Номер 1027, страница 225 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

Вычислите (1027–1029).

1027. а) $4 \frac{1}{12} \cdot 8 \frac{6}{7} \cdot 6;$

б) $6 \frac{1}{4} \cdot 1 \frac{2}{5} \cdot 8;$

в) $5 \frac{3}{7} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{14}{19};$

г) $3 \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2} : \frac{9}{16};$

д) $5 \frac{5}{7} \cdot \frac{5}{12} \cdot 5 \frac{1}{4} \cdot \frac{6}{7} : 1 \frac{1}{2};$

е) $\frac{3}{4} \cdot 1 \frac{1}{4} \cdot 2 \frac{1}{4} : 7 \frac{1}{2};$

ж) $\frac{3}{7} : 1 \frac{1}{7} : 1 \frac{7}{8} : \frac{11}{25} : 1 \frac{1}{22} : 3 \frac{2}{11};$

з) $\frac{15}{16} : 1 \frac{1}{48} : 2 \frac{1}{7} : 2 \frac{2}{49} : \frac{24}{125}.$

а) $4\frac{1}{12} \cdot 8\frac{6}{7} \cdot 6$
1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$4\frac{1}{12} = \frac{4 \cdot 12 + 1}{12} = \frac{48 + 1}{12} = \frac{49}{12}$
$8\frac{6}{7} = \frac{8 \cdot 7 + 6}{7} = \frac{56 + 6}{7} = \frac{62}{7}$
2. Выполним умножение, предварительно записав все множители в виде дроби:
$\frac{49}{12} \cdot \frac{62}{7} \cdot \frac{6}{1} = \frac{49 \cdot 62 \cdot 6}{12 \cdot 7 \cdot 1}$
3. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на общие множители (7 и 12):
$\frac{^7\cancel{49} \cdot 62 \cdot ^1\cancel{6}}{_2\cancel{12} \cdot _1\cancel{7}} = \frac{7 \cdot 62}{2}$
4. Продолжим сокращение (на 2):
$\frac{7 \cdot ^{31}\cancel{62}}{_1\cancel{2}} = 7 \cdot 31 = 217$
Ответ: 217

б) $6\frac{1}{4} \cdot 1\frac{2}{5} \cdot 8$
1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$6\frac{1}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{25}{4}$
$1\frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{7}{5}$
2. Выполним умножение:
$\frac{25}{4} \cdot \frac{7}{5} \cdot 8 = \frac{25 \cdot 7 \cdot 8}{4 \cdot 5}$
3. Сократим дробь на общие множители (5 и 4):
$\frac{^5\cancel{25} \cdot 7 \cdot ^2\cancel{8}}{_1\cancel{4} \cdot _1\cancel{5}} = 5 \cdot 7 \cdot 2 = 70$
Ответ: 70

в) $5\frac{3}{7} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{14}{19}$
1. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$5\frac{3}{7} = \frac{5 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{35 + 3}{7} = \frac{38}{7}$
2. Выполним умножение дробей:
$\frac{38}{7} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{14}{19} = \frac{38 \cdot 5 \cdot 14}{7 \cdot 9 \cdot 19}$
3. Сократим дробь (38 и 19 на 19; 14 и 7 на 7):
$\frac{^2\cancel{38} \cdot 5 \cdot ^2\cancel{14}}{_1\cancel{7} \cdot 9 \cdot _1\cancel{19}} = \frac{2 \cdot 5 \cdot 2}{9} = \frac{20}{9}$
4. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{20}{9} = 2\frac{2}{9}$
Ответ: $2\frac{2}{9}$

г) $3\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2} : \frac{9}{16}$
1. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}$
2. Заменим деление на дробь умножением на обратную ей дробь:
$\frac{27}{8} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{9} = \frac{27 \cdot 1 \cdot 16}{8 \cdot 2 \cdot 9}$
3. Сократим дробь (27 и 9 на 9; 16 и 8 на 8):
$\frac{^3\cancel{27} \cdot 1 \cdot ^2\cancel{16}}{_1\cancel{8} \cdot 2 \cdot _1\cancel{9}} = \frac{3 \cdot 1 \cdot 2}{1 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$
Ответ: 3

д) $5\frac{5}{7} \cdot \frac{5}{12} \cdot 5\frac{1}{4} \cdot \frac{6}{7} : 1\frac{1}{2}$
1. Преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби:
$5\frac{5}{7} = \frac{40}{7}$; $5\frac{1}{4} = \frac{21}{4}$; $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
2. Заменим деление на умножение на обратную дробь и запишем все под одной чертой:
$\frac{40}{7} \cdot \frac{5}{12} \cdot \frac{21}{4} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{40 \cdot 5 \cdot 21 \cdot 6 \cdot 2}{7 \cdot 12 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 3}$
3. Сократим дробь, последовательно избавляясь от общих множителей:
$\frac{^{10}\cancel{40} \cdot 5 \cdot ^{3}\cancel{21} \cdot \cancel{6} \cdot \cancel{2}}{\cancel{7} \cdot _{\cancel{2}}\cancel{12} \cdot _{\cancel{1}}\cancel{4} \cdot 7 \cdot \cancel{3}} = \frac{10 \cdot 5}{7} = \frac{50}{7}$
4. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{50}{7} = 7\frac{1}{7}$
Ответ: $7\frac{1}{7}$

е) $\frac{3}{4} \cdot 1\frac{1}{4} \cdot 7\frac{1}{2} \cdot 2\frac{1}{4} : 7\frac{1}{2}$
1. Заметим, что в выражении есть умножение и деление на одно и то же число $7\frac{1}{2}$. Эти действия взаимно уничтожаются, поэтому выражение можно упростить:
$\frac{3}{4} \cdot 1\frac{1}{4} \cdot 2\frac{1}{4}$
2. Преобразуем оставшиеся смешанные числа в неправильные дроби:
$1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$; $2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$
3. Перемножим дроби:
$\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 9}{4 \cdot 4 \cdot 4} = \frac{135}{64}$
4. Преобразуем в смешанное число:
$\frac{135}{64} = 2\frac{7}{64}$
Ответ: $2\frac{7}{64}$

ж) $\frac{3}{7} : 1\frac{1}{7} : 1\frac{7}{8} : \frac{11}{25} : 1\frac{1}{22} : 3\frac{2}{11}$
1. Преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби:
$1\frac{1}{7} = \frac{8}{7}$; $1\frac{7}{8} = \frac{15}{8}$; $1\frac{1}{22} = \frac{23}{22}$; $3\frac{2}{11} = \frac{35}{11}$
2. Заменим все операции деления на умножение на обратные дроби:
$\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{8}{15} \cdot \frac{25}{11} \cdot \frac{22}{23} \cdot \frac{11}{35}$
3. Запишем под общей чертой и выполним сокращение:
$\frac{3 \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{8} \cdot 25 \cdot 22 \cdot \cancel{11}}{\cancel{7} \cdot \cancel{8} \cdot 15 \cdot \cancel{11} \cdot 23 \cdot 35} = \frac{3 \cdot 25 \cdot 22}{15 \cdot 23 \cdot 35}$
4. Продолжим сокращение:
$\frac{\cancel{3} \cdot ^5\cancel{25} \cdot 22}{_5\cancel{15} \cdot 23 \cdot _7\cancel{35}} = \frac{5 \cdot 22}{5 \cdot 23 \cdot 7} = \frac{\cancel{5} \cdot 22}{\cancel{5} \cdot 23 \cdot 7} = \frac{22}{161}$
Ответ: $\frac{22}{161}$

з) $\frac{15}{16} : 1\frac{1}{48} : 2\frac{1}{7} : 2\frac{2}{49} : \frac{24}{125}$
1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$1\frac{1}{48} = \frac{49}{48}$; $2\frac{1}{7} = \frac{15}{7}$; $2\frac{2}{49} = \frac{100}{49}$
2. Заменим все операции деления на умножение на обратные дроби:
$\frac{15}{16} \cdot \frac{48}{49} \cdot \frac{7}{15} \cdot \frac{49}{100} \cdot \frac{125}{24}$
3. Запишем под общей чертой и выполним сокращение:
$\frac{\cancel{15} \cdot 48 \cdot 7 \cdot \cancel{49} \cdot 125}{16 \cdot \cancel{49} \cdot \cancel{15} \cdot 100 \cdot 24} = \frac{48 \cdot 7 \cdot 125}{16 \cdot 100 \cdot 24}$
4. Продолжим сокращение:
$\frac{^3\cancel{48} \cdot 7 \cdot 125}{_1\cancel{16} \cdot 100 \cdot 24} = \frac{3 \cdot 7 \cdot 125}{100 \cdot 24} = \frac{\cancel{3} \cdot 7 \cdot 125}{100 \cdot _8\cancel{24}} = \frac{7 \cdot ^{5}\cancel{125}}{_4\cancel{100} \cdot 8} = \frac{7 \cdot 5}{4 \cdot 8} = \frac{35}{32}$
5. Преобразуем в смешанное число:
$\frac{35}{32} = 1\frac{3}{32}$
Ответ: $1\frac{3}{32}$