{1}{4} = 2 \cdot (5 + \frac{1}{4}) = 2 \cdot 5 + 2 \cdot \frac{1}{4} = 10 + \frac{2}{4} = 10 + \frac{1}{2} = 10\frac{1}{2}$.

Ответ: $10\frac{1}{2}$

ж) Умножим целую и дробную части на 9: $2\frac{4}{9} \cdot 9 = (2 + \frac{4}{9}) \cdot 9 = 2 \cdot 9 + \frac{4}{9} \cdot 9 = 18 + 4 = 22$.

Ответ: $22$

з) Применим распределительный закон: $2 \cdot 5\frac{7}{8} = 2 \cdot (5 + \frac{7}{8}) = 2 \cdot 5 + 2 \cdot \frac{7}{8} = 10 + \frac{14}{8}$. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{14}{8} = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$. Сложим результат: $10 + 1\frac{3}{4} = 11\frac{3}{4}$.

Ответ: $11\frac{3}{4}$

и) Используем распределительный закон: $2\frac{1}{9} \cdot 3 = (2 + \frac{1}{9}) \cdot 3 = 2 \cdot 3 + \frac{1}{9} \cdot 3 = 6 + \frac{3}{9}$. Сократим дробь: $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$. Получим: $6 + \frac{1}{3} = 6\frac{1}{3}$.

Ответ: $6\frac{1}{3}$

1026. a) $\frac{1}{3} \cdot 2 + 2\frac{2}{3} \cdot 2 = \left(\frac{1}{3} + 2\frac{2}{3}\right) \cdot 2 = 3 \cdot 2 = 6;$

б) $1\frac{1}{5} \cdot 3 + \frac{4}{5} \cdot 3;$

в) $2\frac{4}{5} \cdot 3 - \frac{4}{5} \cdot 3;$

г) $2\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{9} + 6\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{9};$

д) $2\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{8} - 1\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{8};$

е) $3\frac{1}{5} \cdot \frac{8}{11} + 3\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{11};$

ж) $4\frac{2}{3} \cdot 7\frac{1}{12} - 6\frac{1}{12} \cdot 4\frac{2}{3};$

а) $ \frac{1}{3} \cdot 2 + 2\frac{2}{3} \cdot 2 $

В этом выражении можно заметить общий множитель 2. Применим распределительное свойство умножения относительно сложения $ (a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c $ и вынесем общий множитель за скобки:

$ (\frac{1}{3} + 2\frac{2}{3}) \cdot 2 $

Сначала выполним действие в скобках. Сложим дроби:

$ \frac{1}{3} + 2\frac{2}{3} = 2 + (\frac{1}{3} + \frac{2}{3}) = 2 + \frac{3}{3} = 2 + 1 = 3 $

Теперь умножим полученный результат на 2:

$ 3 \cdot 2 = 6 $

Ответ: $ 6 $.

б) $ 1\frac{1}{5} \cdot 3 + \frac{4}{5} \cdot 3 $

Вынесем общий множитель 3 за скобки, используя распределительное свойство:

$ (1\frac{1}{5} + \frac{4}{5}) \cdot 3 $

Сложим числа в скобках:

$ 1\frac{1}{5} + \frac{4}{5} = 1 + (\frac{1}{5} + \frac{4}{5}) = 1 + \frac{5}{5} = 1 + 1 = 2 $

Умножим результат на 3:

$ 2 \cdot 3 = 6 $

Ответ: $ 6 $.

в) $ 2\frac{4}{5} \cdot 3 - \frac{4}{5} \cdot 3 $

Применим распределительное свойство умножения относительно вычитания $ (a-b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c $. Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$ (2\frac{4}{5} - \frac{4}{5}) \cdot 3 $

Выполним вычитание в скобках:

$ 2\frac{4}{5} - \frac{4}{5} = 2 + (\frac{4}{5} - \frac{4}{5}) = 2 + 0 = 2 $

Умножим результат на 3:

$ 2 \cdot 3 = 6 $

Ответ: $ 6 $.

г) $ 2\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{9} + 6\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{9} $

Вынесем общий множитель $ \frac{5}{9} $ за скобки:

$ (2\frac{4}{5} + 6\frac{1}{5}) \cdot \frac{5}{9} $

Сложим смешанные числа в скобках:

$ 2\frac{4}{5} + 6\frac{1}{5} = (2+6) + (\frac{4}{5} + \frac{1}{5}) = 8 + \frac{5}{5} = 8 + 1 = 9 $

Умножим результат на $ \frac{5}{9} $:

$ 9 \cdot \frac{5}{9} = \frac{9 \cdot 5}{9} = 5 $

Ответ: $ 5 $.

д) $ 2\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{8} - 1\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{8} $

Вынесем общий множитель $ \frac{5}{8} $ за скобки:

$ (2\frac{4}{5} - 1\frac{1}{5}) \cdot \frac{5}{8} $

Выполним вычитание в скобках:

$ 2\frac{4}{5} - 1\frac{1}{5} = (2-1) + (\frac{4}{5} - \frac{1}{5}) = 1 + \frac{3}{5} = 1\frac{3}{5} $

Для удобства умножения, переведем смешанное число в неправильную дробь:

$ 1\frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{8}{5} $

Теперь умножим результат на $ \frac{5}{8} $:

$ \frac{8}{5} \cdot \frac{5}{8} = 1 $

Ответ: $ 1 $.

е) $ 3\frac{1}{5} \cdot \frac{8}{11} + 3\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{11} $

Вынесем общий множитель $ 3\frac{1}{5} $ за скобки:

$ 3\frac{1}{5} \cdot (\frac{8}{11} + \frac{3}{11}) $

Выполним сложение в скобках:

$ \frac{8}{11} + \frac{3}{11} = \frac{8+3}{11} = \frac{11}{11} = 1 $

Умножим результат на $ 3\frac{1}{5} $:

$ 3\frac{1}{5} \cdot 1 = 3\frac{1}{5} $

Ответ: $ 3\frac{1}{5} $.

ж) $ 4\frac{2}{3} \cdot 7\frac{1}{12} - 6\frac{1}{12} \cdot 4\frac{2}{3} $

Используя переместительное свойство умножения ($ a \cdot b = b \cdot a $), перепишем второе произведение, чтобы общий множитель был на первом месте:

$ 4\frac{2}{3} \cdot 7\frac{1}{12} - 4\frac{2}{3} \cdot 6\frac{1}{12} $

Теперь вынесем общий множитель $ 4\frac{2}{3} $ за скобки:

$ 4\frac{2}{3} \cdot (7\frac{1}{12} - 6\frac{1}{12}) $

Выполним вычитание в скобках:

$ 7\frac{1}{12} - 6\frac{1}{12} = (7-6) + (\frac{1}{12} - \frac{1}{12}) = 1 + 0 = 1 $

Умножим результат на $ 4\frac{2}{3} $:

$ 4\frac{2}{3} \cdot 1 = 4\frac{2}{3} $

Ответ: $ 4\frac{2}{3} $.

Вычислите (1027–1029).

1027. а) $4 \frac{1}{12} \cdot 8 \frac{6}{7} \cdot 6;$

б) $6 \frac{1}{4} \cdot 1 \frac{2}{5} \cdot 8;$

в) $5 \frac{3}{7} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{14}{19};$

г) $3 \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2} : \frac{9}{16};$

д) $5 \frac{5}{7} \cdot \frac{5}{12} \cdot 5 \frac{1}{4} \cdot \frac{6}{7} : 1 \frac{1}{2};$

е) $\frac{3}{4} \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot 2 \frac{1}{4} : 7 \frac{1}{2};$

ж) $\frac{3}{7} : 1 \frac{1}{7} : 1 \frac{7}{8} : \frac{11}{25} : 1 \frac{1}{22} : 3 \frac{2}{11};$

з) $\frac{15}{16} : 1 \frac{1}{48} : 2 \frac{1}{7} : 2 \frac{2}{49} : \frac{24}{125}.$

а) $4\frac{1}{12} \cdot 8\frac{6}{7} \cdot 6$
1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$4\frac{1}{12} = \frac{4 \cdot 12 + 1}{12} = \frac{48 + 1}{12} = \frac{49}{12}$
$8\frac{6}{7} = \frac{8 \cdot 7 + 6}{7} = \frac{56 + 6}{7} = \frac{62}{7}$
2. Выполним умножение, предварительно записав все множители в виде дроби:
$\frac{49}{12} \cdot \frac{62}{7} \cdot \frac{6}{1} = \frac{49 \cdot 62 \cdot 6}{12 \cdot 7 \cdot 1}$
3. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на общие множители (7 и 12):
$\frac{^7\cancel{49} \cdot 62 \cdot ^1\cancel{6}}{_2\cancel{12} \cdot _1\cancel{7}} = \frac{7 \cdot 62}{2}$
4. Продолжим сокращение (на 2):
$\frac{7 \cdot ^{31}\cancel{62}}{_1\cancel{2}} = 7 \cdot 31 = 217$
Ответ: 217

б) $6\frac{1}{4} \cdot 1\frac{2}{5} \cdot 8$
1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$6\frac{1}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{25}{4}$
$1\frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{7}{5}$
2. Выполним умножение:
$\frac{25}{4} \cdot \frac{7}{5} \cdot 8 = \frac{25 \cdot 7 \cdot 8}{4 \cdot 5}$
3. Сократим дробь на общие множители (5 и 4):
$\frac{^5\cancel{25} \cdot 7 \cdot ^2\cancel{8}}{_1\cancel{4} \cdot _1\cancel{5}} = 5 \cdot 7 \cdot 2 = 70$
Ответ: 70

в) $5\frac{3}{7} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{14}{19}$
1. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$5\frac{3}{7} = \frac{5 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{35 + 3}{7} = \frac{38}{7}$
2. Выполним умножение дробей:
$\frac{38}{7} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{14}{19} = \frac{38 \cdot 5 \cdot 14}{7 \cdot 9 \cdot 19}$
3. Сократим дробь (38 и 19 на 19; 14 и 7 на 7):
$\frac{^2\cancel{38} \cdot 5 \cdot ^2\cancel{14}}{_1\cancel{7} \cdot 9 \cdot _1\cancel{19}} = \frac{2 \cdot 5 \cdot 2}{9} = \frac{20}{9}$
4. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{20}{9} = 2\frac{2}{9}$
Ответ: $2\frac{2}{9}$

г) $3\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2} : \frac{9}{16}$
1. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}$
2. Заменим деление на дробь умножением на обратную ей дробь:
$\frac{27}{8} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{9} = \frac{27 \cdot 1 \cdot 16}{8 \cdot 2 \cdot 9}$
3. Сократим дробь (27 и 9 на 9; 16 и 8 на 8):
$\frac{^3\cancel{27} \cdot 1 \cdot ^2\cancel{16}}{_1\cancel{8} \cdot 2 \cdot _1\cancel{9}} = \frac{3 \cdot 1 \cdot 2}{1 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$
Ответ: 3

д) $5\frac{5}{7} \cdot \frac{5}{12} \cdot 5\frac{1}{4} \cdot \frac{6}{7} : 1\frac{1}{2}$
1. Преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби:
$5\frac{5}{7} = \frac{40}{7}$; $5\frac{1}{4} = \frac{21}{4}$; $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
2. Заменим деление на умножение на обратную дробь и запишем все под одной чертой:
$\frac{40}{7} \cdot \frac{5}{12} \cdot \frac{21}{4} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{40 \cdot 5 \cdot 21 \cdot 6 \cdot 2}{7 \cdot 12 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 3}$
3. Сократим дробь, последовательно избавляясь от общих множителей:
$\frac{^{10}\cancel{40} \cdot 5 \cdot ^{3}\cancel{21} \cdot \cancel{6} \cdot \cancel{2}}{\cancel{7} \cdot _{\cancel{2}}\cancel{12} \cdot _{\cancel{1}}\cancel{4} \cdot 7 \cdot \cancel{3}} = \frac{10 \cdot 5}{7} = \frac{50}{7}$
4. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{50}{7} = 7\frac{1}{7}$
Ответ: $7\frac{1}{7}$

е) $\frac{3}{4} \cdot 1\frac{1}{4} \cdot 7\frac{1}{2} \cdot 2\frac{1}{4} : 7\frac{1}{2}$
1. Заметим, что в выражении есть умножение и деление на одно и то же число $7\frac{1}{2}$. Эти действия взаимно уничтожаются, поэтому выражение можно упростить:
$\frac{3}{4} \cdot 1\frac{1}{4} \cdot 2\frac{1}{4}$
2. Преобразуем оставшиеся смешанные числа в неправильные дроби:
$1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$; $2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$
3. Перемножим дроби:
$\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 9}{4 \cdot 4 \cdot 4} = \frac{135}{64}$
4. Преобразуем в смешанное число:
$\frac{135}{64} = 2\frac{7}{64}$
Ответ: $2\frac{7}{64}$

ж) $\frac{3}{7} : 1\frac{1}{7} : 1\frac{7}{8} : \frac{11}{25} : 1\frac{1}{22} : 3\frac{2}{11}$
1. Преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби:
$1\frac{1}{7} = \frac{8}{7}$; $1\frac{7}{8} = \frac{15}{8}$; $1\frac{1}{22} = \frac{23}{22}$; $3\frac{2}{11} = \frac{35}{11}$
2. Заменим все операции деления на умножение на обратные дроби:
$\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{8}{15} \cdot \frac{25}{11} \cdot \frac{22}{23} \cdot \frac{11}{35}$
3. Запишем под общей чертой и выполним сокращение:
$\frac{3 \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{8} \cdot 25 \cdot 22 \cdot \cancel{11}}{\cancel{7} \cdot \cancel{8} \cdot 15 \cdot \cancel{11} \cdot 23 \cdot 35} = \frac{3 \cdot 25 \cdot 22}{15 \cdot 23 \cdot 35}$
4. Продолжим сокращение:
$\frac{\cancel{3} \cdot ^5\cancel{25} \cdot 22}{_5\cancel{15} \cdot 23 \cdot _7\cancel{35}} = \frac{5 \cdot 22}{5 \cdot 23 \cdot 7} = \frac{\cancel{5} \cdot 22}{\cancel{5} \cdot 23 \cdot 7} = \frac{22}{161}$
Ответ: $\frac{22}{161}$

з) $\frac{15}{16} : 1\frac{1}{48} : 2\frac{1}{7} : 2\frac{2}{49} : \frac{24}{125}$
1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$1\frac{1}{48} = \frac{49}{48}$; $2\frac{1}{7} = \frac{15}{7}$; $2\frac{2}{49} = \frac{100}{49}$
2. Заменим все операции деления на умножение на обратные дроби:
$\frac{15}{16} \cdot \frac{48}{49} \cdot \frac{7}{15} \cdot \frac{49}{100} \cdot \frac{125}{24}$
3. Запишем под общей чертой и выполним сокращение:
$\frac{\cancel{15} \cdot 48 \cdot 7 \cdot \cancel{49} \cdot 125}{16 \cdot \cancel{49} \cdot \cancel{15} \cdot 100 \cdot 24} = \frac{48 \cdot 7 \cdot 125}{16 \cdot 100 \cdot 24}$
4. Продолжим сокращение:
$\frac{^3\cancel{48} \cdot 7 \cdot 125}{_1\cancel{16} \cdot 100 \cdot 24} = \frac{3 \cdot 7 \cdot 125}{100 \cdot 24} = \frac{\cancel{3} \cdot 7 \cdot 125}{100 \cdot _8\cancel{24}} = \frac{7 \cdot ^{5}\cancel{125}}{_4\cancel{100} \cdot 8} = \frac{7 \cdot 5}{4 \cdot 8} = \frac{35}{32}$
5. Преобразуем в смешанное число:
$\frac{35}{32} = 1\frac{3}{32}$
Ответ: $1\frac{3}{32}$

1028. а) $(\frac{2}{15} + 1\frac{7}{12}) \cdot \frac{30}{103} - 2 : 2\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{32} + 2\frac{1}{3};$

б) $(7\frac{1}{2} \cdot 2\frac{2}{3} - 12\frac{1}{4} : \frac{7}{9}) : 6 + 3\frac{1}{8} + 5\frac{2}{7};$

в) $5\frac{1}{3} : 6\frac{2}{5} + (12 : 3\frac{3}{5} - \frac{2}{3}) \cdot \frac{2}{3} + 7\frac{2}{5};$

г) $21\frac{2}{59} - \frac{2}{5} \cdot (3\frac{15}{28} : \frac{9}{28} - 1 : 1\frac{10}{49}) : 2.$

Решим выражение $(\frac{2}{15} + 1\frac{7}{12}) \cdot \frac{30}{103} - 2 : 2\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{32} + 2\frac{1}{3}$ по действиям.

1. Сложение в скобках. Преобразуем $1\frac{7}{12}$ в неправильную дробь $\frac{19}{12}$ и приведем дроби к общему знаменателю 60: $$ \frac{2}{15} + 1\frac{7}{12} = \frac{2}{15} + \frac{19}{12} = \frac{2 \cdot 4}{60} + \frac{19 \cdot 5}{60} = \frac{8 + 95}{60} = \frac{103}{60} $$

2. Умножим результат на $\frac{30}{103}$: $$ \frac{103}{60} \cdot \frac{30}{103} = \frac{103 \cdot 30}{60 \cdot 103} = \frac{30}{60} = \frac{1}{2} $$

3. Выполним деление $2 : 2\frac{1}{4}$. Преобразуем $2\frac{1}{4}$ в $\frac{9}{4}$: $$ 2 : 2\frac{1}{4} = 2 : \frac{9}{4} = 2 \cdot \frac{4}{9} = \frac{8}{9} $$

4. Умножим результат на $\frac{9}{32}$: $$ \frac{8}{9} \cdot \frac{9}{32} = \frac{8 \cdot 9}{9 \cdot 32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} $$

5. Выполним оставшиеся действия вычитания и сложения: $$ \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 2\frac{1}{3} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} + \frac{7}{3} = \frac{1}{4} + \frac{7}{3} = \frac{3}{12} + \frac{28}{12} = \frac{31}{12} = 2\frac{7}{12} $$

Ответ: $2\frac{7}{12}$

Решим выражение $(7\frac{1}{2} \cdot 2\frac{2}{3} - 12\frac{1}{4} : \frac{7}{9}) : 6 + 3\frac{1}{8} + 5\frac{2}{7}$ по действиям.

1. Умножение в скобках. Преобразуем смешанные дроби в неправильные: $$ 7\frac{1}{2} \cdot 2\frac{2}{3} = \frac{15}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{15 \cdot 8}{2 \cdot 3} = 5 \cdot 4 = 20 $$

2. Деление в скобках. Преобразуем смешанную дробь в неправильную: $$ 12\frac{1}{4} : \frac{7}{9} = \frac{49}{4} : \frac{7}{9} = \frac{49}{4} \cdot \frac{9}{7} = \frac{7 \cdot 9}{4} = \frac{63}{4} $$

3. Вычитание в скобках: $$ 20 - \frac{63}{4} = \frac{80}{4} - \frac{63}{4} = \frac{17}{4} $$

4. Деление результата на 6: $$ \frac{17}{4} : 6 = \frac{17}{4} \cdot \frac{1}{6} = \frac{17}{24} $$

5. Выполним оставшиеся сложения. Сложим целые части $3+5=8$. Сложим дробные части: $$ \frac{17}{24} + \frac{1}{8} + \frac{2}{7} = \frac{17}{24} + \frac{3}{24} + \frac{2}{7} = \frac{20}{24} + \frac{2}{7} = \frac{5}{6} + \frac{2}{7} $$ Приведем к общему знаменателю 42: $$ \frac{5 \cdot 7}{42} + \frac{2 \cdot 6}{42} = \frac{35+12}{42} = \frac{47}{42} = 1\frac{5}{42} $$ Сложим с целой частью: $8 + 1\frac{5}{42} = 9\frac{5}{42}$.

Ответ: $9\frac{5}{42}$

Решим выражение $5\frac{1}{3} : 6\frac{2}{5} + (12:3\frac{3}{5} - \frac{2}{3}) \cdot \frac{2}{3} + 7\frac{2}{5}$ по действиям.

1. Первое деление. Преобразуем смешанные дроби в неправильные: $$ 5\frac{1}{3} : 6\frac{2}{5} = \frac{16}{3} : \frac{32}{5} = \frac{16}{3} \cdot \frac{5}{32} = \frac{5}{6} $$

2. Деление в скобках: $$ 12 : 3\frac{3}{5} = 12 : \frac{18}{5} = 12 \cdot \frac{5}{18} = \frac{2 \cdot 5}{3} = \frac{10}{3} $$

3. Вычитание в скобках: $$ \frac{10}{3} - \frac{2}{3} = \frac{8}{3} $$

4. Умножение результата на $\frac{2}{3}$: $$ \frac{8}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{16}{9} $$

5. Соберем все части вместе и выполним сложение: $$ \frac{5}{6} + \frac{16}{9} + 7\frac{2}{5} $$ Сложим первые две дроби, приведя их к общему знаменателю 18: $$ \frac{5}{6} + \frac{16}{9} = \frac{5 \cdot 3}{18} + \frac{16 \cdot 2}{18} = \frac{15+32}{18} = \frac{47}{18} $$ Теперь добавим $7\frac{2}{5}$: $$ \frac{47}{18} + 7\frac{2}{5} = \frac{47}{18} + \frac{37}{5} $$ Приведем к общему знаменателю 90: $$ \frac{47 \cdot 5}{90} + \frac{37 \cdot 18}{90} = \frac{235 + 666}{90} = \frac{901}{90} = 10\frac{1}{90} $$

Ответ: $10\frac{1}{90}$

Решим выражение $21\frac{2}{59} - \frac{2}{5} \cdot (3\frac{15}{28} : \frac{9}{28} - 1:1\frac{10}{49}) : 2$ по действиям.

1. Первое деление в скобках: $$ 3\frac{15}{28} : \frac{9}{28} = \frac{99}{28} \cdot \frac{28}{9} = 11 $$

2. Второе деление в скобках: $$ 1 : 1\frac{10}{49} = 1 : \frac{59}{49} = \frac{49}{59} $$

3. Вычитание в скобках: $$ 11 - \frac{49}{59} = 10\frac{59}{59} - \frac{49}{59} = 10\frac{10}{59} = \frac{600}{59} $$

4. Умножение на $\frac{2}{5}$: $$ \frac{2}{5} \cdot \frac{600}{59} = \frac{2 \cdot 120}{59} = \frac{240}{59} $$

5. Деление на 2: $$ \frac{240}{59} : 2 = \frac{240}{59 \cdot 2} = \frac{120}{59} $$

6. Финальное вычитание: $$ 21\frac{2}{59} - \frac{120}{59} = \frac{21 \cdot 59 + 2}{59} - \frac{120}{59} = \frac{1239+2}{59} - \frac{120}{59} = \frac{1241 - 120}{59} = \frac{1121}{59} $$ Разделим числитель на знаменатель: $1121 : 59 = 19$.

Ответ: $19$