Страница 220 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

995. а) $3\frac{3}{4} + \frac{1}{5}$;

б) $7\frac{9}{20} + \frac{7}{30}$;

в) $4\frac{13}{25} + \frac{2}{15}$;

г) $6\frac{1}{12} + \frac{1}{18}$;

д) $5\frac{3}{10} + \frac{11}{15}$;

е) $9\frac{5}{24} + \frac{35}{36}$.

а) $3\frac{3}{4} + \frac{1}{5}$
Чтобы сложить смешанное число и дробь, нужно привести их дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для 4 и 5 равен 20.
Приведем дроби к знаменателю 20:
$3\frac{3}{4} = 3\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = 3\frac{15}{20}$
$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{4}{20}$
Теперь выполним сложение:
$3\frac{15}{20} + \frac{4}{20} = 3 + (\frac{15}{20} + \frac{4}{20}) = 3 + \frac{15+4}{20} = 3\frac{19}{20}$
Ответ: $3\frac{19}{20}$

б) $7\frac{9}{20} + \frac{7}{30}$
Найдем НОЗ для 20 и 30. Разложим их на простые множители: $20 = 2^2 \cdot 5$, $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$. НОЗ(20, 30) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.
Приведем дроби к знаменателю 60:
$7\frac{9}{20} = 7\frac{9 \cdot 3}{20 \cdot 3} = 7\frac{27}{60}$
$\frac{7}{30} = \frac{7 \cdot 2}{30 \cdot 2} = \frac{14}{60}$
Выполним сложение:
$7\frac{27}{60} + \frac{14}{60} = 7 + \frac{27+14}{60} = 7\frac{41}{60}$
Ответ: $7\frac{41}{60}$

в) $4\frac{13}{25} + \frac{2}{15}$
Найдем НОЗ для 25 и 15. $25 = 5^2$, $15 = 3 \cdot 5$. НОЗ(25, 15) = $3 \cdot 5^2 = 75$.
Приведем дроби к знаменателю 75:
$4\frac{13}{25} = 4\frac{13 \cdot 3}{25 \cdot 3} = 4\frac{39}{75}$
$\frac{2}{15} = \frac{2 \cdot 5}{15 \cdot 5} = \frac{10}{75}$
Выполним сложение:
$4\frac{39}{75} + \frac{10}{75} = 4 + \frac{39+10}{75} = 4\frac{49}{75}$
Ответ: $4\frac{49}{75}$

г) $6\frac{1}{12} + \frac{1}{18}$
Найдем НОЗ для 12 и 18. $12 = 2^2 \cdot 3$, $18 = 2 \cdot 3^2$. НОЗ(12, 18) = $2^2 \cdot 3^2 = 36$.
Приведем дроби к знаменателю 36:
$6\frac{1}{12} = 6\frac{1 \cdot 3}{12 \cdot 3} = 6\frac{3}{36}$
$\frac{1}{18} = \frac{1 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{2}{36}$
Выполним сложение:
$6\frac{3}{36} + \frac{2}{36} = 6 + \frac{3+2}{36} = 6\frac{5}{36}$
Ответ: $6\frac{5}{36}$

д) $5\frac{3}{10} + \frac{11}{15}$
Найдем НОЗ для 10 и 15. $10 = 2 \cdot 5$, $15 = 3 \cdot 5$. НОЗ(10, 15) = $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.
Приведем дроби к знаменателю 30:
$5\frac{3}{10} = 5\frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = 5\frac{9}{30}$
$\frac{11}{15} = \frac{11 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{22}{30}$
Выполним сложение:
$5\frac{9}{30} + \frac{22}{30} = 5 + \frac{9+22}{30} = 5\frac{31}{30}$
Так как дробная часть $\frac{31}{30}$ является неправильной дробью, выделим из нее целую часть: $\frac{31}{30} = 1\frac{1}{30}$.
$5\frac{31}{30} = 5 + 1\frac{1}{30} = 6\frac{1}{30}$
Ответ: $6\frac{1}{30}$

е) $9\frac{5}{24} + \frac{35}{36}$
Найдем НОЗ для 24 и 36. $24 = 2^3 \cdot 3$, $36 = 2^2 \cdot 3^2$. НОЗ(24, 36) = $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$.
Приведем дроби к знаменателю 72:
$9\frac{5}{24} = 9\frac{5 \cdot 3}{24 \cdot 3} = 9\frac{15}{72}$
$\frac{35}{36} = \frac{35 \cdot 2}{36 \cdot 2} = \frac{70}{72}$
Выполним сложение:
$9\frac{15}{72} + \frac{70}{72} = 9 + \frac{15+70}{72} = 9\frac{85}{72}$
Дробь $\frac{85}{72}$ неправильная, выделим из нее целую часть: $\frac{85}{72} = 1\frac{13}{72}$.
$9\frac{85}{72} = 9 + 1\frac{13}{72} = 10\frac{13}{72}$
Ответ: $10\frac{13}{72}$

996. a) $9\frac{1}{2} + 3\frac{1}{8}$;

б) $6\frac{9}{16} + 2\frac{1}{4}$;

в) $2\frac{7}{18} + 5\frac{1}{9}$;

г) $10\frac{1}{20} + 6\frac{3}{5}$;

д) $1\frac{5}{14} + 2\frac{2}{7}$;

е) $7\frac{1}{6} + 2\frac{11}{42}$.

а) Чтобы сложить смешанные числа $9\frac{1}{2}$ и $3\frac{1}{8}$, сложим отдельно их целые и дробные части.
Сложение целых частей: $9 + 3 = 12$.
Сложение дробных частей: $\frac{1}{2} + \frac{1}{8}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 8. Дополнительный множитель для первой дроби равен $8 \div 2 = 4$.
$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8}$.
Теперь сложим дроби: $\frac{4}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4+1}{8} = \frac{5}{8}$.
Объединим целую и дробную части: $12 + \frac{5}{8} = 12\frac{5}{8}$.
Ответ: $12\frac{5}{8}$

б) Чтобы сложить смешанные числа $6\frac{9}{16}$ и $2\frac{1}{4}$, сложим отдельно их целые и дробные части.
Сложение целых частей: $6 + 2 = 8$.
Сложение дробных частей: $\frac{9}{16} + \frac{1}{4}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 16. Дополнительный множитель для второй дроби равен $16 \div 4 = 4$.
$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4}{4 \cdot 4} = \frac{4}{16}$.
Теперь сложим дроби: $\frac{9}{16} + \frac{4}{16} = \frac{9+4}{16} = \frac{13}{16}$.
Объединим целую и дробную части: $8 + \frac{13}{16} = 8\frac{13}{16}$.
Ответ: $8\frac{13}{16}$

в) Чтобы сложить смешанные числа $2\frac{7}{18}$ и $5\frac{1}{9}$, сложим отдельно их целые и дробные части.
Сложение целых частей: $2 + 5 = 7$.
Сложение дробных частей: $\frac{7}{18} + \frac{1}{9}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 18. Дополнительный множитель для второй дроби равен $18 \div 9 = 2$.
$\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{2}{18}$.
Теперь сложим дроби: $\frac{7}{18} + \frac{2}{18} = \frac{7+2}{18} = \frac{9}{18}$.
Сократим полученную дробь: $\frac{9}{18} = \frac{9 \div 9}{18 \div 9} = \frac{1}{2}$.
Объединим целую и дробную части: $7 + \frac{1}{2} = 7\frac{1}{2}$.
Ответ: $7\frac{1}{2}$

г) Чтобы сложить смешанные числа $10\frac{1}{20}$ и $6\frac{3}{5}$, сложим отдельно их целые и дробные части.
Сложение целых частей: $10 + 6 = 16$.
Сложение дробных частей: $\frac{1}{20} + \frac{3}{5}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 20. Дополнительный множитель для второй дроби равен $20 \div 5 = 4$.
$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{12}{20}$.
Теперь сложим дроби: $\frac{1}{20} + \frac{12}{20} = \frac{1+12}{20} = \frac{13}{20}$.
Объединим целую и дробную части: $16 + \frac{13}{20} = 16\frac{13}{20}$.
Ответ: $16\frac{13}{20}$

д) Чтобы сложить смешанные числа $1\frac{5}{14}$ и $2\frac{2}{7}$, сложим отдельно их целые и дробные части.
Сложение целых частей: $1 + 2 = 3$.
Сложение дробных частей: $\frac{5}{14} + \frac{2}{7}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 14. Дополнительный множитель для второй дроби равен $14 \div 7 = 2$.
$\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{4}{14}$.
Теперь сложим дроби: $\frac{5}{14} + \frac{4}{14} = \frac{5+4}{14} = \frac{9}{14}$.
Объединим целую и дробную части: $3 + \frac{9}{14} = 3\frac{9}{14}$.
Ответ: $3\frac{9}{14}$

е) Чтобы сложить смешанные числа $7\frac{1}{6}$ и $2\frac{11}{42}$, сложим отдельно их целые и дробные части.
Сложение целых частей: $7 + 2 = 9$.
Сложение дробных частей: $\frac{1}{6} + \frac{11}{42}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 42. Дополнительный множитель для первой дроби равен $42 \div 6 = 7$.
$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 7}{6 \cdot 7} = \frac{7}{42}$.
Теперь сложим дроби: $\frac{7}{42} + \frac{11}{42} = \frac{7+11}{42} = \frac{18}{42}$.
Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 18 и 42 равен 6.
$\frac{18}{42} = \frac{18 \div 6}{42 \div 6} = \frac{3}{7}$.
Объединим целую и дробную части: $9 + \frac{3}{7} = 9\frac{3}{7}$.
Ответ: $9\frac{3}{7}$

997. a) $9\frac{2}{3} + 1\frac{1}{4};$

б) $13\frac{1}{5} + 4\frac{2}{7};$

В) $2\frac{3}{10} + 6\frac{1}{9};$

Г) $4\frac{2}{3} + 7\frac{4}{5};$

Д) $7\frac{3}{20} + 8\frac{4}{5};$

e) $2\frac{7}{48} + 11\frac{77}{96}.$

а) $9 \frac{2}{3} + 1 \frac{1}{4}$

Чтобы сложить смешанные числа, мы отдельно складываем их целые и дробные части.

1. Сложение целых частей: $9 + 1 = 10$.

2. Сложение дробных частей: $\frac{2}{3} + \frac{1}{4}$.

Приводим дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 3 и 4 - это 12.

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}$

Складываем полученные дроби: $\frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{8+3}{12} = \frac{11}{12}$.

3. Складываем результат сложения целых и дробных частей: $10 + \frac{11}{12} = 10 \frac{11}{12}$.

Ответ: $10 \frac{11}{12}$.

б) $13 \frac{1}{5} + 4 \frac{2}{7}$

1. Сложение целых частей: $13 + 4 = 17$.

2. Сложение дробных частей: $\frac{1}{5} + \frac{2}{7}$.

Общий знаменатель для 5 и 7 - это 35.

$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{7}{35}$

$\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{10}{35}$

Сумма дробей: $\frac{7}{35} + \frac{10}{35} = \frac{7+10}{35} = \frac{17}{35}$.

3. Итоговый результат: $17 + \frac{17}{35} = 17 \frac{17}{35}$.

Ответ: $17 \frac{17}{35}$.

в) $2 \frac{3}{10} + 6 \frac{1}{9}$

1. Сложение целых частей: $2 + 6 = 8$.

2. Сложение дробных частей: $\frac{3}{10} + \frac{1}{9}$.

Общий знаменатель для 10 и 9 - это 90.

$\frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 9}{10 \cdot 9} = \frac{27}{90}$

$\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 10}{9 \cdot 10} = \frac{10}{90}$

Сумма дробей: $\frac{27}{90} + \frac{10}{90} = \frac{27+10}{90} = \frac{37}{90}$.

3. Итоговый результат: $8 + \frac{37}{90} = 8 \frac{37}{90}$.

Ответ: $8 \frac{37}{90}$.

г) $4 \frac{2}{3} + 7 \frac{4}{5}$

1. Сложение целых частей: $4 + 7 = 11$.

2. Сложение дробных частей: $\frac{2}{3} + \frac{4}{5}$.

Общий знаменатель для 3 и 5 - это 15.

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$

$\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{12}{15}$

Сумма дробей: $\frac{10}{15} + \frac{12}{15} = \frac{10+12}{15} = \frac{22}{15}$.

3. Полученная дробь $\frac{22}{15}$ - неправильная. Выделим из нее целую часть: $\frac{22}{15} = 1 \frac{7}{15}$.

4. Добавим выделенную целую часть к сумме целых частей: $11 + 1 \frac{7}{15} = 12 \frac{7}{15}$.

Ответ: $12 \frac{7}{15}$.

д) $7 \frac{3}{20} + 8 \frac{4}{5}$

1. Сложение целых частей: $7 + 8 = 15$.

2. Сложение дробных частей: $\frac{3}{20} + \frac{4}{5}$.

Общий знаменатель для 20 и 5 - это 20.

$\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{16}{20}$

Сумма дробей: $\frac{3}{20} + \frac{16}{20} = \frac{3+16}{20} = \frac{19}{20}$.

3. Итоговый результат: $15 + \frac{19}{20} = 15 \frac{19}{20}$.

Ответ: $15 \frac{19}{20}$.

е) $2 \frac{7}{48} + 11 \frac{77}{96}$

1. Сложение целых частей: $2 + 11 = 13$.

2. Сложение дробных частей: $\frac{7}{48} + \frac{77}{96}$.

Общий знаменатель для 48 и 96 - это 96 (так как $96 = 48 \cdot 2$).

$\frac{7}{48} = \frac{7 \cdot 2}{48 \cdot 2} = \frac{14}{96}$

Сумма дробей: $\frac{14}{96} + \frac{77}{96} = \frac{14+77}{96} = \frac{91}{96}$.

3. Итоговый результат: $13 + \frac{91}{96} = 13 \frac{91}{96}$.

Ответ: $13 \frac{91}{96}$.

998. На отрезке $AB$ отметили точку $C$ так, что $CB = \frac{1}{4}$ м, а $AC$ на $1\frac{1}{5}$ м больше $CB$. Найдите длину отрезка $AB$.

Поскольку точка $C$ лежит на отрезке $AB$, то длина всего отрезка $AB$ равна сумме длин его частей, отрезков $AC$ и $CB$. Таким образом, $AB = AC + CB$.

Решим задачу в два действия:

1. Найдём длину отрезка AC.

Из условия известно, что длина отрезка $CB$ составляет $\frac{1}{4}$ м, а отрезок $AC$ на $1\frac{1}{5}$ м длиннее отрезка $CB$. Чтобы найти длину $AC$, нужно сложить длину $CB$ и $1\frac{1}{5}$ м.

$AC = CB + 1\frac{1}{5} = \frac{1}{4} + 1\frac{1}{5}$

Для сложения приведём дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 4 и 5 это 20.

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{5}{20}$

$1\frac{1}{5} = 1\frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} = 1\frac{4}{20}$

Теперь выполним сложение:

$AC = \frac{5}{20} + 1\frac{4}{20} = 1\frac{5+4}{20} = 1\frac{9}{20}$ м.

2. Найдём длину отрезка AB.

Теперь, когда мы знаем длины отрезков $AC$ и $CB$, мы можем найти общую длину отрезка $AB$, сложив их.

$AB = AC + CB = 1\frac{9}{20} + \frac{1}{4}$

Снова приведём дробь $\frac{1}{4}$ к знаменателю 20, чтобы выполнить сложение:

$\frac{1}{4} = \frac{5}{20}$

Выполним сложение:

$AB = 1\frac{9}{20} + \frac{5}{20} = 1\frac{9+5}{20} = 1\frac{14}{20}$ м.

Дробную часть $\frac{14}{20}$ можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{14}{20} = \frac{14 \div 2}{20 \div 2} = \frac{7}{10}$

Следовательно, длина отрезка $AB$ равна $1\frac{7}{10}$ м.

Ответ: $1\frac{7}{10}$ м.

999. На отрезке $AB$ отметили точку $C$ так, что $CB = 7 \frac{3}{10}$ м и $CB$ на $2 \frac{1}{4}$ м меньше $AC$. Найдите длину отрезка $AB$.

Поскольку точка C лежит на отрезке AB, то длина всего отрезка AB равна сумме длин его частей, AC и CB.

$AB = AC + CB$

1. Найдём длину отрезка AC

По условию задачи, длина отрезка CB составляет $7 \frac{3}{10}$ м, и это на $2 \frac{1}{4}$ м меньше длины отрезка AC. Это означает, что отрезок AC длиннее отрезка CB на $2 \frac{1}{4}$ м. Чтобы найти длину AC, нужно к длине CB прибавить разницу.

$AC = CB + 2 \frac{1}{4} = 7 \frac{3}{10} + 2 \frac{1}{4}$

Для сложения смешанных чисел приведём их дробные части к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для знаменателей 10 и 4 равно 20.

$7 \frac{3}{10} = 7 \frac{3 \times 2}{10 \times 2} = 7 \frac{6}{20}$

$2 \frac{1}{4} = 2 \frac{1 \times 5}{4 \times 5} = 2 \frac{5}{20}$

Теперь выполним сложение:

$AC = 7 \frac{6}{20} + 2 \frac{5}{20} = (7 + 2) + (\frac{6}{20} + \frac{5}{20}) = 9 + \frac{11}{20} = 9 \frac{11}{20}$ м.

2. Найдём длину отрезка AB

Теперь, когда мы знаем длины отрезков AC и CB, мы можем найти общую длину отрезка AB, сложив их.

$AB = AC + CB = 9 \frac{11}{20} + 7 \frac{3}{10}$

Приведём дробную часть второго слагаемого к знаменателю 20:

$7 \frac{3}{10} = 7 \frac{6}{20}$

Сложим длины отрезков:

$AB = 9 \frac{11}{20} + 7 \frac{6}{20} = (9 + 7) + (\frac{11}{20} + \frac{6}{20}) = 16 + \frac{17}{20} = 16 \frac{17}{20}$ м.

Ответ: $16 \frac{17}{20}$ м.

1000. Даны три числа. Первое $4\frac{1}{5}$, второе на 5 больше, чем первое, а третье на $3\frac{1}{5}$ больше второго. Какова сумма трёх чисел?

Для того чтобы найти сумму трёх чисел, необходимо сначала последовательно вычислить значение второго и третьего чисел.

1. Найдём второе число
По условию, первое число равно $4\frac{1}{5}$. Второе число на 5 больше, чем первое. Следовательно, чтобы найти второе число, нужно к первому числу прибавить 5:
$4\frac{1}{5} + 5 = 9\frac{1}{5}$
Таким образом, второе число равно $9\frac{1}{5}$.

2. Найдём третье число
Третье число на $3\frac{1}{5}$ больше второго. Так как второе число равно $9\frac{1}{5}$, то для нахождения третьего числа выполним сложение:
$9\frac{1}{5} + 3\frac{1}{5} = (9+3) + (\frac{1}{5}+\frac{1}{5}) = 12 + \frac{2}{5} = 12\frac{2}{5}$
Следовательно, третье число равно $12\frac{2}{5}$.

3. Найдём сумму трёх чисел
Теперь, зная все три числа ($4\frac{1}{5}$, $9\frac{1}{5}$ и $12\frac{2}{5}$), мы можем найти их сумму:
$4\frac{1}{5} + 9\frac{1}{5} + 12\frac{2}{5} = (4 + 9 + 12) + (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{2}{5}) = 25 + \frac{4}{5} = 25\frac{4}{5}$
Ответ: $25\frac{4}{5}$.