Страница 218 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

982. Как складывают смешанные дроби? Приведите примеры.

Чтобы сложить смешанные дроби (числа), можно использовать один из двух способов.

Способ 1: По отдельности сложить целые и дробные части

Этот способ удобен, когда дробные части несложно складывать.

1. Сложить целые части.
2. Сложить дробные части. Если у них разные знаменатели, сначала нужно привести дроби к общему знаменателю.
3. Сложить полученные результаты (целую и дробную части).
4. Если в результате сложения дробных частей получилась неправильная дробь (у которой числитель больше знаменателя или равен ему), нужно выделить из нее целую часть и прибавить к целой части, полученной в первом шаге.

Способ 2: Преобразовать смешанные дроби в неправильные

Этот способ является универсальным и помогает избежать ошибок.

1. Представить каждую смешанную дробь в виде неправильной дроби. Для этого нужно целую часть умножить на знаменатель и прибавить к числителю, а знаменатель оставить прежним.
2. Сложить полученные неправильные дроби (приведя их к общему знаменателю, если это необходимо).
3. Если в результате получилась неправильная дробь, преобразовать ее обратно в смешанную, разделив числитель на знаменатель с остатком.

Примеры

Пример 1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Найдем сумму $3\frac{1}{8} + 2\frac{3}{8}$.

Решение (Способ 1):

1. Складываем целые части: $3 + 2 = 5$.

2. Складываем дробные части: $\frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{1+3}{8} = \frac{4}{8}$.

3. Сокращаем дробь: $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

4. Складываем результаты: $5 + \frac{1}{2} = 5\frac{1}{2}$.

Ответ: $5\frac{1}{2}$.

Пример 2. Сложение дробей с разными знаменателями

Найдем сумму $4\frac{1}{3} + 5\frac{2}{5}$.

Решение (Способ 1):

1. Складываем целые части: $4 + 5 = 9$.

2. Складываем дробные части. Общий знаменатель для 3 и 5 — это 15.

$\frac{1}{3} + \frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{5}{15} + \frac{6}{15} = \frac{11}{15}$.

3. Складываем результаты: $9 + \frac{11}{15} = 9\frac{11}{15}$.

Ответ: $9\frac{11}{15}$.

Пример 3. Сумма дробных частей — неправильная дробь

Найдем сумму $1\frac{3}{4} + 6\frac{5}{8}$.

Решение (Способ 2):

1. Преобразуем смешанные дроби в неправильные:

$1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$

$6\frac{5}{8} = \frac{6 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{53}{8}$

2. Складываем неправильные дроби. Общий знаменатель — 8.

$\frac{7}{4} + \frac{53}{8} = \frac{7 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{53}{8} = \frac{14}{8} + \frac{53}{8} = \frac{14+53}{8} = \frac{67}{8}$.

3. Преобразуем результат обратно в смешанную дробь:

$67 \div 8 = 8$ (остаток $3$). Значит, $\frac{67}{8} = 8\frac{3}{8}$.

Для сравнения, решение Способом 1:

1. Целые части: $1 + 6 = 7$.

2. Дробные части: $\frac{3}{4} + \frac{5}{8} = \frac{6}{8} + \frac{5}{8} = \frac{11}{8}$.

3. Дробь $\frac{11}{8}$ неправильная. Выделим целую часть: $\frac{11}{8} = 1\frac{3}{8}$.

4. Сложим результаты: $7 + 1\frac{3}{8} = 8\frac{3}{8}$.

Ответ: $8\frac{3}{8}$.

983. Запишите сумму в виде смешанной дроби:

а) $5 + \frac{1}{4}$;

б) $4 + \frac{3}{7}$;

в) $3 + \frac{3}{5}$;

г) $12 + \frac{15}{17}$.

а) Чтобы записать сумму целого числа и правильной дроби в виде смешанной дроби, нужно целое число записать как целую часть, а правильную дробь — как дробную часть смешанной дроби. В данном случае целая часть равна 5, а дробная часть равна $\frac{1}{4}$.
$5 + \frac{1}{4} = 5\frac{1}{4}$
Ответ: $5\frac{1}{4}$

б) Аналогично, целое число 4 становится целой частью, а дробь $\frac{3}{7}$ — дробной частью смешанной дроби.
$4 + \frac{3}{7} = 4\frac{3}{7}$
Ответ: $4\frac{3}{7}$

в) Записываем целое число 3 как целую часть и дробь $\frac{3}{5}$ как дробную часть, получая смешанную дробь.
$3 + \frac{3}{5} = 3\frac{3}{5}$
Ответ: $3\frac{3}{5}$

г) Записываем целое число 12 как целую часть и дробь $\frac{15}{17}$ как дробную часть.
$12 + \frac{15}{17} = 12\frac{15}{17}$
Ответ: $12\frac{15}{17}$

984. Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби:

а) $6 \frac{2}{3}$;

б) $7 \frac{1}{8}$;

в) $5 \frac{16}{25}$;

г) $1 \frac{19}{20}$.

Смешанная дробь по определению является суммой ее целой части (натурального числа) и дробной части (правильной дроби). Чтобы записать смешанную дробь в виде такой суммы, нужно просто поставить знак «+» между целой и дробной частями.

а) Смешанная дробь $6\frac{2}{3}$ состоит из целой части 6 и дробной части $\frac{2}{3}$. Запишем ее в виде суммы натурального числа и правильной дроби:
$6\frac{2}{3} = 6 + \frac{2}{3}$.
Ответ: $6 + \frac{2}{3}$.

б) Смешанная дробь $7\frac{1}{8}$ имеет целую часть 7 и дробную часть $\frac{1}{8}$. Представим ее в виде суммы:
$7\frac{1}{8} = 7 + \frac{1}{8}$.
Ответ: $7 + \frac{1}{8}$.

в) Для смешанной дроби $5\frac{16}{25}$ целая часть (натуральное число) равна 5, а дробная часть (правильная дробь) равна $\frac{16}{25}$. Сумма этих частей:
$5\frac{16}{25} = 5 + \frac{16}{25}$.
Ответ: $5 + \frac{16}{25}$.

г) В смешанной дроби $1\frac{19}{20}$ целая часть равна 1, а дробная часть — $\frac{19}{20}$. Запишем ее в виде суммы:
$1\frac{19}{20} = 1 + \frac{19}{20}$.
Ответ: $1 + \frac{19}{20}$.

985. Вычислите сумму:

a) $9 + 5\frac{1}{2}$;

б) $3\frac{3}{8} + 5$;

в) $8\frac{9}{13} + 7$;

г) $13 + 2\frac{7}{9}$;

д) $3 + 28\frac{3}{7}$;

е) $48\frac{5}{6} + 13$;

ж) $12 + 23\frac{1}{9}$;

з) $39 + 42\frac{3}{20}$.

а) Чтобы сложить целое число и смешанное число, нужно сложить их целые части, а дробную часть смешанного числа оставить без изменений.
$9 + 5\frac{1}{2} = (9 + 5) + \frac{1}{2} = 14 + \frac{1}{2} = 14\frac{1}{2}$.
Ответ: $14\frac{1}{2}$.

б) Чтобы сложить смешанное число и целое число, нужно сложить их целые части, а дробную часть смешанного числа оставить без изменений.
$3\frac{3}{8} + 5 = (3 + 5) + \frac{3}{8} = 8 + \frac{3}{8} = 8\frac{3}{8}$.
Ответ: $8\frac{3}{8}$.

в) Складываем целые части, а дробную часть оставляем без изменений.
$8\frac{9}{13} + 7 = (8 + 7) + \frac{9}{13} = 15 + \frac{9}{13} = 15\frac{9}{13}$.
Ответ: $15\frac{9}{13}$.

г) Складываем целые части, а дробную часть оставляем без изменений.
$13 + 2\frac{7}{9} = (13 + 2) + \frac{7}{9} = 15 + \frac{7}{9} = 15\frac{7}{9}$.
Ответ: $15\frac{7}{9}$.

д) Складываем целые части, а дробную часть оставляем без изменений.
$3 + 28\frac{3}{7} = (3 + 28) + \frac{3}{7} = 31 + \frac{3}{7} = 31\frac{3}{7}$.
Ответ: $31\frac{3}{7}$.

е) Складываем целые части, а дробную часть оставляем без изменений.
$48\frac{5}{6} + 13 = (48 + 13) + \frac{5}{6} = 61 + \frac{5}{6} = 61\frac{5}{6}$.
Ответ: $61\frac{5}{6}$.

ж) Складываем целые части, а дробную часть оставляем без изменений.
$12 + 23\frac{1}{9} = (12 + 23) + \frac{1}{9} = 35 + \frac{1}{9} = 35\frac{1}{9}$.
Ответ: $35\frac{1}{9}$.

з) Складываем целые части, а дробную часть оставляем без изменений.
$39 + 42\frac{3}{20} = (39 + 42) + \frac{3}{20} = 81 + \frac{3}{20} = 81\frac{3}{20}$.
Ответ: $81\frac{3}{20}$.

986. Запишите обыкновенную дробь в виде смешанной дроби:

а) $\frac{9}{4}$;

б) $\frac{9}{8}$;

в) $\frac{16}{13}$;

г) $\frac{25}{2}$;

д) $\frac{17}{15}$;

е) $\frac{13}{3}$.

Чтобы записать обыкновенную неправильную дробь в виде смешанной дроби, нужно разделить числитель дроби на ее знаменатель с остатком. Полученное неполное частное будет целой частью смешанной дроби, остаток — числителем ее дробной части, а делитель (знаменатель исходной дроби) — знаменателем ее дробной части.

а) $\frac{9}{4}$

Разделим числитель 9 на знаменатель 4:

$9 \div 4 = 2$ (остаток $1$)

Целая часть равна 2, числитель дробной части — 1, знаменатель — 4.

$\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$

Ответ: $2\frac{1}{4}$

б) $\frac{9}{8}$

Разделим числитель 9 на знаменатель 8:

$9 \div 8 = 1$ (остаток $1$)

Целая часть равна 1, числитель дробной части — 1, знаменатель — 8.

$\frac{9}{8} = 1\frac{1}{8}$

Ответ: $1\frac{1}{8}$

в) $\frac{16}{13}$

Разделим числитель 16 на знаменатель 13:

$16 \div 13 = 1$ (остаток $3$)

Целая часть равна 1, числитель дробной части — 3, знаменатель — 13.

$\frac{16}{13} = 1\frac{3}{13}$

Ответ: $1\frac{3}{13}$

г) $\frac{25}{2}$

Разделим числитель 25 на знаменатель 2:

$25 \div 2 = 12$ (остаток $1$)

Целая часть равна 12, числитель дробной части — 1, знаменатель — 2.

$\frac{25}{2} = 12\frac{1}{2}$

Ответ: $12\frac{1}{2}$

д) $\frac{17}{15}$

Разделим числитель 17 на знаменатель 15:

$17 \div 15 = 1$ (остаток $2$)

Целая часть равна 1, числитель дробной части — 2, знаменатель — 15.

$\frac{17}{15} = 1\frac{2}{15}$

Ответ: $1\frac{2}{15}$

е) $\frac{13}{3}$

Разделим числитель 13 на знаменатель 3:

$13 \div 3 = 4$ (остаток $1$)

Целая часть равна 4, числитель дробной части — 1, знаменатель — 3.

$\frac{13}{3} = 4\frac{1}{3}$

Ответ: $4\frac{1}{3}$